第8章 方差分析（课件）-《应用统计学》同步教学（电工版）

《应用统计学》

第8章

我们生活在信息时代，

信方差分析

是统计。

第8章第8章方差分析

《应用统计学》

n8.1F分布

n8.2比较两个总体的方差

n8.3方差分析引论

n8.4单因素方差分析

n8.5双因素方差分析

n8.6用Stata软件进行方差分析

第8章

《应用统计学》本章教学目的

n掌握F分布的特征；

n通过假设检验来确定两个总体的方差是否相等；

n理解方差分析的一般思想；掌握单因素方差分析的原理、

方法及应用条件；

n掌握多因素方差分析的原理、方法及应用。

第8章第8章方差分析

《应用统计学》本章重点和难点

n方差分析的原理、方法及应用条件；

n理解各平方和与自由度的剖分方法，F检验及多种比较

的应用。

第8章8.1F分布

《应用统计学》

nF分布是以统计学家R.A.Fisher姓氏的第一个字母

命名的.

nF分布具有以下特征：

nF分布是一族分布。

nF分布是连续的。

nF分布是非负的。

nF分布是正偏分布。

nF分布是渐进分布

第8章8.1F分布

《应用统计学》

第8章8.2比较两个总体的方差

《应用统计学》

F分布可用于检验两个正态总体的方差。

双侧检验的原假设和备择假设为：

22

H0:12

22

H1:12

单侧检验的原假设和备择假设为：

2≤2

H0:12

22

H1:12

第8章8.2比较两个总体的方差

《应用统计学》

比较两个总体方差的检验统计量为：

S2

1

F2

S2

2

其中，S1为样本1（容量为n1）的样本方差；

2为样本2（容量为n2）的样本方差；

S2

如果原假设为真，则检验统计量服从自由度为n1-1和

n2-1的F分布。

第8章8.2比较两个总体的方差

《应用统计学》

nF临界值来自F表

n有两个自由度：分子和分母

n其中2

S1

df1=n1–1;df2=n2–1

FSTAT2

S2

n在F表中，

n分子自由度确定列

n分母自由度确定行

第8章8.2比较两个总体的方差

《应用统计学》确定拒绝域

2222

H0:σ1=σ2H0:σ1≤σ2

2222

H1:σ1≠σ2H1:σ1>σ2

/2F

00

不拒绝H拒绝H

00不拒绝H0拒绝H0F

Fα/2Fα

拒绝H0如果FSTAT>Fα/2拒绝H0如果FSTAT>Fα

第8章8.2比较两个总体的方差

《应用统计学》

【例8-1】王先生从家到公司的驾车线路有两条，他想要研究每

条线路的开车时间并比较结果。他收集的样本数据如表8-1所示

(单位：分钟)。线间在0.10的显著性水平下，两条线路驾驶时

间的变异性是否有差异。

表8-1不同线路的开车时间

线路1线路2

52

6759

60

5661

4551

56

7063

5457

65

64

第8章8.2比较两个总体的方差

《应用统计学》

解：经计算两条线路驾驶时间的均值几乎相等。经过线路1的平均时间为

58.29分钟，经过线路2的平均时间为59分钟。然而，在评估平均驾驶时间

的同时，王先生还考虑了驾驶时间的变异性。根据题意，要比较两条线路

所需时间的变异性是否存在差异，是双侧检验问题，原假设和备择假设分

别为：

22

H0:12

22

H1:12

第8章8.2比较两个总体的方差

《应用统计学》

根据样本数据，计算可得两条线路的样本均值和方差分别为：

x408

x158.29

n17

(xx)2

2485.43

S180.905

n116

x472

x259.00

n28

(xx)2

2134

S219.143

n217

第8章8.2比较两个总体的方差

《应用统计学》

分子自由度为n21817，分母自由度为n11716。在0.05

(2=0.102=0.05)的显著性水平的F分布临界值表中，查得临界

值为3.87。因此，决策准则是：如果样本方差的比值大于3.87，

则拒绝原假设

计算两个样本的方差的比值，得到检验统计量的值，从而做

出关于原假设的决策。

S280.905

1

F24.23

S219.143

由于计算出的F值(4.23)大于临值(3.87)，因此拒绝原假设。

结论：两条线路驾驶时间的变异性存在差异。

第8章8.3方差分析引论

《应用统计学》

n方差分析(AnalysisofVariance，ANOVA)，又称“变

异数分析”或“F检验”，用于两个及两个以上样本均

数差别的显著性检验。

n方差分析即是通过推断在控制变量各水平下观测变量的

总体分布是否有显著差异来实现其分析目标的。使用方

差分析，需要做如下假设：

n(1)各样本是相互独立的随机样本；

n(2)各总体服从正态分布；

n(3)各总体有相同的标准差。

