1.3空间向量及其运算的坐标表示(讲义)(原卷版)

第一章空间向量与立体几何第一章空间向量与立体几何1.3空间向量及其运算的坐标表示课标要点1.掌握空间直角坐标系搭建规则，理解坐标向量、坐标平面、卦限等基础概念。2.熟记空间点与空间向量坐标定义，分清坐标轴、坐标平面上点的坐标特征。3.熟练掌握向量加减、数乘、数量积等坐标运算，会用坐标判定平行与垂直。4.灵活运用向量坐标、两点距离、中点公式，计算线段长度与向量夹角。学习重难点重点：1.空间直角坐标系概念，点与向量坐标的定义，特殊位置点的坐标书写规律。2.空间向量各类坐标运算公式，利用坐标判断向量共线、垂直的判定条件。3.空间两点距离公式、向量模长与夹角公式，能结合坐标完成计算题型。难点：1.区分点坐标与向量坐标，正确推导两点构成向量的坐标表达式。2.向量夹角范围易混淆，计算异面直线夹角时不会对余弦值取绝对值转换。3.结合坐标综合证明平行、垂直，综合运用多个公式解决几何计算问题。知识点一空间直角坐标系在空间选定一点O和________正交基底i→,j→,k→，以O为原点，分别以i→,O：坐标原点；i→坐标平面：两条坐标轴确定一个平面，分为________、________、画图规范：x轴、y轴夹角画________或________，z轴竖直向上。1.空间点的坐标对空间任意一点A，存在唯一有序实数组(x,y,z)，满足OA→=xi→+yj→+zx：横坐标，y：纵坐标，z：竖坐标。坐标轴、坐标平面上点的坐标特征：点的位置x轴上y轴上z轴上坐标的形式________(0,y,0)________点的位置Oxy平面内Oyz平面内Ozx平面内坐标的形式(x，y,0)________(x,0，z)2.空间向量的坐标向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量,作,由空间向量基本定理,存在________的有序实数组(x,y,z),使.有序实数组(x,y,z)叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作．即学即练1．在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中一点，则下列叙述正确的是（

）A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是2．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（

）A． B． C． D．知识点二空间向量的运算及坐标的关系设向量,那么向量运算坐标表示加法________减法数乘________数量积共线垂直________向量长度________向量夹角公式________特别提醒特别提醒在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了.即学即练3．已知空间向量，向量，则__________．4．已知空间向量，，若，则实数的值为_________．知识点三向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中,设．（1）________；（2）________；（3）若则________即学即练5．已知空间直角坐标系中的满足，，则（

）A． B．3 C． D．5题型01空间向量的坐标表示典｜例｜精｜析【例1】已知点，点，则向量的坐标是（

）A． B． C． D．【例2】在空间直角坐标系中，已知点，，点D满足，则点D的坐标是（

）A． B． C． D．变｜式｜巩｜固【变式1-1】已知、、，若，则的坐标是（

）A． B．C． D．【变式1-2】已知点，点，则线段中点坐标为（

）A． B．C． D．【变式1-3】已知，，且，则点的坐标为______．题型02空间向量的坐标运算典｜例｜精｜析【例3】已知向量，且与垂直，则的值为（

）A． B． C． D．【例4】已知，，且，则（

）A．-5 B．1 C．3 D．5变｜式｜巩｜固【变式2-1】已知空间向量，若共面，则（

）A．2 B．1 C． D．【变式2-2】已知，则等于（

）A． B．C． D．【变式2-3】已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数t的取值范围是______.题型03坐标形式解决空间向量的数量积典｜例｜精｜析【例5】《九章算术》中将底面为直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．如图，已知在堑堵中，，，，，，则（

）A． B．4 C． D．【例6】如图所示，在正方体中，棱长为分别为各棱的中点，则的不同值有__________个.变｜式｜巩｜固【变式3-1】如图，棱长为1的正方体中，（

）

A．0 B．1 C． D．2【变式3-2】已知八面体由正四棱锥与正四棱锥构成（如图），若，，点分别为的中点，则（

）A．0 B．2 C． D．【变式3-3】在空间直角坐标系中，已知点，，，则_____.题型04坐标形式解决空间向量数量积的最值范围问题解题贴士解题贴士1.设参转化：向量含动点时，设动点参数t，把a→、b2.展开数量积：代入a→⋅b→=3.定义域约束：结合动点位置确定参数t取值范围，如线段上动点t∈4.求最值：利用二次函数开口方向、对称轴，在定义域内求出最大值与最小值，得到数量积取值区间。典｜例｜精｜析【例7】已知为原点，，，，点在直线OP上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（

）A． B． C． D．【例8】如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为1的正方形，M为底面ABCD内的一个动点（包括边界），底面ABCD，底面ABCD，且，则的最小值与最大值的和为______．变｜式｜巩｜固【变式4-1】已知，，若点在直线上运动，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式4-2】已知正六棱柱的底面边长为，是正六棱柱内（不含表面）的一点，则的取值范围是______.【变式4-3】如图，长方体中，，点为线段上一点，则的最大值为__________.题型05坐标形式解决空间向量的模（距离，长度）典｜例｜精｜析【例9】已知空间直角坐标系中的三点，则为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形【例10】已知正三棱锥的三个侧面均为等腰直角三角形，过点作一平面，使得三点在平面的同一侧，且三点到该平面的距离分别为，则三棱锥的侧棱长为（

