《试验设计与分析》课程教案 12-14

—-3-—教案续页12授课时间第10周周2第9,10节课次第12次授课方式□理论讲授■实践指导□实验指导□习题讲解学时安排2授课题目（教学章、节或主题）：实践：正交表的性质与应用知识和能力目标及其要求程度：知识目标：掌握正交表OA(n,sk,t)及混合水平正交表的定义，理解“强度”“指标”等关键参数；通过实例归纳正交表“均衡分散、整齐可比”的核心性质；能根据“因子数-水平数能力目标：能独立判断给定矩阵是否为正交表并确定其参数；能完整完成“计算各水平响应均值→计算极差→排序因子主次→推测最优组合”的直观分析全流程；能结合试验数据构建固定效应模型，尝试计算因子平方和并进行简化方差分析。思政目标：结合试验设计中“均衡性”要求，培育科研中的公平严谨思维与系统观；针对部分实施的局限及解决策略，树立“直面约束、创新突破”的科研态度。教学重点及难点：重点：正交表的“均衡分散、整齐可比”性质的实操理解；直观分析全流程实操。难点：正交表“强度”概念的理解；利用正交表计算因子平方和的原理。课堂总体设计：本次课以“实践探究为主线、工程案例为载体”，紧扣“性质认知—实操应用—深化拓展”的三阶逻辑，融合建构主义学习理论，构建“前测激活—任务驱动—协作探究—成果迭代—价值升华”的实践教学闭环。具体设计逻辑如下：1.衔接激活，精准定位起点：以2k因子试验中正交表定义为切入点，通过“定义拓展性提问”及前测，衔接旧知与新知，聚焦“非二水平正交表”2.双任务递进，破解重难点：设置“正交表辨识与性质归纳”“无人机续航试验设计与分析”两大核心任务，形成“理论具象化—实践场景化”的递进链。任务一聚焦“性质理解”，通过分组研讨辨析正交表参数及性质，突破“强度”概念抽象性难点；任务二聚焦“应用落地”，以无人机续航这一真实工程问题为载体，整合“表的选择—直观分析—方差分析”全流程，强化实操能力。3.工具赋能，贴合时代需求：在数据分析环节明确鼓励Excel、Python等工具应用，结合小组协作与成果展示，既提升数据处理效率，又培养团队协作与学术表达能力，适配智能时代科研素养要求。4.思政融贯，实现价值引领：将思政目标贯穿任务各环节——任务一通过“均衡性”讨论渗透系统思维；任务二通过“资源约束下选表”“部分实施的局限与突破”等场景，深化“以简驭繁”“直面挑战”的科研哲学，实现“做中悟理、做中育德”。教学基本内容教学方法及时间设计第一节课前测与引入：在2k因子试验中，我们引入了正交表的定义：能否将这一定义拓展？拓展后的正交表还能用于试验设计和数据分析吗？多媒体讲解，5分钟。引入之后简要介绍学习目标。任务一背景：令S表示由s个符号或水平组成的集合，通常以集合0,1,⋯定义：称一个由S中的元素组成的n×k阶矩阵A为参数为(n,k,s,t,λ)的正交表，如果A的任一n×t子矩阵的同行符号组合包含基于S即矩阵A的任意t列包含所有可能的组合，且每个组合出现的次数相等。称t为正交表的强度，称λ为正交表的指标。记这样的正交表为OA(n,记法OA(n,sk定义：混合水平正交表OAn,s1k1s2k2⋯svkv多媒体讲解，5分钟。思政：强调“正交表任意t列全面实施但总体部分实施”，引导学生认识“部分实施的收益与局限”，培育“权衡利弊”的科研思维。子任务1：以下三个表是正交表吗？如果是，强度为多少？如何表示？首先分组探究5分钟，然后交流结果。每组可只分析一个表。正确答案：表一是OA(8,24,3)，表二是OA(8,4分组研讨+互动交流，10分钟。思政：通过分组辨析正交表真伪，培养严谨的逻辑验证思维。子任务2：结合定于与子任务1中的三个正交表，讨论正交表具有哪些性质。分组自由讨论10分钟，可以查找资料。教员分时段参与各组讨论，实时掌握进度。各组依次汇报讨论结果，教员板书整理，约6分钟。最后教员公布正交表的主要性质，并进行约4分钟简要讲解，学员对照检查自己所列性质是否全面。正交表具有如下八条性质：正交表的参数满足λ=强度为t的正交表也是强度为t'的正交表，这里0≤行置换不变性：置换正交表的任意两行得到的新表是参数相同的正交表。列置换不变性：置换正交表的任意两列得到的新表是参数相同的正交表。水平置换不变性：置换正交表任意一列的水平得到的新表是参数相同的正交表。正交表OA(n,sk,t)如果Ai是OAni,A是OA(n,如果Ai是OAn,sk,t，i=1,⋯,s，为A互动研讨，20分钟。系统讲解8条性质，结合试验设计解读：前两条讲参数关系；中间三条（行、列、水平置换不变性）关联试验设计灵活性；后三条关联序贯实施。随堂测试：5分钟，视学员作答情况进行讲解，可适当点名。第二节课任务二背景：无人机的续航时间是一个重要的技术指标。某单位需要通过飞行试验评估某型无人机的续航时间，以确定影响续航时间的主要外部因素（除飞行平台和地面站以外的因素），并找到使得续航时间最大和最小的外部因素组合。考虑到飞行安全，无人机续航时间指标取满油降至剩余50升时的续航时间。考虑四个试验因子，分别是载荷外形(A)、飞行速度(B)、飞行高度(C)、气象条件(D)，并根据相关特性将每个因子划分为三个水平，分别记作A0、A1、A2、B0、B1、B2、C由于交互效应不显著，所选正交表的列数不小于4即可。使用正交表OAn,s1k1s2k2⋯s序号载荷外形A飞行速度B飞行高度C气象条件D100002011130222410125112061201720218210292210正交表的正交性使得其安排的试验方案具有均衡分散和整齐可比的特点。均衡分散：试验点在所有可能的组合中分布均匀，没有集中在某一区域，具体表现为：单因子水平分布均衡；任意两因子水平组合均衡；若只考虑三个因子，则在三维空间中分布均衡整齐可比：当比较A的不同水平时，B因子不同水平的效应相互抵消，C和D因子不同水平的效应也相互抵消。所以因子A的3个水平间具有可比性。同样，因子B和因子C的3个水平间亦具有可比性。多媒体讲解，10分钟。构建真实工程场景，衔接正交表性质与应用，明确“选表”的核心逻辑，为后续分析奠定基础思政：选表环节强调“9次试验替代81次全面试验”，引导体会“以简驭繁”的科学智慧，理解“资源约束下最优解”的实践意义。子任务1：设试验方案和结果列于下表：序号载荷外形A飞行速度B飞行高度C气象条件D续航时间(min)100004022011138630222415410123855112040761201397720214308210237692210388试验的目的是找到影响续航时间的主要外部因素，并找到续航时间最大和最小的外部因素水平组合。