第8章8.4单因素方差分析

《应用统计学》

n研究者控制一个观察因素

n该观察因素分为多个水平

n不同的水平生成不同的组（组别）

n把每一个组作为来自不同总体的样本

n检验每组参数是否存在差异

第8章8.4单因素方差分析

《应用统计学》8.4.1单因素方差分析的基本思想

1．明确观测变量和控制变量

2．分析观测变量的方差

单因素方差分析将观测变量总离差平方和(SST)分解为组间

离差平方和(SSA)与组内离差平方和(SSE)两部分，用数学形式表述为：

SST=SSA+SSE

其中，SST表示观测变量总离差平方和；SSA表示组间离差平方和，是

由控制变量的不同水平造成的变差；SSE表示组内离差平方和，是由抽

样误差引起的变差。

第8章8.4单因素方差分析

《应用统计学》

总离差(SST)

因素产生的差异随机误差产生的差异

=(SSA)+(SSW)

第8章8.4单因素方差分析

《应用统计学》总离差平方和的计算

rnj

2

SST(xijx)

j1i1

n

式中：rj

xij

j1i1表示全局均值；

x

n

xij表示控制变量第j个平下的第i个观值；

nj表示控制量第j个水平下的观测值的数量；

n表示所有组别合在一起的观测值的数量(即

nn1n2nc

r表示控制变量的水平数(组别数)。

第8章8.4单因素方差分析

《应用统计学》组间离差平方和的计算

r

2

SSAnj(xjx)

j1

式中：

r表示所比较组别数；

nj表示控制变量j个平下的观测值的数量；

xj表示水平组j的样本均值；

x表示全局均值。

第8章8.4单因素方差分析

《应用统计学》组间离差(续)

r

2

SSAnj(xjx)

j1

SSA

不同组间的差异MSA

r1

间均方=SSA/自由度

ij

第8章8.4单因素方差分析

《应用统计学》组内离差平方和的计算

rni

2

SSE(xijxj)

j1i1

式中：

xij表示控制变量第j个水平下第i个观测值；

xj表示水平组j的样本均值。

第8章8.4单因素方差分析

《应用统计学》组内离差

(续)

rni

2

SSE(xijxj)

j1i1

SSE

每组间离差相加知MSE

道所有的组nr

内均方=SSE/自由度

μj

第8章8.4单因素方差分析

《应用统计学》求均值平方

均值平方通过相关的自由度划分多方面的均值平方和得到

SSA间均方

MSA

r1(d.f.=r-1)

SSE

MSE内均方

nr(d.f.=n-r)

SST

MST总均方

n1(d.f.=n-1)

第8章8.4单因素方差分析

《应用统计学》3.比较观测变量总离差平方和各部分的比例

n在观测变量总离差平方和中，如果组间离差平方

和所占比例较大，则说明观测变量的变动主要是

由控制变量引起的，可以主要由控制变量来解释，

控制变量给观测变量带来了显著影响；反之，如

果组间离差平方和所占比例较小，则说明观测变

量的变动不是主要由控制变量引起的，不可以主

要由控制变量来解释，控制变量的不同水平没有

给观测变量带来显著影响，观测变量的变动是由

随机变量因素引起的。

第8章8.4单因素方差分析

《应用统计学》8.4.2单因素方差分析的基本步骤

1．提出原假设和备择假设

H:μμμμ

0123c

n所有的总体均值是相同的

n即,不受因素影响(每组间的均值没有变化)

nH1:不是所有的总体均值都是一样的

n至少一个总体均值是不一样的

n即，有因素影响

n不意味着所有的总体均值是不同的(有些可能是一样的)

第8章8.4单因素方差分析

《应用统计学》

H0:μ1μ2μ3μc

H1:不是所有的μj是一样的

零假设是真的

所有的均值是一样的：

(没有因素影响)

μ1μ2μ3

第8章8.4单因素方差分析

《应用统计学》

H0:μ1μ2μ3μc

不是所有的是一样的

H1:μj

零假设不是真的

至少一个均值是不一样的

(影响因素存在)

or

μ1μ2μ3μ1μ2μ3

第8章8.4单因素方差分析

《应用统计学》

2．选择显著性水平

3．确定检验统计量

方差分析的检验统计量是F统计量，公式如下：

SSA/(r1)MSA

F

STATSSE/(nr)MSE

式中，n表示样本总量；

r1和nr分别表示SSA和SSE的自由度；

第8章8.4单因素方差分析

《应用统计学》4.建立决策准则

nF统计量是组间离差估计与组内离差估计的比率

n比率必须是正的

ndf1=r-1代表小的

ndf2=n-r代表大的

决策：

n拒绝H0如果F>Fα,

否则不拒绝H00

不拒绝H0拒绝H0

Fα

第8章8.4单因素方差分析

《应用统计学》5.做出决策

单因素方差分析表

自由度平方和均方F

离差来源(方差)

