高考物理一轮复习讲义第44课时　实验9：用单摆测量重力加速度的大小（教师版）

第44课时实验9：用单摆测量重力加速度的大小【复习定位】1.知道利用单摆测量重力加速度的原理。2.掌握利用单摆测量重力加速度的方法。技能储备基础落实对应学生用书P144一、原理与操作装置及原理(1)单摆在偏角很小(小于5°)时的摆动，可看成简谐运动，其固有周期T＝2πeq\r(\f(l,g))，可得g＝eq\f(4π2l,T2)，通过实验测出摆长l和周期T，即可计算得到当地的重力加速度。(2)实验器材：带孔小钢球一个、细线一条(约1m长)、铁架台、米尺、停表、游标卡尺(或三角板)；实验装置图如图所示操作要领(1)制单摆：让线的一端穿过小钢球上的小孔，然后打一个比小孔大一些的线结，做成单摆。(2)作标记：把线的上端固定在铁架台的铁夹上，让铁夹伸到桌面以外，让小钢球自然下垂，在单摆平衡位置处作标记。(3)测摆长：用米尺量出悬线长l′(准确到mm)，用游标卡尺(或米尺和三角板)测出小钢球的直径d(准确到mm)，然后计算出悬点到球心的距离l＝l′＋eq\f(d,2)，l即为摆长。(4)测周期：把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度(不超过5°)，然后放开小钢球让它摆动，用停表测出单摆完成30次或50次全振动的时间，计算出平均完成一次全振动的时间，这个时间就是单摆的振动周期。(5)变条件：改变摆长重做几次。(6)理器材：将实验器材放回原处二、数据处理方法公式法利用T＝eq\f(t,N)求出周期，然后利用公式g＝eq\f(4π2l,T2)求重力加速度；通过改变摆长，测得多个重力加速度g1、g2、g3、…、g6，求得重力加速度的平均值g＝eq\f(g1＋g2＋g3＋g4＋g5＋g6,6)图像法由单摆的周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))可得l＝eq\f(g,4π2)T2，因此以摆长l为纵轴，以T2为横轴作出的l-T2图像是一条过原点的直线，如图所示，求出斜率k，即可求出g值。g＝4π2k，k＝eq\f(l,T2)＝eq\f(l2－l1,Teq\o\al(2,2)－Teq\o\al(2,1))三、实验误差和注意事项误差分析(1)系统误差：主要来源于单摆模型本身是否符合要求。悬点是否固定、小钢球与细线是否符合要求、是单摆运动还是圆锥摆运动等。(2)偶然误差①振动时间t(单摆周期T＝eq\f(t,N))的测量：是否从小钢球通过平衡位置开始计时、多记或漏记全振动的次数、秒表的读数等。②长度的测量：测量摆长、小钢球的直径读数时的误差等注意事项(1)摆线选用1m左右的细线。(2)摆线顶端不能移动，需用夹子夹住，保证顶点固定。(3)小钢球在同一竖直面内摆动，且摆角小于5°，注意小钢球不能做圆锥摆运动。(4)选择在小钢球摆到平衡位置处开始计时，并数准全振动的次数。(5)小钢球自然下垂时，用毫米刻度尺量出悬线长l′，用游标卡尺测量小钢球的直径，然后算出小钢球的半径r，则摆长l＝l′＋r关键能力阶梯突破对应学生用书P145考点一教材原型实验【例1】(2024·广西卷)单摆可作为研究简谐运动的理想模型。(1)制作单摆时，在图甲、图乙两种单摆的悬挂方式中，选择图甲方式的目的是要保持摆动中摆长不变；解析选择题图甲方式的目的是要保持摆动中摆长不变。(2)用游标卡尺测量摆球直径，测得读数如图丙，则摆球直径为1.06cm；解析摆球直径为d＝10mm＋6×0.1mm＝10.6mm＝1.06cm。(3)若将一个周期为T的单摆，从平衡位置拉开5°的角度释放，忽略空气阻力，摆球的振动可看为简谐运动。当地重力加速度为g，以释放时刻作为计时起点，则摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为x＝eq\f(gT2sin5°,4π2)cos(eq\f(2π,T)t)。