9次试验结果中以第7号试验的续航时间最大，为430分钟；第8号试验的续航时间最小，为376分钟；不过，试验中只有全部81个处理中的9个，第7号和第8号试验对应的处理并不一定是全部处理中的最佳和最坏外部因素水平组合。3-5人一组，尝试在不构建模型、不假设数据分布的条件下，探索因子的重要性排序，分析最佳处理和最差处理。提示：按照“计算各水平下响应均值→计算极差→排序因子主次→推测最优组合”的次序展开，可借助大模型、Excel和Python，也可手工计算。直观分析一般流程参考：第一步：计算诸因子在每个水平下的平均续航时间。以A列为例，“T0”行给出因子A载荷外形在其“0”T其均值m类似地，在“1”水平和“2”水平下三次试验的平均续航时间分别为396和398分钟。第二步：计算诸因子在每个水平下的平均续航时间的极差。以A列为例，极差R=列在表的最后一行。序号载荷外形A飞行速度B飞行高度C气象条件D续航时间(min)100004022011138630222415410123855112040761201397720214308210237692210388T1203121711751197T11891169115912133586T1194120012521176m401.00405.67391.67399.00m396.33389.67386.33404.33398.44m398.00400.00417.33392.00R4.6715.0031.0012.33第三步：根据极差对因子重要性进行排序。直观来看，对续航时间影响大的因子不同水平对应的平均续航时间之间差异也大。因此主次关系也可利用极差来判断，A、B、C、D四个因子的极差分别为4.67、15.00、31.00和12.33，由此即可将它们对续航时间的影响排序为C>B>D>A第四步：推测最佳处理与差处理。可直接从表中看出，也可将4个因子的3个平均续航时间画在一张图上。可以看出：载荷外形为“0”时续航时间最长，为“1”时续航时间最短；飞行速度为“0”时续航时间最长，为“1”时续航时间最短；飞行高度为“2”时续航时间最长，为“1”时续航时间最短；气象条件为“1”时续航时间最长，为“2”时续航时间最短；综合起来看，A0,B0,分组实践+互动研讨，15分钟。任务布置+分组实践9分钟，结果交流与总结6分钟。思政：通过“数据计算—逻辑推理—结论推导”，强化严谨的科研态度。由直观分析无法预测，引出下一个子任务。子任务2：直观分析虽然可以猜测出最佳处理和最坏处理，但无法进行预测。请尝试：构建固定效应模型，估计模型参数，预测最佳处理和最坏处理的响应值；计算总偏差平方和与各因子的偏差平方和，进行方差分析。鼓励学员借助大模型、Excel和Python完成数据分析，也可手工计算。固定效应模型参数估计参考：根据经验，4个因子之间没有交互效应，令因子A的3个水平的主效应为α0、α1、α2，B的3个水平的主效应为β0、β1、β2，C的3个水平的主效应分别γ0、γ1、γ2，的3个水平的主效应为τy根据9次试验数据，可以利用最小二乘法得到参数的估计。也可以直接根据效应参数的定义得到，例如αα其余参数的估计如下：μβγτ利用这些估计值来预测最佳处理A0,Byy续航时间确实比现有9次试验的结果都更长或者更短。方差分析参考：由于固定效应模型中独立的参数有9个，等于试验的次数，因此没有多余的自由度来估计误差方差σ2可以首先基于正态概率图判断不显著的效应参数，利用这些效应参数的自由度来估计误差方差。这里采用另一种更直接的方法：首先计算每个因子的平方和，然后将最小的平方和当作误差平方和，即分析其余因子相对于平方和最小的因子的显著性。首先计算总平方和，注意到y⋯SS由于不同水平下的均值都是由3次试验的结果平均而得，因子A的平方和是它们的3个均值，m0A、m1A、S类似的方法可算得到S可以验证平方和分解公式SS成立。由于SSA最小，把它当作误差平方和方差来源自由度平方和均方和F值p值B2394.89197.4411.770.783C21648.22824.1149.120.020D2229.56114.786.840.128误差233.5616.78总和8当取显著性水平时α=0.05，只有因子C是显著的。检验不显著不一定意味着该因子对响应没有显著影响，可能是试验数目太少，使得F检验的敏感度较差。在数据量较少的时候，直观分析有时反而比方差分析能给出更合理的结论。分组实践+互动研讨，15分钟。任务布置+分组实践9分钟，结果交流与总结6分钟。突破难点，理解方差分析的核心原理及部分实施的局限，培养统计推断能力，强化“严谨分析”的科研思维。思政：部分实施的后果，自由度不足，无法方差分析。但还是要想办法解决，培育“直面约束、创新突破”的科研态度。课堂小结与答疑：1.知识梳理：以“正交表→选表→直观分析→方差分析”为脉络，串联本节课核心内容，强调“均衡分散、整齐可比”是分析的基础；2.重难点回顾：强化“强度t的含义”“极差判断主次的逻辑”“方差分析的误差处理策略”三个关键知识点；3.开放答疑：收集学生实操中遇到的共性问题，现场解答。多媒体讲解，5分钟。作业、习题、思考题：完成本章雨课堂课后习题；利用Python重新分析本节课无人机续航试验数据，提交电子版成果（含代码）；详细阅读教材第3章，提出改进建议。课后小结：本次实践课程围绕正交表的性质与应用展开，整体教学目标基本达成，但在教学节奏和内容安排上仍有优化空间。回顾两节课的教学过程，存在以下几点值得反思：首先，在理论衔接方面，第一堂课对正交表强度、指标等抽象概念的讲解较为深刻，部分学员在定义理解和参数关系把握上存在困难，反映出基础理论向实践应用过渡的坡度略陡。其次，第二节课的任务设计较为密集，从正交表辨识到无人机续航试验的完整分析流程，特别是方差分析部分的计算复杂度较高，导致部分学员未能在规定时间内完成所有分析步骤，这提示需要进一步优化时间分配。在小组协作环节，虽然设置了分组研讨任务，但由于部分小组对正交表性质的理解深度不足，讨论未能充分展开，影响了"均衡分散、整齐可比"等核心性质的深入理解。此外，在方差分析实践中，当面临自由度不足、无法直接进行方差分析的情况时，部分学员对"将最小平方和当作误差平方和"的替代策略理解不够透彻。尽管如此，本次课程仍取得了较好的实践效果。通过正交表选择、直观分析全流程和简化方差分析等实操训练，学员基本掌握了正交试验设计的核心技能。特别是允许学员使用大模型，有效提升了处理效率，符合智能时代科研素养培养要求。从课后反馈来看，学员对“以简驭繁”的试验设计思想和“直面约束、创新突破”的科研态度有了更深刻的认识，总体满意度较高。