组间SSA

r-1SSAMSA=FSTAT=

r-1

MSA

组内SSE

n-rSSEMSE=MSE

n-r

总离差n–1SST

r=组别数

n=所有组的样本容量和

df=自由度

第8章8.4单因素方差分析

《应用统计学》

【例8-2】某玩具生产商想知道在不同类型的商店出售的玩具价格

是否存在差异。随机抽取5家折扣商店、5家杂货商店和5家百货商

店进行调查，结果如表8-4所示。

表8-4不同类型商店出售的玩具价格统计

试问在0.05的显著性水平下，上述3种类型商店出售的玩具价格是

否有差异？

第8章8.4单因素方差分析

《应用统计学》

解：H0:123

H1:并非所有均值都相等

要做出ANOVA总结表，首先要计算每组的样本均值，然后加

总所有的观测值并除以观测值的数量，从而得到全局均值：

1213141215

x13.2

15

1517141817

x16.2

25

1517161819

x17

35

rnj

xij

j1i1232

x=15.467

n15

第8章8.4单因素方差分析

《应用统计学》利用公式(8-2)～(8-4)得到平方和：

rnj

2

SST(xijx)

j1i1

=(1215.467)2(1315.467)2(1915.467)2=67.7333

r

2

SSAnj(xjx)

j1

=5(13.215.467)25(16.215.467)25(18.215.467)2=40.1333

rnj

2

SSE(xijxj)

j1i1

=(1213.2)2(1513.2)2(1516.2)2(1716.2)2(1517)2

(1917)2

=27.6

第8章8.4单因素方差分析

《应用统计学》

SSA40.1333

MSA=20.0667

r131

SSE27.6

MSE=2.3

nr153

从而，运用公式(8-6)计算得检验统计量的值为：

MSA20.0667

F=8.72

MSE2.3

当α=0.05，查F分布表可查右侧临界值F3.89，因为

F8.72F3.89所以拒绝原假设，即不同类型的商店

出售的玩具价格存在显著差异。

第8章8.4单因素方差分析

《应用统计学》8.4.3多重比较检验

n说出哪个总体均值是显著不同的

n例:μ1=μ2μ3

n在单因素方差分析中拒绝同等均值

n可以成对比较

n绝对均值差异与临界极差的对比

x

μ1=μ2μ3

第8章8.4单因素方差分析

《应用统计学》常用的多重比较检验方法

nLSD方法

nBonferroni方法

nTurkey方法

第8章8.4单因素方差分析

《应用统计学》1.LSD方法

nLSD方法称为最小显著性差异(LeastSignificance

Difference)法。最小显著性差异法体现了其检验敏感性

高的特点，即水平间的均值只要存在一定程度的微小差异

就可能被检验出来。LSD方法的检验统计量为t统计量，其

定义为：(xx)()

tijij

11

MSE()

ninj

式中，MSE表示观测变量的组内方差；

xi,xj以及ni,nj

分别表示第i个和第j个水平下观测变量的样本均值和样本量。

第8章8.4单因素方差分析

《应用统计学》2．Bonferroni方法

nBonferroni方法与LSD方法基本相同。不同的是

Bonferroni方法对犯第一类错误的概率进行了控制。两总

体均值差的置信区间为：

11

(xixj)tMSE

2Nninj

第8章8.4单因素方差分析

《应用统计学》3．Turkey方法

与LSD方法有所不同，Tukey方法中采用的检验统计量是q

统计量，其定义为

(xx)()