解析根据单摆的周期公式T＝2πeq\r(\f(L,g))可得单摆的摆长为L＝eq\f(gT2,4π2)，从平衡位置拉开5°的角度处释放，可得振幅为A＝Lsin5°，以该位置为计时起点，根据简谐运动规律可得摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为x＝Acosωt＝eq\f(gT2sin5°,4π2)cos(eq\f(2π,T)t)。【例2】(2023·新课标卷)一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。(1)用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图(a)所示，该示数为0.007mm；螺旋测微器在夹有摆球时示数如图(b)所示，该示数为20.034mm，则摆球的直径为20.027mm。解析螺旋测微器读数是固定刻度读数(0.5mm的整数倍)加可动刻度读数(0.5mm以下的小数)，测量前测微螺杆和测砧相触时，题图(a)的示数为d0＝0mm＋0.7×0.01mm＝0.007mm，题图(b)中读数为d1＝20mm＋3.4×0.01mm＝20.034mm，则摆球的直径为d＝d1－d0＝20.027mm。(2)单摆实验的装置示意图如图(c)所示，其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处，摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方，则摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角大于(填“大于”或“小于”)5°。解析角度盘的大小一定，即在规定的位置安装角度盘，测量的摆角准确，但将角度盘固定在规定位置上方，即角度盘到悬挂点的距离变短，同样的角度，摆线在刻度盘上扫过的弧长变短，故摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角大于5°。(3)某次实验所用单摆的摆线长度为81.50cm，则摆长为82.5cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60s，则此单摆周期为1.82s，该小组测得的重力加速度大小为9.83m/s2。(结果均保留3位有效数字，π2取9.870)解析单摆的摆线长度为81.50cm，则摆长为l＝l0＋eq\f(d,2)＝81.50cm＋eq\f(2.0027,2)cm＝82.50135cm，结果保留3位有效数字，则摆长为82.5cm。一次全振动单摆经过最低点两次，故此单摆的周期为T＝eq\f(2t,N)＝eq\f(54.60,30)s＝1.82s，由单摆的周期表达式T＝2πeq\r(\f(l,g))得，重力加速度g＝eq\f(4π2l,T2)≈9.83m/s2。考点二实验拓展与创新实验装置图创新解读(1)根据光敏电阻阻值随光照强度变化的特点，利用自动记录仪记录电阻的变化。(2)利用电阻变化图像分析周期(1)用石块代替小球，无法测得具体摆长，只能测出悬点到石块顶端的长度当作“摆长”。(2)T2-l图像不过坐标原点，但斜率的意义不变(1)将单摆设计成复摆。(2)根据复摆的周期和半径的关系，利用图像斜率和截距分析数据【例3】如图甲，双线摆也是一种单摆，它的优点是可以把摆球的运动轨迹约束在一个确定的平面上。现把双线摆的其中一根悬线，换成一根很轻的硬杆，组成一个“杆线摆”，如图乙所示。杆线摆可以绕着悬挂轴OO′来回摆动，杆与悬挂轴OO′垂直，其摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内。某实验小组为探究在相同摆长下、摆角很小时，“杆线摆”的周期T跟等效重力加速度的关系，设计了如下实验：(1)测量斜面倾角θ。如图丙，铁架台上装一重垂线。