高中集合知识点总结

一、集合的相关概念

1.满足共同属性的对象的全体叫做集合，集合的研究对象叫元素.

例：军训前学校通知:8月15日8点,高一年级学生到操场集合进行军训I.试问这个

通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？每个学生与全体高一学生之间的

关系？

问题：

世界上最高的山能不能构成一个集合？

世界上的高山能不能构成一个集合？

我们把研究的对象统称为“元素”，那么把一些元素组成的总体叫“集合”.

2.元素与集合的关系有两种：属于W,不属于史

元素的特性（判断是否为集合的依据）：

（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是明确的，即垄何一个元素要么在这个

集合中，要么不在这个集合中，这就是集合的确定性.

（2）无序性：即集合中的元素是没有顺序的.

（3）互异性：一个给定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出

现的，这就是集合的互异性.

结论：

1、一般地，指定的某些对象的全体称为集合，标记：A,B,C,D,…

集合中的每个对象叫做这个集合的元素，标记：a,b,c,d,…

2、元素与集合的关系

a是集合A的元素，就说a属于集合A,记作aGA,

a不是集合A的元素，就说a不属于集合A,记作a《A

3、集合的中元素的三个特性：

（1）元素的确定性：充于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一

个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

（2）元素的互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象,

相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。比如：book中的字母构成的集合

（3）元素的无序性：集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个

集合是否一样，仅需比较它们的元素是否-一样，不需考查排列顺序是否-一样。

3.有限集、无限集、空集、单元素集

4.常用数集及其记法：自然数集记作N,正整数集记作N*或Nr整数集记作Z,

有理数集记作。实数集记作R.

注意：（1）｛〃｝,｛（〃,力卜都是单兀素集

（2）｛（）｝,｛｝,｛。｝的区别

（3）｛｝具有全体之意

例1判断以下元素的全体是否组成集合：

（1）大于3小于11的偶数；（）（2）我国的小河流；（）

（3）非负奇数；（）（4）本校2003级新生；（）

（5）血压很高的人：（）（6）著名的数学家；（）

例题2下列各组对象不能组成集合的是（）

A.大于6的所有整数B.高中数学的所有难题

C.被3除余2的所有整数D.函数y二x图象上所有的点

练习

1.卜列条件能形成集合的是(D

A.充分小的负数全体B.爱好足球的人

C.中国的富翁D.某公司的全体员工

2.下列结论中，不正确的是(

A.若aEN,则-a/B.若aWZ,WOa2eZ

C若a£Q,则IaIGQD.若a£R,则近GR

3、你能否确定，你所在班级中，高个子同学构成的集合？并说明理由。

你能否确定，你所在班级中，最高的3位同学构成的集合？

4、用符号e或任填空：

(1)-3---N；(2)3.14----Q：(3)-3---Q-：(4)0----①：

(5)V3___Q：(6)--___R；(7)1____N+；(8)n___R。

2

5、下列对象能否组成集合：

(1)数组I、3、5、7;

(2)到两定点距离的和等于两定点间距离的点；

(3)满足3x-2>x+3的全体实数；

(4)所有直角三角形；

(5)美国NBA的著名篮球明星；

(6)所有绝对值等于6的数；

(7)所有绝对值小于3的整数；

(8)中国男子足球队中技术很差的队员；

(9)参加2008年奥运会的中国代表团成员.

6、说出下面集合中的元素：

(1)｛大于3小于11的偶数｝;

(2)｛平方等于1的数｝;

(3)｛15的正约数｝.

7、用符号£或任填空：

(1)1—_N,0_—N,-3―_N,0.5_一N;

⑵1—―Z,0―—Z,3——Z,0.5—_Z,V2—一2;

(3)1—―Q,0―_Q-3_一Q,0.5—_Q,V2_一Q

(4)1_―R,0―_R,-3—_R,0.5—_R,^_—R.

