2025-2026年湖南省湘教版高二数学第十章数列应用题库

2025-2026年湖南省湘教版高二数学第十章数列应用题库一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=11，若该数列的前n项和为S_n，则S_10的值为（）A.150B.180C.210D.240解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=11，得11=3+4d，解得d=2。前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入n=10，得S_10=10/2[2×3+(10-1)×2]=210。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n=b_{n-1}+n（n≥2），则b_6的值为（）A.21B.22C.23D.24解析：由递推关系b_n=b_{n-1}+n，逐项计算：b_2=b_1+2=3，b_3=b_2+3=6，b_4=b_3+4=10，b_5=b_4+5=15，b_6=b_5+6=21。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=2n^2-3n+5，则c_4的值为（）A.11B.13C.15D.17解析：由S_n公式求通项：c_n=S_n-S_{n-1}=[2n^2-3n+5]-[2(n-1)^2-3(n-1)+5]=4n-5，代入n=4，得c_4=4×4-5=11。4.在等比数列{a_n}中，已知a_2=6，a_4=54，则该数列的前6项和为（）A.124B.126C.128D.130解析：由等比数列通项公式a_n=a_1q^{n-1}，代入a_2=6，a_4=54，得6q=54，解得q=9。a_1=6/q=6/9=2/3，前6项和S_6=a_1(1-q^6)/(1-q)=2/3(1-9^6)/(1-9)=2/3×(9^6-1)/8=126。5.已知数列{d_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则d_5的值为（）A.15B.20C.25D.30解析：由T_n公式求通项：d_n=T_n-T_{n-1}=(n(n+1)/2)-[(n-1)n/2]=2n-1，代入n=5，得d_5=2×5-1=9。6.若数列{e_n}满足e_1=2，e_n=e_{n-1}+n（n≥2），则e_3+e_4+e_5的值为（）A.35B.36C.37D.38解析：由递推关系e_n=e_{n-1}+n，逐项计算：e_2=e_1+2=4，e_3=e_2+3=7，e_4=e_3+4=11，e_5=e_4+5=16，e_3+e_4+e_5=7+11+16=34。7.在等差数列{f_n}中，已知f_1+f_2+f_3=12，f_4+f_5+f_6=18，则该数列的公差d为（）A.1B.2C.3D.4解析：由等差数列性质f_1+f_2+f_3=3f_2=12，得f_2=4；f_4+f_5+f_6=3f_5=18，得f_5=6；公差d=f_5-f_2=6-4=2。8.若数列{g_n}的前n项和G_n=3^n-1，则g_3的值为（）A.18B.27C.36D.45解析：由G_n公式求通项：g_n=G_n-G_{n-1}=(3^n-1)-(3^{n-1}-1)=3^n-3^{n-1}=2×3^{n-1}，代入n=3，得g_3=2×3^2=18。9.在等比数列{h_n}中，已知h_1=1，h_3=8，则该数列的前5项和为（）A.31B.33C.35D.37解析：由等比数列通项公式h_n=h_1q^{n-1}，代入h_1=1，h_3=8，得1q^2=8，解得q=2。前5项和S_5=h_1(1-q^5)/(1-q)=1×(1-2^5)/(1-2)=31。10.已知数列{m_n}的前n项和M_n=n^2+n，则m_4的值为（）A.20B.21C.22D.23解析：由M_n公式求通项：m_n=M_n-M_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n-1，代入n=4，得m_4=2×4-1=7。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_1=5，a_3+a_5=22，则该数列的前10项和S_10=________。参考答案：1402.已知数列{b_n}满足b_1=2，b_n=b_{n-1}+n（n≥2），则b_10=________。参考答案：553.若数列{c_n}的前n项和T_n=4n^2-3n，则c_5=________。参考答案：374.在等比数列{d_n}中，已知d_2=12，d_4=48，则该数列的公比q=________。参考答案：25.若数列{e_n}的前n项和G_n=2^n-1，则e_6=________。参考答案：646.在等差数列{f_n}中，若f_1+f_2+f_3+f_4+f_5=30，则f_3=________。参考答案：67.已知数列{g_n}的前n项和H_n=n(n+1)/2，则g_7=________。参考答案：138.在等比数列{h_n}中，已知h_1=3，h_5=243，则该数列的公比q=________。参考答案：39.若数列{m_n}的前n项和S_n=n^2+n，则m_8=________。参考答案：1510.已知数列{p_n}满足p_1=1，p_n=p_{n-1}+2n（n≥2），则p_5=________。参考答案：31三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2-3n+5，则该数列一定是等差数列。（）解析：由S_n求通项c_n=S_n-S_{n-1}=4n-5，是线性函数，故数列为等差数列。参考答案：正确2.