高考数学理科复习课件：平面向量基本定理及坐标表示

考试说明

1.了解平面向量的基本定理及其意义.

2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.

3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.

4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

■谈箭双蜀惆

知识聚焦

1.平面向量的基本定理

如果ei.e.是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a值且以有

一对实数21,入2,使"A1Q+A28.其中，不共线的向量5e?叫作表示这一平面内所有

向量

的一组基底

2.平面向量的坐标运算

⑴平面向量的坐标运算

向量aba-b

坐标_____________________

・课前双基巩固

⑵向量的坐标求法_________________

已知A(xi,yi),B(xz,y2),则心(x2-Xl,Y2-yi)ABI=J仅？或1户-%：

3.平面向量共线的坐标表示

设a二1xj,yi),b=(x2,y。，其中a/0,则向量a与向量b共线0b=)a=xy2-x2yi=0

•课前双基巩固

常用结论

1.指与坏共线，且入a+ub=O,则入=uR

2.已知OA=2OB+gOC（2p为常数），则A,B,C三点共线的充要条件是入+"1.

3.已知P为线段AB的中点，若AgyDKxzyJ则P点坐标为（中，空）;已知的顶

点脓3店仅2山储仅3W贝必人8（：的重心G的坐标为（怔产，红竽斗

・课前双基巩I

对点演练

题组一常识题

［答案w

1」教材改编］已知向量©r2不共线，实数

［解析］因为向量心色不共

x,y满足(3x-2)e〔+(3-5y)e2=2ye-2e2，贝lj

一x_二线'所以［IjZ2j解得

y---------------

课前双基巩固

2.［教材改编］已知。为坐标原［答案］(.24)

点，A(3,-2)B(0»若前三通则点C的

［解析］因为0(0,0),A(3,-2),B(0,5),

坐标是

所以标=(-3,7质=|^F=(-2,y),

赃(2学.

・课前双基巩固

.［教材改编］已知平行四边形的

3ABCD［答案］(3.6)

三个顶点A(1.0),B(3,0),C(5,6),则顶点D解用设D(x,y),因为四边形

的坐标为

ABCD是平行H边形，所以

DC^B,即(8,6y)=(2,0),所以

5-x=2且6-y=0,所以x=3,y=6.所

以点D的坐标为(3,6).

・课前双基巩固______________________

4.［教材改编］已知HT,0,k(sin6,cose),［答剽［

且a//b,贝l］tan0=

啾析］由a//bf*"8s(>5sin0,

所以tanJ—吗=1

meA2

・课前双基巩固

题组二常错题

♦索引：利用平面向量基本定理的前提是基底不能共线；由点的坐标求向量坐标忽

视起点与终点致误；两个向量共线的坐标表示公式掌握不牢.

______1Q

5.给出下列三个向量：：〃=(Q，5［答案］2

),b=(1,-3),c=(-2,6).从三个向量中任意取［解析］这三个向量中b〃c,a与b,c不平行

两个作为一组，能构成基底的组数所以可以构成基底的是a与b,a与c,所以

三个向量能构成两组基底.

为_________

•课前双基巩固

［答案］(晨或《令

6.已知A(-1,3),B(2,-1),则与向靛共线

的单位向量是［解析］因为

而=(3,⑷•丽=卜+(-4)2=5,所

以与AB共线的单位向量是4(3,4),

即或''1,^本题易忽视方向相

同和相反两种情况.

■课前双基巩固

7.已知平面向量a=(3,-5)b=(k,k-1),若a//b,

r［答案］I

则仁［解析］由已知可得

3(k-1)-(-5)k-0,得人三本题利用

两向量平行的条件列方程时，易

出现用错公式的错误.

■课堂考点探究

探究点一平面向量的基本定理

例1⑴在平^亍四边形ABCD中，E为CD的

［思路点拨］(1)首先根据平行四边形的性

中点，BE与AC的交点为F,设陟a,AD=b,

质用a,b表示出BC,CE,然后用BC,CE表

则BF=()

A,他B.±勺示出BF,由此可得结果；(2)利用C,E.M

三点共线和B,E,N三点共线，分别表示出

c*1m•+争

⑵已知在ZsABC中，M为AB的一个三等分向量AE,再利用向量相等得出其系数的

点，帆AB=1:3,N为AC的中点，BN与关系，可求得系数的值.

CM交于点E.若丽丁,祚n,则

AEF.(用向量m,课示)

・课堂考点探究

［答案］⑴C(2»n+，

［解析］(1)连接BD,与AC交于点0,因为E为CD的中点，。为BD的中点，所以F为

△BCD的重心.由题意蚯？=；而=・：近=/屈=而=仇则而q瓦+函=|

亭+*故选c.

⑵由C,E,M三点共线，可设金二而1,则定而二a两KG),所以——

AE=；J4M+(1^)AC=^AB4-(1-2)4C,同理由B,E,N三点共线，可设BE=uBN,则

且1/=^，解彳导•所必E=gj48+|尼=gm+|几

・课堂考点演

［总结反思］⑴应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平^四边形

法则或三角形法则进行向量的加、减运算或数乘运算

⑵用平面向量基本定理解;夬问题的一般思路是：先选择T且基底，并运用该

基底将条件禾吆言论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.

■课堂考点探究

变式题⑴如图4-261,在正方形ABCD［答案］⑴A(2)-3

中，E为DC的中点，若AE=AB邙AC则

［解析］⑴因为E为DC的中点，所以

打的船(配二厢十而=；而曰而+而w而十屉抑

22版=1荏+/所以＞.=・；/=L所以＞.+"=；,故选A.