8、判断正误：

(1)所有属于N的元素都属于N*.()

(2)所有属于N的元素都属于Z

⑶所有不属于N'的数都不属于Z

(4)所有不属于Q的实数都属于R.

(5)不属于N的数不能使方程4x=8成立.

二、集合的表示方法

1.列举法：即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“｛)”括起来，基本形

式为｛%,%,%，6｝，适用于有限集或元素间存在规律的无限集.

如“中国的直辖市”构成的集合，写成｛北京，天津，上海，重庆｝

由"maths中的字母”构成的集合,写成(m,a,t,h,s)

由“book中的字母”构成的集合,写成｛b,0,中

注：

(1)有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：

｛51,52,53,…，100｝所有正奇数组成的集合：｛1,3,5,7,…｝

(2)a与｛a｝不同：a表示一个元素，｛a｝表示一个集合，该集合只有一个元素.

(3)集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序.

2.描述法：用集合所含元素的共同特征来表示，即用确定的条件表示某些对象是

否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法，如｛xlxwP｝

“中国的直辖市”构成的集合，写成｛x|x为中国的直辖市｝:

“方程x2+5x-6=0的实数解"｛xGR|X2+5X-6=0｝=｛-6,1｝

3.图示法(Venn图或数轴)

4.区间法：设4涉£氏，且〃</?,规定

[a,b],(a,b],[。，力,(a,〃),(a,+8),(-8,a)表示

例1.用列举法表示下列集合：

(1)小于5的正奇数组成的集合；

(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合；

(3)方程X2-9=0的解组成的集合；

(4)(15以内的质数｝;

(5)｛x|―-—£Z,x£Z｝.

3-x

例2已知加=｛2,«邛，N=｛2a,2万｝，且M=N,求实数出力的值.

例3下列关系错误的是()

A.0e｛4A4,C｝B.0e｛0｝C.Oe。D.()£｛。｝

练习

1.下列说法正确的是()

(A)所有著名的作家可以形成一个集合

(B)0与｛0｝的意义相同

(C)集合A=«=N.•是有限集

n

(D)方程Y+21+1=。的解集只有一个元素

2.下列四个集合中，是空集的是()

A.{x|x+3=3)B.l(x,y)l/=-x2,x,ye/?)

C.{x|x2<0)D.{x|x2-x+I=0}

3.方程组f+>=2的解构成的集合是()

x-y=0

A.{(1,1)}B.{1,1}C.(1,1)D.{1).

4.已知A={-2,—l,0/},B={y\y=\x\x^A}f则B=

5.若人={一2,2,3,4},3={X|X=/"£A},用列举法表示B=,

6.用列举法表示下列集合：

(1)X2-4的一次因式组成的集合；

(2){yly=-x?-2x+3,x£R,y£N};

(3)方程X2+6X+9=0的解集；

(4){20以内的质数};

(5){(x,y)|x2+y2=l,xez,y€Z);

(6)(大于0小于3的整数};

(7){XGR|X2+5X-14=0};

(8){(x,y)|x£N且l$x<4,y-2x=0);

(9)((x,y)|x+y=6,xGN,yGN).

7.用列举法表示下列集合

①是15的约数.}______;

②M，力Ix£{1，2},”{1,2}}；

③{x|x=(-l)",〃wN}―;

④{数字和为5的两位数}_______:

⑤{(x,)')\3x+2y=\6,xe.N,ywN}

三、集合间的基本关系

问题：观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？

(1)A={1,2,3},4={1,2,3,4,5}；

(2)设A为某中学高一⑶班男生的全体组成的集合，B为这个班学生的全体

组成的集合；

⑶设C="|x是两条边相等的三角形},。="次是等腰三角形};

(4)E={2,4,6},产={6,4,2}.

1.对于两个集合A、B,如果集合4中的任意一个元素都是集合8中的元素，则

两个集合有包含关系，称集合A是集合8的子集，记作A=B(或8=A),

读作“A含于8”(或“8包含A”).

