第八讲 圆内接四边形与正多边形 期末复习教学课件浙教版数学九年级上

第八讲圆内接四边形与正多边形

重点分析：1.四边形的四个顶点均在同一个圆上的四边形叫作圆内接四边形。2.圆内接四边形的性质定理：（1）定理1：圆内接四边形的对角互补。（2）定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。3.圆内接四边形的判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四

边形的四个顶点共圆。该定理的推论为：如果四边形的一个外角等于它

的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。

难点分析：1.圆内接四边形的性质定理是圆中探求角相等或互补关系的常用定理，

同时也是转化角的常用方法。2.掌握一些常见的特殊的圆内接四边形，例如：（1）矩形：对边相

等，对边平行。（2）正方形：对边相等，对边平行，邻边相等。3.正多边形的性质：（1）任意正多边形都具有内切圆和外接圆，并且

是同心圆。（2）任意正多边形都是轴对称图形，边数为偶数的正多边

形是中心对称图形。4.用量角器等分圆周是一种简单而常用的方法，但边数很大时，容易有

较大的误差。除了借助量角器画正多边形以外，我们还可以通过尺规作

图来画正多边形。尺规作图的优点是误差小，可以较为准确地对圆周进

行等分，但是尺规作图有较大的局限性，它不能对圆任意等分，只能作

出一些特殊的正多边形，如正三角形、正六边形、正十二边形、正四边

形、正八边形、正十六边形等。

如图所示，四边形ABCD内接于☉O，给出下列结论：①∠1=∠A；

②∠B=∠D；③∠A+∠2=180°；④∠A+∠2=∠B+∠D。其中正确的结论有

（填序号）。

根据圆内接四边形的性质可知，圆内接四边形对角互补，

任何一个外角都等于与它相邻内角的对角，即可得出答案。

①③④

本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解答本题的关键。

注意本题结论②只有当AC是☉O的直径时才成立，一般的

圆内接四边形没有对角相等这一结论。

如图，☉C经过正六边形ABCDEF的顶点A，E，则

根据正六边形的性质求出∠B=∠BCD=∠D=120°，

AB=BC，CD=DE，得出∠BCA=30°，∠DCE=30°，从而可求出∠ACE的度

数，进而根据圆周角定理求出∠APE的度数即可。

如图，连结AC，EC。∵六边形ABCDEF是正六边形，

本题考查了正多边形与圆、等腰三角形的性质、圆周角定

理、三角形的内角和定理等知识点，求出∠ACE的度数是解本题的关

键。

正多边形的问题通常都转化为特殊三角形的问题解决，本

题中的∠ACE其实是等边三角形的一个内角。

研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于

对角线乘积的一半。如图1，已知四边形ABCD内接于☉O，对角线

AC=BD，且AC⊥BD。（1）求证：AB=CD。

（3）如图2，作OM⊥BC于点M，请猜测OM与AD的数量关系，并证明

你的结论。

（3）连结OB，OC，OA，OD，作OE⊥AD于点E，根据垂径定理得到

AE=DE，再利用圆周角定理得到∠BOM=∠BAC，∠AOE=∠ABD，再利用

等角的余角相等得到∠OBM=∠AOE，则可证明△BOM≌△OAE，从而可

得OM=AE，证明结论。

（3）AD=2OM。连结OB，OC，OA，OD，作OE⊥AD于点E，如图4。∵OE⊥AD，∴AE=DE。∵∠BOC=2∠BAC，而∠BOC=2∠BOM，

∴∠BOM=∠BAC。

∴△BOM≌△OAE。∴OM=AE。∴AD=2OM。

本题是圆的综合题，熟练掌握圆周角定理、垂径定理、等

腰三角形的性质和矩形的性质、会利用三角形全等解决线段相等的问题

是解题的关键。

题（3）的关键是要注意图形的对称性，利用对称性构造

全等三角形是解题的重要途径。

延长DC至点N，使CM=CN，连结BN，根据圆内接四边形

的外角等于内对角可知∠BCN=∠BAD，然后根据同一圆中同弧或等弧所

对的圆周角相等可证∠BCM=∠BAD=∠BCN，再根据SAS证明

△BCM≌△BCN，从而可得BM=BN，∠N=∠AMB=90°。再根据HL证明

Rt△BAM≌Rt△BDN，推出AM=DN，从而可证得结论。

如图，延长DC至点N，使CM=CN，连结BN。

∴AM=DN。又∵DN=DC+CN=DC+CM，∴AM=DC+CM。

本题是利用补短法（延长DC）来构造和线段AM相等的线

段，从而证明结论。此类问题还可以通过截长法来证明，如在AM上取