教案续页13授课时间第10周周4第9,10节课次第13次授课方式■理论讲授□实践指导□实验指导□习题讲解学时安排2授课题目（教学章、节或主题）：4.1线性模型的参数估计知识和能力目标及其要求程度：知识目标：理解线性回归模型“参数线性”的本质；掌握最小二乘法原理及矩阵求解过程。能力目标：能针对一元/二元连续因子数据构建回归模型，手动或通过Python实现设计矩阵构建与参数求解；能解读估计结果并初步分析模型适配性。思政目标：通过武器装备试验数据建模，树立“模型适配”的科学思维；体会数据完整性对装备研发的关键影响，强化工程责任意识。教学重点及难点：重点：回归系数与方差估计的性质难点：线性回归模型中“线性”的本质以及广义设计矩阵X的构建课堂总体设计：教学逻辑主线。以“问题解决”为导向，通过两个武器装备领域的构造性案例（侵彻深度、毁伤面积）的“痛点问题”（预测、优化、数据缺失处理）引出回归模型，实现“案例→问题→模型→理论→应用”的闭环设计。知识建构逻辑。遵循“具体→抽象”认知规律：先通过一元/二元具体案例实操最小二乘法，再提炼线性模型通用形式与理论性质，衔接前期固定效应模型知识，构建“线性模型家族”认知体系。能力培养目标。聚焦“实操+思辨”双能力：通过Python代码实操强化参数估计与结果解读能力；通过“模型适配性分析”“误差方差解读”等环节培养科学质疑与不确定性量化思维。思政融入理念。嵌入式思政设计：依托武器装备试验数据，将“科学模型观”“数据价值意识”“工程责任担当”融入案例分析，实现“知识传授+价值引领”统一。教学方法组合。采用“问题驱动+探究式学习+案例迁移”组合法：案例引入激发动机，互动推导突破难点（最小二乘求解），理论提升实现迁移，随堂测试检验认知。重难点突破策略。重点（参数估计性质）：通过“案例计算→理论总结→几何解释”三维强化；难点（线性本质、X矩阵构建）：通过随堂测试辨析、不同模型X矩阵对比（一元/二元/交互项）具象化。教学基本内容教学方法及时间设计第一节课（1）案例引入：痛点激发案例一：工程师要研究尖卵形弹头的曲径比与钻地弹侵彻深度之间的关系。考虑曲径比这个因子的4个水平：2.5、3、3.5、4，每个水平重复5次侵彻试验，得到数据如下：曲径比观测值总和平均值123452.55.755.425.305.395.7027.565.5123.05.655.935.905.796.1029.375.8743.56.006.516.106.376.2931.276.2544.07.257.007.156.857.1035.357.070第二章中我们采用了单因子固定效应模型，估计了效应参数、进行了方差分析和对照的显著性检验。问题一：基于上述数据，能否预测曲径比3.2处的侵彻深度？问题二：基于上述数据，能否找到范围[2.5,4]内的最佳曲径比？侵彻深度与曲径比之间可能存在一次或二次多项式的关系，如果能够得到这种潜在规律，就可以实现预测与优化！案例二：某型预制破片弹主要用于毁伤敌方有生力量和轻型装甲目标。为分析炸高与落角对该型预制破片弹的威力的影响，选定8枚该型弹开展地面静态试验。将破片弹固定在设定的高度上以设定的弹着角引爆，测量其对地面的毁伤面积，数据如下：处理记号试验方案试验结果(m2两次试验结果之和AB12(1)2m45°1202.441509.922712.36b2m90°3171.773486.436658.20a4m45°2742.722423.205165.92ab4m90°2501.863155.335657.19第三章中我们利用正交表L4问题一：若丢失了某次试验的数据（如第7次），还能够利用正交表L4问题二：若要求该弹80%的情况下对地毁伤面积不低于2000平方米，如何鉴定？（2）转向回归模型：固定效应模型的局限性和回归模型的优势。固定效应模型主要用于分析定性因子对连续响应的影响;对于定量因子和连续响应,固定效应模型精细程度不够!回归模型可用于刻画连续因子与连续响应之间的函数依赖关系，可用于实现预测与优化。多媒体讲解，5分钟。问题驱动：用旧知识的“痛点”引出新知识需求，关联武器装备试验的优化设计与性能评估场景，激发动机。焦固定效应模型“无法预测”这一痛点，自然引出回归模型的必要性，激发学习动机。一、侵彻弹侵彻深度数据的再分析（一）构建模型首先回到侵彻深度案例，由于因子是连续的，构建因子与响应之间的回归模型来解决预测与优化的问题！首先需要“猜测”一个合适的模型。一种方法是从物理机理来分析曲径比与侵彻深度之间可能的函数关系。另一种方法是绘制散点图，基于散点图来猜测。根据散点图，考虑拟合侵彻深度y与曲径比x之间的一元线性函数关系y=（二）最小二乘估计探究与固定效应模型一样，采用最小二乘估计。对每个观测数据引入“残差”e最小二乘估计：以使得残差平方和最小的值作为参数的估计值RSS=为了使求解方法可迁移，以矩阵形式来表示残差。利用矩阵形式表示20个观测方程：y=Xβ+ε其中y以e=y-Xβ表示残差向量，则最小二乘估计的目标函数为：QQβ是β的二次函数，根据高等数学所学知识，对β求导数并令导数为0即可。∂请学员推导：∂由此可得到：β由于数据量较多，难以笔算求解，因此利用Python来求解。给出部分代码，与学员共同完成回归系数求解的代码：参考代码：X=np.column_stack([np.ones(len(x)),x])