若则集合A是集合B的子集

注意：空集是任何集合的子集，即。［4

2.真子集：且4工8即集合A是集合B的真子集

3.集相等：且A&8

显然,A的字藁除A加都是它的真子集.由〃个元素纽成的集合,其子集个数为

2”个，真子集的个数为2"-1个.

例1用适当的符号(£、/、u、z>、u、3)填空：

①4_e_{024,6}®11G_{4小+3,m€Z}

③{l，2}q{1,234}④{5,6}o固

例2写出集合佃涉}的所有子集.

例3^={x|xc4},4=伍也c}列举法写出B,并说明此时A、B的关系.

例4设集合(l,a+Aa}={02M，则〃一。=()

a

A.1B.-lC.2D.-2

练习：

1.设集合4=后},a=JTf,则a与A的关系是.

2.用列举法{x|工小于20的质数}.

3.用列举法表示集合{y|y=2x2,|x|<3,XGZ).

4.用描述法表示绝对值小于4的所有整数组成的集合：.

5.集合A={x|汇=-9—,xeZ,keZ],则A用列举法表示为________.

&+1

6.写出小于10的正偶数集合4的所有真子集

7.已知集合A=*|XGZ,XN0},B={y\y=x2},则4与8的关系是.

8.已知集合4={/|1＜工＜2},B={x|x—a＜0},若4口8,则。的取值范围是

9、讨论下列集合的包含关系

①八二{本年天阴的日子},B={本年天下雨的日子};

②人二卜？，-1,0,1,2,3},B={-1,0,Do

（2）写出集合八二{1,2,3}的所有非空真子集和非空子集

10、用“土、u、夕、n”连接下列集合对:

①人:{济南人},B={山东人）;

②八二电B=R；

③八二①2,3,4},B=（0,1,2,3,4,5}；

④八二{本校田径队队员）,B={本校长跑队队员};

⑤八二口1月份的公休日},B={11月份的星期六或星期天}

11、若人={〃，b,c},则有几个子集，几个真子集？写出A所有的子集.

12、设A={3〃?，meZ},B={6A,AeZ},则A、B之间是什么关系？

四、集合的运算

问题：

(1)考察集合A二{1,2,3}.B={2,3,4}与集合C={2,3}之间的关系.

(2)考察集合A={1,2,3}.B={2,3,4}与集合C={1,2,3,4)之间的关系.

I.交集：一般地，由所有属于A又属于B的元素所组成的集合，叫做A.B的交集.

记作AAB(读作“A交B"),

即={工wA且xe8}

说明：(1)XG4AB<=>XGAJLreB

(2)xeAr\B<=>xAsHx任B

(3)AflB实质上是4、8的公共部分

性质：AQA=A,AflBuA,4n0=。，Ap|U=A,AC\B=A=>A^B

2.并集：对于给定的两个集合A,B把它们所有的元素并在一起所组成的集合，叫

做A,B的并集.记作AUB(读作"A并B"

即AU8={工tA或rw8}

说明：(1)xe/AU^<=>JveA^xeB

(2)x/AUBox任4且K任B

(3)AU8实质上是4、8凑在一起

性质：A\JA-A,AUB^A,A\J^-A,A\JU-U,A\jB-B=i>A^B

3.全集：一般地，若一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么称

这个集合为全集.通常用U表示.

4.补集：对于一个集合A,由全集U中不属于A的所有元素组成的集合称为A的

补集.记CJ={xeU且xw4}

显然：x£C”Aox任A;xeC/jA<^>xeA

性质:C"(Q,A)=A,C-G，U=0,AUg,A=U,AC\Cb.A=^

考虑补集时，一定要注意全集;但全集因题而异.

例1设A={(x,)，)|y=-4x+6},8={(x,y)|y=5X一3},求AflB.

例2已知集合A=卜忖一4<1},B=-5x+4>()},若API8=°,则实数G的

取值范围是.

例3设4=