）A． B．2.5 C． D．2.6变｜式｜巩｜固【变式5-1】设，，，，且，，____．【变式5-2】如图，在棱长为的正方体中，，分别在，上，且，，则（

）A． B． C． D．【变式5-3】定义：设是空间的一个基底，若向量，则称实数组为在基底下的坐标.正月十五赏花灯是元宵节重要的习俗之一，某花灯的主体为正六棱柱，其中，.若在基底下的坐标为，则的模为（

）A． B．130 C． D．题型06坐标形式解决空间向量模的最值（范围）问题典｜例｜精｜析【例11】如图，四棱锥中，，平面平面．若，，且，则的取值范围是（

）

A． B．C． D．【例12】在边长为2的正方体中，，分别为，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点）满足，则线段的长度的取值范围为（

）A． B． C． D．变｜式｜巩｜固【变式6-1】如图，在边长为3的正方体中，，点在底面正方形上移动（包含边界），且满足，则线段的长度的最大值为（

）

A． B． C． D．【变式6-2】在长方体中，，，向量，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式6-3】笛卡尔是世界著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.据说在他生病卧床时，突然看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所示的空间直角坐标系中，几何体为长方体，且，P是直线上一动点，则的最小值为（

）

A． B． C． D．题型07坐标形式解决空间向量的夹角问题典｜例｜精｜析【例13】在正方体中，为的中点，则与所成的角的余弦值为（

）A． B． C． D．【例14】设空间中两个单位向量与的夹角都等于，则__________．变｜式｜巩｜固【变式7-1】已知空间内三点，则以，为邻边的平行四边形的面积为（

）A． B． C．7 D．【变式7-2】已知直线的方向向量为，点在上，现有直线外一点，则与所成的角的余弦值为（

）A． B． C． D．【变式7-3】设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，求的值（

）A． B． C． D．题型08坐标形式解决空间向量的投影向量典｜例｜精｜析【例15】在空间直角坐标系中，向量在面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为（）A． B． C． D．与t有关【例16】已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为__________．变｜式｜巩｜固【变式8-1】已知，在的投影向量为，且，则（

）A． B． C． D．【变式8-2】已知向量，，，若，，，共面，则在上的投影向量的模为__________.【变式8-3】空间向量，向量与夹角为，且，若在上的投影向量为，则等于________．题型09坐标形式解决空间向量的平行关系典｜例｜精｜析【例17】已知向量，,则___________．【例18】已知空间三点.(1)求的面积；(2)若向量，且，求点的坐标.变｜式｜巩｜固【变式9-1】已知空间两点，向量满足，则实数的值为（

）A．0 B．1 C．0或1 D．不存在【变式9-2】正四棱台是的中点，在直线上各取一个点P、Q，使得M、P、Q三点共线，则线段的长度为__________．【变式9-3】如图，在四棱锥中，底面为梯形，，且，是棱的中点，设平面，则的值为（

）A． B． C． D．题型10坐标形式解决空间向量的垂直关系典｜例｜精｜析【例19】已知，，且，则（

）A． B． C． D．3【例20】已知空间三点，，．若，分别与，垂直，则向量______．变｜式｜巩｜固【变式10-1】已知点，向量与向量互相垂直，则实数的值为多少？【变式10-2】给定空间三点．若向量与向量都垂直，且，则向量的坐标为___________．【变式10-3】在空间直角坐标系中，已知，，，，则三棱锥的体积为（

）A．5 B．10 C．20 D．30基础通关一、单选题1．已知点M在z轴上，且点M到点与到点的距离相等，则点M的坐标为（

）A． B．C． D．2．已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（

）．A． B． C． D．3．已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（

）A． B． C． D．或4．已知向量满足，，，则（

）A． B．2 C． D．45．《九章算术》中将底面为直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．如图，已知在堑堵中，，则（

）A． B．1 C． D．二、多选题6．已知空间向量，则（）A． B．向量不是共面向量C． D．7．在正方体中，设棱长为，则下列结论正确的有（

）A．向量的模长为2 B．向量的坐标为C．直线与平面垂直 D．异面直线与所成角为三、填空题8．已知向量，向量，若，则__________．9．在空间直角坐标系中，已知向量，，，若点在平面内，则实数的值为______．10．在正四棱台中，，，，_________．四、解答题11．如图，在边长为4的正方体中，，，分别是，，的中点．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．写出，，，，五点的坐标；12．已知向量.(1)求向量的坐标；(2)求与夹角的正弦值.13．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，|AP|＝|AB|＝2，|BC|＝，E，F分别是AD，PC的中点．求证：PC⊥BF，PC⊥EF．

素养提升1．已知，，若，以下向量中可以作为的是（

）A． B．C． D．2．在空间直角坐标系中，，点在平面内运动，则当取最小值时，的坐标为_________．3．如图，在棱长为1的正方体中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系.

(1)若点P在线段上，且满足，试写出点P的坐标，并写出点P关于y轴的对称点的坐标；(2)在（1）的条件下，在线段上找一点M，使得点M到点P的距离最小，求出点M的坐标.4．已知空间三点，，．(1)求线段中点的坐标，和线段的长度；(2)求直线和直线夹角的余弦值；(3)若点在直线上，且，求点的坐标．5．已知空间四点，，，.(1)若、、、四点共面，求的值；(2)求直线和直线夹角余弦值的取值范围.6．在棱长为1的正方体中，是棱的中点，、分别为线段，上的点，且.(1)求的长度；(2)若，，求的值.7．如图1，在直角梯形中，，分别是的中点，将四边形沿折起，如图2，连接．

(1)求证：；(2)若为线段上一动点，，求的最小值．迁移创新1．