在等比数列{b_n}中，若b_1>0，q>1，则数列{b_n}是递增数列。（）解析：由等比数列通项b_n=b_1q^{n-1}，因b_1>0，q>1，故b_n随n增大而增大。参考答案：正确3.若数列{c_n}的前n项和T_n=n^3，则该数列一定是等比数列。（）解析：由T_n求通项c_n=T_n-T_{n-1}=3n^2-3(n-1)^2=6n-3，不是等比数列。参考答案：错误4.在等差数列{d_n}中，若d_1=1，d_2=3，则该数列的前n项和S_n=2n^2-n。（）解析：公差d=3-1=2，前n项和S_n=n/2[2×1+(n-1)×2]=n^2-n。参考答案：错误5.若数列{e_n}满足e_n=e_{n-1}+n（n≥2），则该数列是等差数列。（）解析：由递推关系e_n-e_{n-1}=n，是线性函数，故数列为等差数列。参考答案：正确6.在等比数列{f_n}中，若f_1=f_2，则该数列一定是常数列。（）解析：由等比数列通项f_n=f_1q^{n-1}，若f_1=f_2，则q=1，故数列为常数列。参考答案：正确7.若数列{g_n}的前n项和G_n=2^n-1，则该数列是等比数列。（）解析：由G_n求通项g_n=G_n-G_{n-1}=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，是等比数列。参考答案：正确8.在等差数列{h_n}中，若公差d=0，则该数列的前n项和S_n=nd。（）解析：若公差d=0，则数列为常数列，S_n=na_1=nd。参考答案：正确9.若数列{i_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则该数列是等差数列。（）解析：由T_n求通项i_n=T_n-T_{n-1}=2n-1，是等差数列。参考答案：正确10.在等比数列{j_n}中，若j_1=1，j_3=8，则该数列的公比q=2。（）解析：由j_3=j_1q^2，得1q^2=8，解得q=±√8，不一定是2。参考答案：错误四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.已知数列{a_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，求该数列的通项公式a_n。解：当n=1时，a_1=S_1=3-2=1；当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=[3n^2-2n]-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5；故通项公式a_n=6n-5（对n∈N均成立）。2.在等比数列{b_n}中，已知b_1=2，b_4=16，求该数列的前7项和S_7。解：由b_4=b_1q^3，得2q^3=16，解得q=2；前7项和S_7=b_1(1-q^7)/(1-q)=2×(1-2^7)/(1-2)=126。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_n=c_{n-1}+2n（n≥2），求c_10的值。解：由递推关系c_n=c_{n-1}+2n，逐项计算：c_2=c_1+4=5，c_3=c_2+6=11，c_4=c_3+8=19，…，观察规律：c_n=c_1+4+6+…+2n=1+2(1+2+…+n-1)=1+n(n-1)=n^2-n+1，代入n=10，得c_10=100-10+1=91。4.在等差数列{d_n}中，已知d_1=3，d_5=15，求该数列的前10项和S_10。解：公差d=d_5-d_1=15-3=12，前10项和S_10=n/2[2d_1+(n-1)d]=5[2×3+(10-1)×12]=540。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产能力的10%，已知2020年生产能力为100万件，求2023年的生产能力。解：设生产能力为{a_n}（单位：万件），则a_1=100，q=1.1，a_3=a_1q^2=100×1.1^2=121，a_4=a_3q=121×1.1=133.1，答：2023年生产能力为133.1万件。2.某城市人口增长率为每年5%，已知2020年人口为100万，求2025年的人口数量。解：设人口为{b_n}（单位：万），则b_1=100，q=1.05，b_5=b_1q^4=100×1.05^4≈121.55，答：2025年人口约为121.55万。3.某企业投资额每年递减15%，已知2020年投资额为1000万元，求2023年的投资额。解：设投资额为{c_n}（单位：万元），则c_1=1000，q=0.85，c_3=c_1q^2=1000×0.85^2=722.5，答：2023年投资额为722.5万元。4.某产品成本每年降低8%，已知2020年成本为100元，求2024年的成本。解：设成本为{d_n}（单位：元），则d_1=100，q=0.92，d_4=d_1q^3=100×0.92^3≈778.72，答：2024年成本约为778.72元。【标准答案及解析】一、单选题1.C2.A3.A4.B5.A6.A7.B8.A9.D10.D二、填空题1.1402.553.374.25.646.67.138.39.1510.31三、判断题1.√2.√3.×4.×5.√6.√7.√8.√9.√10.×四、简答题1.a_n=6n-5解析：由S_n=3n^2-2n，当n=1时a_1=1；当n≥2时a_n=S_n-S_{n-1}=6n-5，验证n=1时成立。2.S_7=126解析：由b_4=b_1q^3，得q=2；S_7=b_1(1-q^7)/(1-q)=2×(1-2^7)/(1-2)=126。3.c_10=91解析：由递推关系c_n=c_{n-1}+2n，得c_n=n^2-n+1，代入n=10，得c_10=