一点E，使得ME=MC，然后通过证明三角形全等来证明线段相等。

截长补短法是几何证明中一种重要的方法，解答本题的关

键是正确作出辅助线构造全等三角形。

如图，BD，CE是△ABC的两条高，F和G分别是DE和BC的中

点，O是△ABC的外心。求证：AO∥FG。

如图，连结GD和GE。∵∠BDC=∠BEC=90°，BG=GC，

本题考查了四点共圆的知识，涉及了直角三角形斜边上的

中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质及平行线的判定，综合的知识

点较多，注意融会贯通。

四点共圆其实就是用了辅助圆，将四边形与圆结合起来解

题，要注意四点共圆的条件，证明、判断并运用四点共圆。

1.如图，在☉O的内接四边形ABCD中，BC=DC，∠BOC=130°，则

∠BAD的度数是（B）。A.120°B.130°C.140°D.150°B

A.110°B.120°C.130°D.140°A3.如图，要拧开一个边长为a=6mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口

b至少为（C）。B.12mmC4.已知圆的半径为1，以它的内接正三角形、正方形、正六边形的边长

为三边作三角形，则（B）。A.这个三角形是锐角三角形B.这个三角形是直角三角形C.这个三角形是钝角三角形D.不能构成三角形B5.如图，六边形ABCDEF内接于☉O，则∠A+∠C+∠E的值为

（D）。A.90°B.180°C.270°D.360°D6.如图，在正六边形ABCDEF中，△BCD的面积为4，则△BCF的面积为

（C）。A.16B.12C.8D.6C

8.已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的☉O交BC于点D，交AC于

点E。

（2）当∠BAC为钝角时，如图2，CA的延长线与☉O相交于点E，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由。

9.如图，☉O半径为4cm，正六边形ABCDEF内接于☉O，点P，Q同时

分别从A，D两点出发，以1cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，

连结PB，QE，PE，BQ。设运动时间为t（s）。（1）求证：四边形PBQE为平行四边形。

（2）填空：①当t=

s时，四边形PBQE为菱形。

【答案】（2）①当PA=PF，QC=QD时，四边形PBQE是菱形，此时t=2。②当t=

s时，四边形PBQE为矩形。

【答案】②当t=0时，∠EPF=∠PEF=30°，∴∠BPE=120°-30°=90°。∴此时四边形PBQE是矩形。当t=4时，同理可知∠BPE=90°，此时四边形PBQE是矩形。综上所述，当t=0或4时，四边形PBQE是矩形。故答案为：①2；②0或4。

10.如图，☉O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，

F，∠E=α，∠F=β，则∠A等于（D）。A.α+βC.180°-α-βD11.如图，正六边形ABCDEF的边长为2，现将它沿AB方向平移1个单

位，得到正六边形A'B'C'D'E'F'，则涂色部分A'BCDE'F'的面积是

（B）。B12.如图，平面上有两个全等的正十边形ABCDEFGHIJ，

A'B'C'D'E'F'G'H'I'J'，其中点A与点A'重合，点C与点C'重合，则∠BAJ'的度数为（B）。A.96°B.108°C.118°D.126°B

（1）求∠AED的度数。【答案】14.

（1）连结BD。∵四边形ABCD是☉O的内接四边形，

∴∠BAD+∠C=180°。∵∠C=120°，∴∠BAD=60°。∵AB=AD，∴△ABD是等边三角形。∴∠ABD=60°。∵四边形ABDE是☉O的内接四边形，

∴∠AED+∠ABD=180°。∴∠AED=120°。（2）连结OD，OE，当∠DOE=90°时，AE恰好为☉O的内接正n边形的一边，求n的值。

（1）求∠AED的度数。

（2）如图2，过点B作BF∥DE交☉O于点F，连结AF，AF=1，AE=4，求DE的长度。

A.30°B.36°C.45°D.72°B

A.8B.12C.16D.20C3.【株洲】如图，正五边形ABCDE和正△AMN都内接于☉O，则

∠BOM=

⁠。48°

8

（1）若∠BPC=30°，BC=3，求☉O的半径。【答案】5.

（1）如图1，连结AC。∵∠D=90°，∴AC是☉O的直径。

∴∠ABC=90°。∵∠BAC=∠P=30°，∴AC=2BC=6。∴☉O的半径为3。

1.如图，A，B，C是☉