beta_hat=np.linalg.inv(X.T@X)@X.T@y得到回归方程如下：y基于上述模型，你能预测曲径比为3.2的侵彻深度吗？直接将3.2代入回归方程即可：y提问：预测准确吗？哪些因素会影响预测准确性？引出误差方差的估计。多媒体讲解+互动交流，20分钟。提问：如何找到最佳参数β0和β探究式学习：从直观散点到数学模型，再到矩阵推广，符合“具体→抽象”认知；互动推导突破公式记忆难点。介绍代码基本功能，不实际运行。思政：在实际工作中要保持清醒头脑，给出一个解决方案，要反思它可能的缺点。计算侵彻深度预测值时，需结合模型精度与试验误差，体现工程严谨性。（三）向高阶模型拓展（案例迁移）模型预测效果取决于两个方面：认知不确定性：模型本身是否合适，即是否有模型误差；随机不确定性：每次试验都带随机性，需要量化这种随机性！两个问题都可以通过残差分析来部分解决：e绘制残差与自变量的散点图，观测残差中是否还有趋势；绘制残差的正态概率图，观察残差是否服从正态分布。可以看到残差不是零均值的，与自变量之间还有二次函数关系。利用二次多项式模型来拟合数据y=如何估计参数，前面的讨论是否具有普适性？20个数据仍旧可得到20个方程。由于这些方程是系数向量β=βy其中，y仍可以利用公式β=X⊤X引导学员给出修改方法：只需改变矩阵XX=np.column_stack([np.ones(len(x)),x,x**2])得到二阶回归模型为：y模型是否合适？继续绘制残差图来判断！残差基本变成零均值的了，可以认为模型合适。当假定模型正确时，随机不确定性源自试验误差ε——需要估计ε的方差σ2多媒体讲解+互动交流，约10分钟。根据时间情况，可请学员将这三个矩阵描述出来。互动研讨。（四）误差方差的估计如果模型是正确的，则RSS衡量的试验误差造成的数据波动，可以用RSS构造统计量来估计σ2σn是数据的个数，m是模型中参数的个数，是误差的自由度。与学员共同代码实现误差平方和的计算：参考代码：#3.计算RSS和误差方差估计