C.lD.-1

⑵YD为△ABC所在平面内一点,而=+通+g无,

⑵设I)为AABC所在平面内一

〈BCD三点共线若BC=ADC(aeR),：

点而=*而《元,若BC二AKXAER),则

AC-AB=AAC-AAD化为AD』AB+2TAC,与

而U而€元作比较，可*=WA押得人＞3.

・课堂考点探究

探究点二平面向量的坐标运算

例2⑴若标(5,-3)7AC=(-1,7),AM=MB、AN=NC,则

［思路点拨］(1)利用线段的中点

MN=()

关系和向量运算的三角形法则以

A.(6,-10)B.(-6,10)

C.(3,-5)D.(-3,5)及坐标表示直接计算；⑵设点

⑵已知点和向量二若则点

M(-3.2)a(5,-1),MN=2a,NN(x.y),利用已知条件得出关于x,y

的坐标为()

的方程组，解之可得.

A.(-2,1)B.(2,1)

C.(7,0)D.(-7,0)

・课堂考点探究

［答案］⑴D(2)C

［解析］⑴由削=旭AN=NC知，M,N分别是线段AB,AC的中点，所以

而日正=/近.荏)=(35).故选D.

⑵心2a-2(5,-1)-(10.-2),设点N(x,y)，则心仪+3,y2)-(10,-2),所以x+3-10且厂2--2,

解得x=7,y=0.故选C.

•课堂考点探究

［总结反思］⑴利用向量的坐标运算解题，主要是利用加、减、数乘运算法则，然后

根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等'这一原则，化归为方程绚进

行求解.

⑵向量的坐标表示把点与数联系起来，实际上是向量的代数表示，即引入平面向

量的坐标可以使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题

的解答转化为我们熟知的数量运算.

・课堂考点探究

变式题⑴在平面直角坐标系中，点［答案］⑴C(2)4<r<i

将向量绕点按逆时针

0(0.0),P(3,J3),0P0析］⑴由点0(0,0),P(3,J3)知NP0小

方向旋转三后得向量0Q,则点Q的坐标是

且0|Pr2J3,所以点Q的坐标为(2V3cos(

()

□+±,2也sin(x「)),即(2VW'243sM二

A.(-3N3)B.(-也N③)A26233

Cem)D.(・3,3)二(-J3,3).故典

⑵已知点(2)因为0A=(T.2),AB=(3,2)JJf以

0(0.C),A(-1.2),B(2,OMA+tAB；当点P0P=0A^iAB^(3t-1,2t+2),因为点P在第二

在第二象限时，实数的取值范围

t黑工。解得一”

象限，枪

是

・课堂考点探究

探究点三平面向量共线的坐标表示

例3⑴[2018•全国卷III]已知向■

［思路点拨］(1)首先计算出2a+b.

炉(L2),k(2,-2),c=(l,A).若c//(2cHb),则F

然后利用平面向量共线的条件建

⑵[2018•西安长安区联考]已知向量

0A=(-1,1),OB=(-2.2),00=(k+1,k-3),若A,B,G三点不能立简单方程求解；(2)A,B,C三点不

能构成三角形转化为向量AB,AC

构成三角形，则实数k满足的条件是()

A.k=-16B.k=16C.k=-1D.k=l共线，因此先求出AB,AC的坐标，

再利用向量共线的条件建立方程

即可解决.

・课堂考点探究

［答剽⑴S(2)D

廨析］⑴由已知得2aW(4,2),由c//(2a用)可得鸿，所以l=1.

⑵因为眸(T,1),期(-2,2)gk+1,k-3),所阳(T,1),AO(k+2k4),若AB,CH

点不能构成三角形，则AB,C三点共线，则有AB//AC,即有2叱*,解得k=1,故选D.

・课堂考点探究

［总结反思］⑴两平面向量平行的充要条件有两种形式：①若行(xi,yi),b=(X2,y)则a//b的充

要条件是xiy2-X2yF0;②已知bHO,则a〃b的充要条件是a二入bSGR).

(2)利用向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数，当两向量的坐标

均为非零实数时，也可以利用坐标对应成比例来求解.

,课堂考点探究

变式题⑴设向量［答案］⑴C(2)C

BA4,4)BC43,4)AD=(1,O),［解析］⑴选项AABg-lY)BC43,4),・1X#4X(・3)A

则()错误；选项8•14)语1,0),-1、屏4<18%昔误；

A^AB//ECB.AB//AD选项CAC双苒A440)AI月l,0),4x(X)x1则A。/

C.AC//ADD.BC//ACAD,C正确；选项

(2)［2318•辽宁丹东五校协作体D,BC=(-3,4),AC=BC-RA=(-4,0),-3X0W4X(-4),怖笥吴.故

联考］若向量。=《tan加力=(cos

选C.

a,1),且a//b,则cos2a=()

(2)・Z〃bM=(；,tana),b=(cosa,l)，：［ana-cosa=sina='

2

・：cos2a=l-2sin%=l-2x(；)=(故选C.

■教师备用例题___________________________________________________________

【备选理由】例1是关于平面向量基本定理的问题，例2是利用平面向量的坐标运

算解决范围的问题，例3是平面向量共线的坐标表示的问题，希望通过练习能提高

学生的解题能力.

■教师备用例题

例1〔配例1使用］如图，G是△OAB的重［答案］3

心，P.Q分别是边OA,0B上的动点，且［解析］因为P,G,Q三点共线，所以PG二LPQ,所以

P,G,Q三点共线.设证xOA,OQ=yOB—OG=OP+PG=OF+2PQ=OP+2(OQ-OP尸(1-2)OP

+20Q=(l・2)xOA+yOB.①

因为G是288的重心，所以

OG=^OM=沁褊+丽乏OAOB.®

因为OA,0B不共线，所以由①©得((1且小毛

解得2=3・3入1=37所以L+工=3.

*yxy

・教师