在铁架台的立柱跟重垂线平行的情况下把“杆线摆”装在立柱上，调节摆线的长度，使摆杆与立柱垂直，则此时摆杆是水平的。如图丁，把铁架台底座的一侧垫高，立柱倾斜，绕立柱摆动的钢球实际上是在一倾斜平面上运动。测出静止时摆杆与重垂线的夹角为β，则该倾斜平面与水平面的夹角θ＝90°－β。(2)测量周期T。让“杆线摆”做小偏角下的振动，用停表测量完成20次全振动所用的时间t，则周期T＝eq\f(t,20)。同样的操作进行三次，取平均值作为该周期的测量值。(3)记录数据。改变铁架台的倾斜程度，测出不同倾斜程度下斜面倾角θ的值以及该倾角下“杆线摆”的周期T，把各组θ和T的值填在实验数据表格中。取g＝9.8m/s2，计算a＝gsinθ的值作为表格中的一列，再计算eq\f(1,\r(gsinθ))的值，得到表格中的另一列，如表所示：次数斜面倾角θ(°)周期T/s等效重力加速度a＝gsinθ/(m·s-2)eq\f(1,\r(gsinθ))/(m-1/2·s)111.02.521.870.731214.52.112.450.639319.01.833.190.560422.51.733.750.516525.51.624.220.487629.01.504.750.459(4)数据处理。在图戊中以周期T为纵坐标轴、以eq\f(1,\r(gsinθ))或eq\f(1,\r(a))为横坐标轴建立坐标系，并把以上表格中相应的各组数据在坐标系中描点、作图。答案见解析图解析根据单摆周期公式可知T＝2πeq\r(\f(L,a))＝2πeq\r(\f(L,gsinθ))，在题图戊中以周期T为纵坐标轴、以eq\f(1,\r(gsinθ))(或者eq\f(1,\r(a)))为横坐标轴建立坐标系，作图如图所示。(5)得出结论。根据该图线可知：在误差允许范围内，“杆线摆”在摆长一定的情况下，T和eq\f(1,\r(gsinθ))成正比，即周期跟(等效)重力加速度的平方根成反比。解析根据该图线可知，在误差允许范围内，“杆线摆”在摆长一定的情况下，T和eq\f(1,\r(gsinθ))成正比，即周期跟(等效)重力加速度的平方根成反比。(2023·重庆卷)某实验小组用单摆测量重力加速度。所用实验器材有摆球、长度可调的轻质摆线、刻度尺、50分度的游标卡尺、摄像装置等。(1)用游标卡尺测量摆球直径d。当量爪并拢时，游标尺和主尺的零刻度线对齐。放置摆球后游标卡尺示数如图甲所示，则摆球的直径d为19.20mm。解析摆球的直径d＝19mm＋10×0.02mm＝19.20mm。(2)用摆线和摆球组成单摆，如图乙所示。当摆线长度l＝990.1mm时，记录并分析单摆的振动视频，得到单摆的振动周期T＝2.00s，由此算得重力加速度g为9.86m/s2(保留3位有效数字)。解析单摆的摆长为L＝990.1mm＋eq\f(1,2)×19.20mm＝999.7mm，根据T＝2πeq\r(\f(L,g))，可得g＝eq\f(4π2L,T2)，代入数据得g＝eq\f(4×3.142×0.9997,22)m/s2≈9.86m/s2。(3)改变摆线长度l，记录并分析单摆的振动视频，得到相应的振动周期。他们发现，分别用l和l＋eq\f(d,2)作为摆长，这两种计算方法得到的重力加速度数值的差异大小Δg随摆线长度l的变化曲线如图丙所示。由图丙可知，该实验中，随着摆线长度l的增加，Δg的变化特点是逐渐减小并趋于稳定，原因是随着摆线长度l的增加，则l＋eq\f(d,2)越接近于l，此时计算得到的g的差异越小。解析由题图丙可知，随着摆线长度l的增加，Δg逐渐减小并趋于稳定，原因是随着摆线长度l的增加，则l＋eq\f(d,2)逐渐趋近于l，两种计算方法计算得到的g的差异越小。课时作业对应学生用书P3931．(2024·广东珠海高三期末)在“用单摆测量重力加速度的大小”实验中，某同学进行如下步骤：甲乙(1)用10分度(测量值可准确到0.1mm)的游标卡尺测量小球的直径。某次测量的示数如图甲所示，小球的直径为d＝15.5mm。