y_fitted=X@beta_hat

residuals=y-y_fitted

RSS=np.sum(residuals**2)

n=len(y)

p=X.shape[1]

df_error=n-p

MSE=RSS/df_error得到答案如下：RSS=0.8352,

一阶模型和二阶模型的对比：一阶模型参数估计结果：yRSS二阶模型参数估计结果：yRSSRSS改进量=

0.2576，相对改进=

30.85%。多媒体讲解+互动交流，约10分钟。知识链接：固定效应模型中误差自由度。提问：一阶模型和二阶模型都可以解决预测和优化问题。哪个模型好？你选择哪个模型进行预测和优化？根据时间情况，现场演示代码运行结果。第二节课二、预制破片弹毁伤数据的再分析（一）构建回归模型炸高和落角都是定量因子，采用回归模型对数据进行建模。为了计算方便，首先对两个因子进行编码变换，将低水平变换为-1，高水平变换为1：x编码变换是一种常见的数据预处理方法，它有两方面好处：将因子无量纲化到同一尺度，便于比较因子的重要性；简化计算，且使得矩阵求逆等数值运算更加稳定。变换后的数据表为试验方案试验结果(m2两次试验结果之和xx12--1202.441509.922712.36-+13171.773486.436658.20+1-2742.722423.205165.92+1+12501.863155.335657.19首先考虑线性回归模型：y=其中，ε用于表示试验误差，也可以包含模型表示误差。（二）最小二乘法应用仍然采用最小二乘法来估计三个回归系数。用矩阵来求解，首先需要把把八个观测方程写成矩阵形式：y其中β=βy=最小二乘估计的目标函数仍然为Q因此依旧有β将数据代入，得到X故β这样就得到了关于编码变量的回归模型：y多媒体讲解+探究式学习，约10分钟。提问：为什么要进行编码变换？前面的例子中为什么又不进行编码变换？思政：选择的模型要符合数据实际。提问：你能解释四个参数的含义吗？关联主效应与交互效应、编码变换。（三）问题回归问题一：若丢失了某次数据，不能用正交表分析数据了，但对回归模型的参数估计过程没有影响。importnumpyasnp

