2025-2026学年上海市静安区育才中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

2025-2026学年上海市静安区育才中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题：（本题共6小题，共24分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列抛物线中，对称轴为直线的抛物线的表达式是（）A． B． C． D．2．下列条件中，不能判定的是（）A．，为非零向量） B．， C． D．3．如图，在△中，点、分别在、的反向延长线上，已知，下列条件中能判定的是（）A． B． C． D．4．世博会期间，从一架离地200米的无人机上，测得地面监测点的俯角是，那么此时无人机与地面监测点的距离是（）A．米 B．米 C．200米 D．米5．下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆 B．如果圆的直径平分弦，那么这条直径垂直于这条弦 C．和半径垂直的直线是圆的切线 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等6．将二次函数和的图象画在同一平面直角坐标系中，那么这两个图象都是上升的部分，所对应自变量的取值范围是（）A． B． C． D．或二、填空题：（本题共12小题，共48分）7．如果，那么．8．如果向量、和满足，那么．9．某人顺着坡度为的斜坡滑雪，下滑了120米，那么高度下降了米．10．已知点和都在抛物线上，那么和的大小关系为（填“”或“”或“”．11．在半径为圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为，另一条弦长为，则这两条弦之间的距离为．12．如图，在△中，，于点，如果△和△的面积比为，，那么的长是．13．如图，在中，点在边上，，直线与对角线相交于点，交的延长线于点，如果，那么的长是．14．如果一个锐角的正弦值等于黄金分割数，那么我们称这个角叫做黄金角．如图，在△中，，是黄金角，点在边上，且点是的黄金分割点联结．如果，那么的长是．15．如图，为了绕开岛礁区，一艘船从处向北偏东的方向行驶8海里到处，再从处向南偏东方向行驶到发点正东方向上的处，此时这艘船距离出发点处海里．16．如图，在△中，，，，是边上的中线，为△的重心，过点作交于点，那么△的面积是．17．如图所示，在直角坐标系中，点坐标为，的半径为2，为轴上一动点，切于点，则最小值是．18．如图，在△中，，，点为边上的点，联结，将△沿翻折，点落在平面内点处，边交边于点，联结，如果，那么的值为．三、解答题：（本题共7小题，共78分）19．计算：．20．如图，，是的两条弦，且．（1）求证：平分；（2）若，，求半径的长．21．如图，在梯形中，，且，点是边的中点，联结交对角线于点，设，．（1）；；（用、表示）（2）求作：在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）22．如图1，一种抢险救援车由底座与活动支撑臂等组成，如图2是该救援车工作的示意图，其中大臂为3米，小臂长为4米，其夹角可变化，大臂与底座平台夹角也可变化，底座平台与水平地面平行，且离地面的距离为1.5米，、、在同一平面内．（1）若，，求此时点离水平地面的距离；（2）一电线杆垂直于水平面，米，米，当点位于点时，求的正弦值．23．已知：如图，在△中，是边上的中线，点在线段上，且，过点作，交线段的延长线于点．（1）求证：；（2）如果，求证：．24．在平面直角坐标系中，我们把以抛物线上的动点为顶点的抛物线叫做这条抛物线的“子抛物线”．如图，已知某条“子抛物线”的二次项系数为，且与轴交于点．设点的横坐标为，过点作轴的垂线交轴于点．（1）当时，求这条“子抛物线”的解析式；（2）用含的代数式表示的余切值；（3）如果，求的值．25．已知在△中，，，，点是直线上一点，点是射线上一点，．（1）如图1，当时，求的长；（2）当点在射线上时，设，，求关于的函数解析式，并写出定义域；（3）过点作，交射线于点，如果以为圆心，为半径的圆与以点为圆心，为半径的圆有且只有一个交点，求的长．

参考答案一、选择题：（本题共6小题，共24分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列抛物线中，对称轴为直线的抛物线的表达式是（）A． B． C． D．解：抛物线的对称轴为轴；选项不符合题意；抛物线的对称轴为轴；、选项不符合题意；抛物线，该抛物线的对称轴为直线；选项不符合题意；抛物线，该抛物线的对称轴为直线，选项符合题意．故选：．2．下列条件中，不能判定的是（）A．，为非零向量） B．， C． D．解：，为非零向量），；，；，；由不能得到，故选：．3．如图，在△中，点、分别在、的反向延长线上，已知，下列条件中能判定的是（）A． B． C． D．解：，，当时，，，即．故选：．4．世博会期间，从一架离地200米的无人机上，测得地面监测点的俯角是，那么此时无人机与地面监测点的距离是（）A．米 B．米 C．200米 D．米解：在△中，米，，，（米，故选：．5．下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆 B．如果圆的直径平分弦，那么这条直径垂直于这条弦 C．