qijij

MSE

k

式中，MSE表示观测变量的组内方差；k表示各水平

下观测值的个数，即样本量。

第8章8.5双因素方差分析

《应用统计学》

8.5.1问题的提出

8.5.2无交互作用的双因素方差分析

8.5.3有交互作用的双因素方差分析

第8章8.5双因素方差分析

《应用统计学》8.5.1问题的提出

n在许多实际问题中，往往需要同时考察几个因素对指标

的影响，这种同时研究两个因素对试验指标影响的方差

分析，就是双因素方差分析问题。

n由于存在两个因素的影响，就产生一个新问题，两因素

对指标的影响是否正好是它们每个因素对指标的影响的

迭加？

n这种各个因素的不同水平的搭配所产生的新的影响在统

计上称为交互作用，各因素是否存在交互作用是多因素

方差分析新产生的问题。

第8章8.5双因素方差分析

《应用统计学》

双因素方差分析

无交互作用的双有交互作用的双

因素方差分析因素方差分析

第8章8.5双因素方差分析

《应用统计学》8.5.2无交互作用的双因素方差分析

设有A、B两个因素影响试验结果，即有两个控制变量。因素A有

r个水平，因素B有s个水平，因素A、B的不同水平的每种组合都

只做一次试验(观察)，在这种情况下，因素A、B之间没有交互

作用。其数据结构如下：

第8章8.5双因素方差分析

《应用统计学》

在无交互作用的双因素方差分析中，观测变量值的变动受

因素A、因素B及随机因素的影响。观测变量的总变差分解

为：

SST=SSA+SSB+SSE

式中，SST表示观测变量的总变差；SSA、SSB分别表

示控制变量A、B独立作用引起的变差；SSE表示随机

因素引起的变差。

第8章8.5双因素方差分析

《应用统计学》

无交互作用的双因素方差分析的主要任务是：分析因素A

和因素B对观测变量的影响大小。这一问题等价于以下两

种假设。

AAA

H01:x1x2xr

BBB

H02:x1x2xs

在总体分布的正态性、等方差性条件满足时，可用F

统计量进行检验。

第8章8.5双因素方差分析

《应用统计学》

对于，检验统计量为：

MSASSA/(r1)

F

AMSESSE/[(r1)(s1)]

对于H02，检验统计量为：

MSBSSB/(s1)

F

BMSESSE/[(r1)(s1)]

对于选定的显著性水平α，查找F分布临界值表，得

临界值F[(r1),(r1)(s1)]

，将FA与临界值进行比较，

如果FAF[(r1),(r1)(s1)]，则拒绝原假设，认为

因素A对观测变量有显著影响。同理，查找临界值

F[(s1),(r1)(s1)]，将FB与临界值进行比较，如果

FBF[(s1),(r1)(s1)]，则拒绝原假设，即认为因素B对

观测变量有显著影响。

第8章8.5双因素方差分析

《应用统计学》

无交互作用的双因素方差分析表

MSA

SSA

MSAFA

r1MSE

来源平方和自由度均方和F

MSB

SSBF

MSBBMSE

ASSAr-1s1

SSE

MSE

BSSBs-1(r1)(s1)

误差SSE(r-1)(s-1)

合计SSTnT-1

第8章8.5双因素方差分析

《应用统计学》

【例8-3】设甲、乙、丙、丁四个工人操作机器Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ各一天，

其产品产量如表8-8所示，问在0.05的显著性水平下，工人和机器

对产品产量是否有显著影响。

机器BⅠⅡⅢA

工人Axi

甲50635255.0

乙47544247.7

丙47574148.3

丁53584853.0

49.358.045.8

xB

jx51

第8章8.5双因素方差分析

《应用统计学》

解：利用公式(8-11)～(8-13)，求解得：

r

A22222

SSAs(xix)3[(5551)(47.751)(48.351)(5351)]=114.54

i1

s

B2222

SSB=r(xjx)=4[(49.351)(58.051)(45.851)]321.96

j1

rs2

AB

SSE(xijxixjx)

i1j1

222

(505549.351)(63555851)(485345.851)=32.83

第8章8.5双因素方差分析

《应用统计学》

由公式(8-14)和(8-15)，计算可得检验统计量的值分别为：

SSA/(r1)114.673

F=6.98

ASSE/[(r1)(s1)]32.83(32)

SSB/(s1)318.52

F=29.10

BSSE/[(r1)(s1)]32.83(32)

对于显著性水平0.05，查F分布表，得F分布的右侧临界值分别

为：

F(2,6)=7.26

F0.05(3,6)4.760.05

显然有FA6.98F0.05(3,6)4.76

FB28.85F0.05(2,6)7.26

因此，在0.05的显著性水平下，工人和机器对产量均有显著影

响。

第8章8.5双因素方差分析

《应用统计学》8.5.3有交互作用的双因素方差分析

n如果因素A和因素B没有交互作用，则只需要在各个组合

水平下各做一次试验就可以进行方差分析。

n但是，如果因素A和因素B有交互作用，这时必须在各个

组合水平下做重复试验方可进行方差分析。

n对于有交互作用的方差分析，与无交互作用的方差分析思

想完全相同，只是对离差总平方和进行分解时增加交互项

的影响。

第8章8.5双因素方差分析

《应用统计学》

有交互作用的双因素方差分析数据结构

第8章8.5双因素方差分析

《应用统计学》

n在有交互作用的双因素方差分析中，观测变量值的变

动受因素A、因素B、因素A和因素B交互作用及随机因

素的影响。观测变量的总变差的分解式为：

SST=SSA+SSB+SSAB+SSE

第8章8.5双因素方差分析

《应用统计学》

n有交互作用的双因素方差分析的主要任务是：分析因素

A和因素B对观测变量取值的影响大小，以及因素A、B交

互作用对观测变量取值的影响大小。检验统计量分别为：

SSA/(r1)

F

ASSE/(rsnrs)

SSB/(s1)

F

BSSE/(rsnrs)

SSAB/(rsrs1)