#1.写入试验数据

data=np.array([

[-1,-1,1202.44],

[-1,-1,1509.92],

[-1,1,3171.77],

[-1,1,3486.43],

[1,-1,2742.72],

[1,-1,2423.20],

[1,1,2501.86],

[1,1,3155.33]])

x1_all=data[:,0]

x2_all=data[:,1]

y_all=data[:,2]

X=np.column_stack([np.ones(8),x1_all,x2_all,x1_all*x2_all])

#2.最小二乘估计:β=(X^TX)^{-1}X^Ty

beta_hat=np.linalg.inv(X.T@X)@X.T@y_all基于全部数据得到的模型：y删除第7组数据后得到的模型：y问题二：若要求该弹80%的情况下对地毁伤面积不低于2000平方米，如何鉴定？毁伤面积为2000的等高线是一条曲线，可得到它的解析表达式，然后通过求满足阈值的区域的面积比。但这种方法不具通用性。更一般的解决方法：在炸高2m-4m、落角45∘-90∘范围内，蒙特卡洛产生大量组合，代入回归模型得到预测毁伤面积，统计超过阈值的占比。得到约89.67%的条件下毁伤面积超过2000#蒙特卡洛模拟估计P(y>2000)

n_samples=1000000

x1_mc=np.random.uniform(-1,1,n_samples)

x2_mc=np.random.uniform(-1,1,n_samples)

beta_0,beta_1,beta_2,beta_12=beta_haty_pred=beta_0+beta_1*x1_mc+beta_2*x2_mc+beta_12*x1_mc*x2_mc

#统计y>2000的比例

threshold=2000

prob=np.mean(y_pred>threshold)

print(f"\n蒙特卡洛模拟次数:{n_samples}")

print(f"预测y>{threshold}的概率:{prob:.4f}")基于当前模型的点预测，有89.67%的情况毁伤面积超过2000m²。但这一结论的可靠性需要从两方面评估：一是模型本身是否存在系统误差（模型不确定性），二是试验本身存在的随机波动（随机不确定性）误差方差用于衡量随机不确定性，如果无模型不确定性，可用RSS构造统计量来估计σσ多媒体讲解+互动交流，10分钟。提问：如果第7号数据丢失，如何修改代码估计参数？思政：八个数据来之不易，丢失任何一个，对结果影响都很大。反思：如果你作为军方，看到这样的鉴定方案与结果，你同意吗？提问：如何利用误差方差估计结果来改进指标的评估？自然引出第三部分内容。三、理论提升：线性模型的参数估计（一）线性回归模型的本质提问：以上两个案例中的回归模型有何共同点？它们最终都可以表示为未知参数β的线性方程组y的形式。能把观测数据表示为参数的线性变换的模型称为线性模型。其实固定效应模型也是线性模型的一种。为了以示区别，我们称本节前面的模型为线性回归模型。线性回归模型是线性模型家族中的一种：设x∈Rp表示p个连续的试验因子。fx为由m个y=为线性回归模型，β=β1线性回归模型虽然简单，但应用十分广泛。给出三个示例。示例一：利用多项式基函数预测机械寿命的疲劳寿命：y=y表示疲劳寿命，x表示应力幅。示例二：利用多元多项式基函数预测混凝土的抗压强度：y=y表示抗压强度，x1、示例三：利用样条基函数建模儿童生长曲线：y=y表示身高，x表示年龄，B1(x)、⋯、随堂测试：下面几个模型中哪些是线性模型？A.y=B.y=βC.y=D.y=案例迁移+启发式提问+模型构建，10分钟。案例教学法：通过一元、多元和样条基函数三个案例，加深对线性回归模型的理解。思政：样条基在弹道表示中的应用。即时评测。根据实践，请学员给出这些模型中的m、fx和β（二）线性模型的参数估计理论设有线性回归模型的n次独立试验得到的样本xiy将n次试验数据改写成如下线性方程组的形式，y其中y称X为广义设计矩阵，它由设计ξn高斯-马尔可夫假设：ε1线性回归模型中的未知参数包括回归系数向量β和随机误差的方差σ2。前面我们已经知道响应变量的回归值（拟合值）为y=Xβ=XX⊤X-1X残差向量:e≝y-y=I-Hy，则残差平方和RSS=e根据上述定理，我们可以得出如下推论：任给x，并以yx=f⊤xy即yx是响应值的无偏预测，且预测方差为σ有了预测方差，就可以回答引入案例中的不确定量化问题了。第一幅给出了三个曲面，分别是预测均值曲面和±σ第二幅图是基于预测均值曲面得到的合格与不合格分界线；第三幅图是基于y-σ曲面得到的合格与不合格分界线，对应合格率的保守估计。不考虑随机不确定性利用蒙特卡洛计算得到的合格率置信区间为[89.38%,