解析小球的直径为d＝15mm＋5×0.1mm＝15.5mm。(2)把摆球从平衡位置拉开一个小角度由静止释放，使单摆在竖直平面内摆动，用秒表测出单摆做n次全振动所用的时间t，秒表读数如图乙所示，读数为100.0s。解析秒表的读数为90s＋10.0s＝100.0s。(3)如果测得的g值偏大，可能的原因是CD。A．先将单摆放在水平桌面上测出摆长L，后把单摆悬挂起来B．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了C．摆球不在同一竖直平面内运动，成为圆锥摆运动D．测周期时，当摆球通过最低点时启动秒表并数“1”，数到摆球第40次通过平衡位置时按下秒表，读出时间t，得周期T＝eq\f(t,20)解析根据单摆的周期公式T＝2πeq\r(\f(L,g))，变形可得g＝eq\f(4π2L,T2)，先将单摆放在水平桌面上测出摆长L，后把单摆悬挂起来，测得的摆长偏小，则最终测得重力加速度偏小，故A错误；摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了，则测量的摆长偏小，则最终测得的重力加速度偏小，故B错误；摆球不在同一竖直平面内运动，成为圆锥摆运动，实际摆长lcosθ变短，而测量摆长偏大，所测重力加速度偏大，故C正确；测周期时，当摆球通过最低点时启动秒表并数“1”，数到摆球第40次通过平衡位置时按下秒表，读出时间t，实际周期T＝eq\f(t,\f(40－1,2))＝eq\f(2t,39)，则测量周期偏小，重力加速度偏大，故D正确。2．如图甲为一光滑圆弧槽AOC，由于不知其圆心位置，故无法直接测量槽的半径R。为了准确测量槽的半径R，小刘同学让一光滑小钢球在圆弧槽最低位置O附近做小弧度的圆周运动(可视为简谐运动)，已知当地的重力加速度为g。其实验步骤如下：(1)用游标卡尺测得小钢球的直径d如图乙所示，其读数d＝18.7mm；解析10分度游标卡尺的精度为0.1mm，由题图乙可知小钢球的直径为d＝18mm＋7×0.1mm＝18.7mm。(2)当小钢球第1次经过最低位置O且向右运动时开始计时，第n次经过最低位置O且向右运动时停止计时，总时间为t，则小钢球运动的周期T＝eq\f(t,n－1)(用字母n、t表示)；解析第n次经最低位置O且向右运动时停止计时，则经过了n－1个周期，所以周期为T＝eq\f(t,n－1)。(3)通过计算可得圆弧槽的半径R＝eq\f(gT2,4π2)＋eq\f(d,2)(用字母π、T、d、g表示)。解析小钢球运动时做简谐运动，周期为T＝2πeq\r(\f(R－\f(d,2),g))，解得R＝eq\f(gT2,4π2)＋eq\f(d,2)。3．(2025·八省联考河南卷)学生实验小组利用单摆测量当地的重力加速度。实验器材有：铁架台、细线、摆球、秒表、卷尺等。完成下列问题：(1)实验时，将细线的一端连接摆球，另一端固定在铁架台上O点，如图1所示。然后将摆球拉离平衡位置，使细线与竖直方向成夹角θ(θ<5°)，释放摆球，让单摆开始摆动。为了减小计时误差，应该在摆球摆至最低点(填“最低点”或“最高点”)时开始计时。解析摆球经过最低点的位置时速度最大，在相等的距离误差上引起的时间误差最小，测得的周期误差最小，所以应该在摆球摆至最低点时开始计时。(2)选取摆线长度为100.0cm时，测得摆球摆动30个完整周期的时间(t)为60.60s。若将摆线长度视为摆长，求得重力加速度大小为9.68m/s2(取π2＝9.870，结果保留3位有效数字)。解析根据题意可知小球摆动的周期T＝eq\f(t,30)＝2.02s，根据单摆周期公式T＝2πeq\r(\f(L,g))，其中L＝100.0cm＝1.000m，代入数据可得g≈9.68m/s2。(3)选取不同的摆线长度重复上述实验，相关数据汇总在下表中，在坐标纸上作出摆线长度(l)和单摆周期的二次方(T2)的关系曲线，如图2所示。