和半径垂直的直线是圆的切线 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等解：、当三点共线时不能确定一个圆，故本选项错误；、垂径定理要求弦非直径，若弦为直径则直径平分弦但不垂直于弦，故本选项错误；、切线的判定需直线经过半径外端且垂直于半径，仅垂直不一定相切，故本选项错误；、三角形的外心是外接圆的圆心，到三个顶点的距离均等于半径，故本选项正确．故选：．6．将二次函数和的图象画在同一平面直角坐标系中，那么这两个图象都是上升的部分，所对应自变量的取值范围是（）A． B． C． D．或解：列表：012332367186描点、连线，可得到这两个函数的图象，如图：由图象知，这两个图象都是上升的部分，所对应自变量的取值范围是，故选：．二、填空题：（本题共12小题，共48分）7．如果，那么．解：，；故答案为：．8．如果向量、和满足，那么．解：，，，故答案为：．9．某人顺着坡度为的斜坡滑雪，下滑了120米，那么高度下降了60米．解：坡度，设垂直高度下降了米，则水平前进了米．根据勾股定理可得：．解得（负值舍去），即它距离地面的垂直高度下降了60米．故答案为：60．10．已知点和都在抛物线上，那么和的大小关系为（填“”或“”或“”．解：将，代入得，，．故答案为：．11．在半径为圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为，另一条弦长为，则这两条弦之间的距离为或．解：①当弦和在圆心同侧时，如图，，，，，，，，；②当弦和在圆心异侧时，如图，，，，，，，，．故答案为：或．12．如图，在△中，，于点，如果△和△的面积比为，，那么的长是20．解：，，，，，，△△，，△和△的面积比为，，，，在直角三角形中，由勾股定理得：．故答案为：20．13．如图，在中，点在边上，，直线与对角线相交于点，交的延长线于点，如果，那么的长是3．解：四边形是平行四边形，，，，，，，△△，，，，△△，，即，解得：，，故答案为：3．14．如果一个锐角的正弦值等于黄金分割数，那么我们称这个角叫做黄金角．如图，在△中，，是黄金角，点在边上，且点是的黄金分割点联结．如果，那么的长是．解：由黄金分割点性质可知：，，，．，，△△，，，．故答案为：．15．如图，为了绕开岛礁区，一艘船从处向北偏东的方向行驶8海里到处，再从处向南偏东方向行驶到发点正东方向上的处，此时这艘船距离出发点处海里．解：由题意可知：在△中，，海里，则海里，海里，在△中，，则海里，海里，故答案为：．16．如图，在△中，，，，是边上的中线，为△的重心，过点作交于点，那么△的面积是0.5．解：过作，交于，，，△△，，是边上的中线，，，，，，，，，，△△，，为△的重心，，，，故答案为：0.5．17．如图所示，在直角坐标系中，点坐标为，的半径为2，为轴上一动点，切于点，则最小值是．解：如图，连接，．根据切线的性质定理，得．要使最小，只需最小，则根据垂线段最短，则轴于，此时点的坐标是，，在△中，，，．则最小值是．故答案为：．18．如图，在△中，，，点为边上的点，联结，将△沿翻折，点落在平面内点处，边交边于点，联结，如果，那么的值为或1．解：如图所示：过作于，过作于，，△△，，设，，，，，将△沿翻折，点落在平面内点处，，，，当在左侧时：，，，，当在右侧时，，，故答案为：或1．三、解答题：（本题共7小题，共78分）19．计算：．【解答】原式．20．如图，，是的两条弦，且．（1）求证：平分；（2）若，，求半径的长．【解答】证明：（1）连接、，．，，，在△与△中，．△△，，平分；（2）连接并延长交于，连接，，平分，，设，可得：，，可得：，，，解得：，，半径的长．21．如图，在梯形中，，且，点是边的中点，联结交对角线于点，设，．（1）；；（用、表示）（2）求作：在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）解：（1），，，，．点是边的中点，，．，△△，，，．故答案为：；．（2）如图，分别为在、方向上的分向量．22．如图1，一种抢险救援车由底座与活动支撑臂等组成，如图2是该救援车工作的示意图，其中大臂为3米，小臂长为4米，其夹角可变化，大臂与底座平台夹角也可变化，底座平台与水平地面平行，且离地面的距离为1.5米，、、在同一平面内．（1）若，，求此时点离水平地面的距离；（2）一电线杆垂直于水平面，米，米，当点位于点时，求的正弦值．解：（1）如图2，在△中，米，，过点作于，于，（米，，，，，，，，在△中，米，（米，米，答：此时点离水平地面的距离为米；（2）如图3，，，米，米，当点位于点时，延长交于，，又，四边形是矩形，米，米，米，在直角三角形中，由勾股定理得：米，在△和△中，，△△，，．23．已知：如图，在△中，是边上的中线，点在线段上，且，过点作，交线段的延长线于点．（1）求证：；（2）如果，求证：．【解答】证明：（1），，又，，，；（2），，又，，即，而，△△，，又，，．24．在平面直角坐标系中，我们把以抛物线上的动点为顶点的抛物线叫做这条抛物线的“子抛物线”．如图，已知某条“子抛物线”的二次项系数为，且与轴交于点．设点的横坐标为，过点作轴的垂线交轴于点．（1）当时，求这条“子抛物线”的解析式；（2）用含的代数式表示的余切值；（3）如果，求的值．解：（1）由题得，，当时，，这条“子抛物线”的解析式：；（2）由，且轴，可得，．“子抛物线”的解析式为．令，则，点的坐标，，．在△中，．（3）如图，过点作的延长线于点，过点作轴的平行线分别交的延长线于点，交轴于点，，，又，，，△△，，，设，那么，．又，．又，，解方程组，得，（舍去），的值为2．25．已知在△中，，，，点是直线上一点，点是射线上一点，．（1）如图1，当时，求的长；（2）当点在射线上时，设，，求关于的函数解析式，并写出定义域；（3）过点作