89.76%]；考虑随机不确定性，计算每个蒙特卡洛样本点处合格概率的平均值，得到合格率置信区间为82.74%,

83.20%。多媒体讲解，10分钟。提问：高斯马尔可夫假设与固定效应模型中的假设一致吗？直接给出定理，不证明，只解释。最小二乘的几何解释：寻找是残差向量长度最短的解。问题回归。提问：你愿意采信哪个结论？强化：基于经验模型（代理模型）进行评估的方法。课堂小结与答疑：后测：若时间不够则留作课后习题。参考答案X⊤X=300y-1=2.25，yRSS=0.05总结：知识线：模型形式→估计方法→性质；能力线：建模→求解→解读；拓展：线性回归模型与固定效应模型的异同不同点：适用场景不同，线性回归模型主要用于连续因子、连续响应的场景；固定效应模型主要用于分类因子、连续响应的场景。相同点：二者都是线性模型，参数估计的方法一致。多媒体讲解+互动交流，5分钟。作业、习题、思考题：尝试利用大模型分析本次课程的数据；完成本节雨课堂课后习题；仔细阅读新版教材4.1解的内容，提出修改建议。课后小结：

教案续页14授课时间第11周周2第9,10节课次第14次授课方式■理论讲授□实践指导□实验指导□习题讲解学时安排2授课题目（教学章、节或主题）：4.2线性模型的假设检验知识和能力目标及其要求程度：知识目标：理解回归方程显著性检验、回归系数逐个检验与分组检验的统计思想与理论基础，掌握F检验、t检验在不同检验中的构造逻辑及其适用条件，辨析三者在假设设定、检验目的与解释含义上的本质区别。能力目标：能够基于试验数据构建合理的线性回归模型，运用Python进行参数估计，并根据研究问题选择恰当检验方法，独立完成回归方程的整体显著性判断、关键变量的显著性分析及变量组的联合效应检验。思政目标：通过检验方法的选择与结果解读，培养学生严谨求实的科学态度，强调统计推断中“证据意识”与“边界意识”；结合实际案例，引导学生认识统计方法在科学决策中的支撑作用，增强服务国家战略需求的责任感与使命感。教学重点及难点：重点：回归系数的逐个检验中t检验统计量的构造难点：回归系数的分组检验中F检验统计量的构造课堂总体设计本次课以“钻地弹侵彻深度与曲径比关系”这一工程背景案例贯穿始终，形成“问题驱动—模型构建—假设检验—结果解读—模型选择”的完整闭环。基于案例驱动、问题导向的设计理念，设计如下层次分明、螺旋上升的四阶段递进结构：阶段内容目标第一阶段：引出矛盾，激发思考（5分钟）展示三个模型对同一数据的拟合结果，揭示参数估计不稳定现象（如线性效应剧烈变化），提出“哪个模型更合理？”的问题。唤醒学生对“模型选择标准”的认知需求，为引入假设检验提供动机第二阶段：理论建构，层层深入（65分钟）依次讲解：1.回归模型显著性检验（F检验）2.回归系数逐个检验（t检验）3.回归系数分组检验（广义F检验）构建“整体→个体→群体”的三层检验体系，突出方法间的内在联系与适用边界第三阶段：综合应用，升华认知（15分钟）案例回归+代码演示+模型比较（R²vs.调整R²）实现理论向实践转化，引导学生理解“统计显著≠实际有效”，培养模型评价意识第四阶段：总结与答疑（5分钟）闭环学习目标第二阶段每讲解一个方法，都回归到引入案例，实现理论与技术的融合、知行合一。教学基本内容教学方法及时间设计第一节课引言：钻地弹弹头的形状对侵彻性能有较大的影响。尖卵形弹头的侵彻能力与曲径比ψ有关。工程师要研究尖卵形弹头的曲径比与侵彻深度之间的关系。共进行了20个试验：曲径比观测值总和平均值123452.55.755.425.305.395.7027.565.5123.05.655.935.905.796.1029.375.8743.56.006.516.106.376.2931.276.2544.07.257.007.156.857.1035.357.070利用上节课的知识，我们可以拟合三个模型：一阶模型y二阶模型y三阶模型y如果将β1理解为线性效应、β2理解为平方效应、β3本次课将从假设检验的角度来解读这些问题。模型假设：对问题建立回归模型后，需要对回归模型进行检验，包括对回归模型的显著性检验和对回归系数的显著性检验。为简单起见，本节在假定ε∼N0,σf对应的回归系数β中，其第一项β1多媒体讲解，5分钟。使学员感受到不同模型对数据分析结果的巨大影响。强调本次课所有分析，都是建立在该假设之下。（一）回归模型的显著性检验对回归模型的显著性检验即从整体上检验自变量与因变量之间是否有明显的线性关系，为此提出假设H这里，β-1=β2,⋯,βy=表示不合适。检验方法是做方差分析。首先分解总偏差平方和S可以证明上式第二项为0。因此有平方和分解式S其中第一项S恰为残差平方和RSS；S为回归平方和。定理：如果回归函数中f1x≡1，则当F特别地，对于给定的显著性水平α，回归模型显著性检验的拒绝域为F>F注：以上定理成立的前提条件是f1x≡多媒体讲解，15分钟。证明过程详见教材。证明过程详见教材。案例回归：利用大模型生成代码，对侵彻深度数据中的一阶、二阶和三阶模型的显著性进行检验。得到的结果如下一阶模型：二阶模型：三阶模型：三个模型的p值都很小，说明三个模型都是显著的。简单根据模型显著性检验无法判断三个模型的好坏。多媒体讲解，5分钟。思政：一种方法无法解决问题，应锲而不舍尝试新的方法。（二）回归系数的逐个检验如果回归模型中包含一些对y影响不大的自变量，会增加待估参数的个数而使得参数估计的精度降低。因此，通过回归模型的显著性检验后还需对每个自变量进行检验，剔除不重要的自变量，建立更简单的线性回归模型。检验向量函数fx的第j个分量fH若原假设成立，则fj我们知道，β∼Nβ,σ2X⊤Xβ因上式中σ未知，不能直接以它作为统计量来检验假设H0。根据和tt因此，给定检验水平α，当t时，拒绝原假设H0，认为βj显著异于0；否则认为fj多媒体讲解，10分钟。案例回归：利用大模型生成代码，对侵彻深度数据中的一阶、二阶和三阶模型的显著性进行检验。得到的结果如下一阶模型：二阶模型：三阶模型：在一阶模型和二阶模型中，所有回归系数都显著，为什么三阶模型中三个回归系数反而都不显著了呢？可能的原因：在四个点的设计下，三个变量高度相关；四个不同的点拟合包含4个参数的三阶模型，属于边界拟合；误差自由度低，统计检验的功效下降了（系数估计的标准差变大了）；产生了过拟合。多媒体讲解，10分钟。理解并不是变量越多越好，引出后续回归模型的诊断等内容。思政：模型并不是对数据拟合越佳越好，应该在复杂度与拟合之间寻找平衡。第二节课（三）回归系数的分组检验在方差分析中，我们对效应进行了分组检验，回归模型中除逐个对自变量的显著性进行检验外，也可以分批次进行检验。设r∈{1,2,⋯,m-1}，X其中，Xk和Xr分别为n×k和βRSS称y=XβRSS定理：考虑检验问题H当原假设H0成立时，RSS与RSSRSS根据该定理的结论，取r=1，可以依次检验各变量的显著性，将不显著的变量剔除，达到简化模型的目的；取r=m-多媒体讲解，10分钟。定理的证明详见教材。这里是难点，重在使学员理解直观含义。案例回归：侵彻深度案例中，利用大模型生成代码尝试分组检验。提示词如下：现有数据如下：曲径比x侵彻深度y123452.55.755.425.305.395.703.05.655.935.905.796.103.56.006.516.106.376.294.07.257.007.156.857.10利用Python实现以下功能：拟合三阶模型y=采用分组检验法检验如下七个检验：βββ生成代码如下：importnumpyasnp