l(m)t(s)T2(s2)0.80054.173.260.90057.543.681.00060.604.081.10063.554.491.20066.344.89设直线斜率为k，则重力加速度可表示为g＝4π2k(用k表示)。由图2求得当地的重力加速度大小为9.69m/s2(结果保留3位有效数字)。解析根据单摆周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，整理可得l＝eq\f(g,4π2)·T2，可知l-T2图线斜率k＝eq\f(g,4π2)，可得重力加速度可表示为g＝4π2k，由题图2求得当地的重力加速度大小为g＝4π2×eq\f(1.2－0.8,4.90－3.27)m/s2≈9.69m/s2。(4)用图像法得到的重力加速度数值要比(2)中得到的结果更精确，原因是用图像法处理数据时，无论是否考虑摆球的半径，图像斜率均为eq\f(g,4π2)，对g的测量没有影响。解析图像法得到的重力加速度数值要比(2)中得到的结果更精确，其原因是用图像法处理数据时，无论是否考虑摆球的半径，图像斜率均为eq\f(g,4π2)，对g的测量没有影响。4．如图甲所示，某学习小组在实验室做探究单摆的周期与摆长的关系的实验。(1)若利用拉力传感器记录拉力随时间变化的关系，由图乙可知，该单摆的周期T＝2.0s。解析单摆摆动过程中，每次经过最低点时拉力最大，每次经过最高点时拉力最小，拉力变化的周期为1.0s，故单摆的周期为2.0s。(2)在多次改变摆线长度重复实验后，根据实验数据，利用计算机作出周期与摆线长度的关系(T2-L)图线，并根据图线拟合得到方程T2＝kL＋b，由此可知当地的重力加速度g＝eq\f(4π2,k)，摆球半径r＝eq\f(b,k)。(用k、b、π表示)解析根据T＝2πeq\r(\f(l,g))得T2＝eq\f(4π2,g)l，知图线的斜率k＝eq\f(4π2,g)，因此g＝eq\f(4π2,k)；而l＝L＋r，则T2＝eq\f(4π2,g)L＋eq\f(4π2,g)r，图线拟合得到方程T2＝kL＋b，因此摆球半径r＝eq\f(b,k)。5．如图甲所示的曲面玻璃在建筑领域应用广泛，通常被应用于玻璃外墙、弧形楼梯、浴室等场景。现有一柱面形状的圆弧玻璃，某实验小组设计实验，应用单摆周期公式测量其截面的曲率半径，实验器材有待测曲面玻璃一块(柱面形状，弧面半径R约为1m)，秒表，光滑的小铁球等。实验步骤如下：(1)用游标卡尺测量小铁球的直径，如图乙所示，则小铁球直径d＝1.20cm。解析由题图乙中主尺及游标尺的示数可知小球直径d＝12mm＋0×0.1mm＝12.0mm＝1.20cm。(2)将曲面玻璃凸面朝下固定在水平地面上，形成曲面凹槽，其垂直轴线的竖直截面如图丙所示，将小球静止在凹槽底部，记录其静止时的平衡位置O。(3)将小铁球由靠近玻璃底部的某位置由静止释放，在平衡位置按下秒表开始计时，同时数下数字“0”，若同方向再次经过该位置时记为“1”，在数到“30”时停止秒表，读出这段时间t，算出振动周期T＝eq\f(t,30)。解析从小铁球经过平衡位置开始计时，0～t时间内同方向经过平衡位置30次，则小铁球的振动周期T＝eq\f(t,30)。(4)若重力加速度大小为g，用测得的数据表示弧形玻璃的截面半径R＝g(eq\f(t,60π))2＋eq\f(d,2)(用测得物理量的字母表示)。解析振动周期T＝2πeq\r(\f(l,g))，其中T＝eq\f(t,30)、l＝R－eq\f(d,2)，则弧形玻璃的截面半径R＝eq\f(gT2,4π2)＋eq\f(d,2)＝g(eq\f(t,60π))2＋eq\f(d,2)。(5)若在计时时将全振动的次数多数了一次，则弧形玻璃截面半径R的测量值将偏小(选填“偏大”“偏小”“不变”)。解析若在计时时将全振动的次数多数了一次，则周期T将偏小，由(4)可知弧形玻璃截面半径R的测量值将偏小。6．(2023·湖南卷)某同学探究弹簧振子振动周期与质量的关系，实验装置如图(a)所示