importpandasaspd

importstatsmodels.apiassm

fromstatsmodels.formula.apiimportols

#原始数据

data_dict={

2.5:[5.75,5.42,5.30,5.39,5.70],

3.0:[5.65,5.93,5.90,5.79,6.10],

3.5:[6.00,6.51,6.10,6.37,6.29],

4.0:[7.25,7.00,7.15,6.85,7.10]

}

#展开为20个观测

data=[]

forx,y_listindata_dict.items():

foryiny_list:

data.append([x,y])

df=pd.DataFrame(data,columns=['x','y'])

#构造高阶项

df['x2']=df['x']**2

df['x3']=df['x']**3

#拟合三阶模型

model=ols('y~x+x2+x3',data=df).fit()

print("===三阶多项式模型拟合完成===")

print("模型:y=β0+β1*x+β2*x²+β3*x³")

print("\n回归系数估计：")

print(model.params.round(4))

print("\n"+"="*60+"\n")

#定义七个检验

hypotheses=[

('β₂=β₃=0','(x2=0,x3=0)'),

('β₁=β₃=0','(x=0,x3=0)'),

('β₂=β₁=0','(x=0,x2=0)'),

('β₁=β₂=β₃=0','(x=0,x2=0,x3=0)'),

('β₁=0','(x=0)'),

('β₂=0','(x2=0)'),

('β₃=0