2025-2026学年上海市闵行区文绮中学七年级（上）期中数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市闵行区文绮中学七年级（上）期中数学试卷一、选择题：（共6题，每题2分，共12分．下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的）1．下列结论中，正确的是（）A．单项式的系数是3，次数是2 B．单项式的系数是，次数是4 C．单项式的次数是1，没有系数 D．多项式是三次三项式2．如果、都是关于的单项式，且是一个八次单项式，是一个五次多项式，那么的次数（）A．一定是五次 B．一定是八次 C．一定是三次 D．无法确定3．若，，则（）A．1 B．2 C．3 D．44．在边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，把余下部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证公式（）A． B． C． D．5．下列因式分解正确的是（）A． B． C． D．6．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是如对于多项式，因式分解的结果是，若取当，时，则各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式取，时，用上述方法产生的密码不可能是（）A．113212 B．111232 C．123211 D．123011二、填空题：（共12题，每题2分，共24分．）7．的系数是．8．已知单项式与的差是单项式，那么．9．如果整式与整式的和为一个数值，我们称，为数的“友好整式”，例如：和为数1的“友好整式”；和为数7的“友好整式”．若关于的整式与为数的“友好整式”，则的值为．10．已知是完全平方式，则．11．要使多项式不含的一次项，则的值为．12．一个长方形的面积为，其中一边长为，则长方形的另一边长为．13．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算术》中提出下表，此表揭示了为非负整数）展开式的各项系数的规律，例如：；它只有一项，系数为1；，它有两项，系数分别为1，1；，它有三项，系数分别为1，2，1；，它有四项；系数分别为1，3，3，1；根据以上规律，展开式各项系数的和等于．14．因式分解：．15．已知二次三项式有一个因式是，则值为．16．甲乙两人完成因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为．17．云南少数民族服饰以其精美的花纹和艳丽的色彩越来越受到追求独立与个性的设计师的喜爱．某民族服饰的花边均是由若干个平移形成的有规律的图案，如图，第①个图案由4个组成，第②个图案由7个组成，第③个图案由10个组成，，按此规律排列下去，第个图案中的个数为．18．有两个正方形，，现将放在的内部得图①，将，并列放置后构造新的正方形得图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为4和18，则图②所示的大正方形的面积为．三、解答题：（共9题，第19题8分，第20-第21题每题4分，第22题12分，第23-25题每题6分，第26题8分，第27题10分；共64分）19．计算：（1）；（2）．20．运用乘法公式计算：．21．用简便方法计算：．22．因式分解：（1）；（2）；（3）为大于2的正整数）．23．已知，小明错将“”看成“”，算得结果．（1）计算的表达式；（2）求正确的结果的表达式；（3）小强说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值．24．先化简，再求值：，其中，．25．阅读下列两则材料，解决问题：材料一：比较和的大小．解：因为，且，所以，即．小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小来确定两个幂的大小．材料二：比较和的大小．解：因为，且，所以，即．小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小来确定两个幂的大小．【方法运用】（1）比较，，的大小；（2）比较，，的大小；（3）已知，，比较，的大小．26．阅读下列材料：【材料一】在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法．对于．解法一：设，则原式；解法二：设，，则原式．【材料二】将因式分解．解法一：原式；解法二：原式对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．请按照上面介绍的方法解决下列问题：（1）因式分解：；（2）因式分解：．27．阅读理解：我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．（1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形，长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证公式；利用上述公式解决问题：【直接应用】（2）若，，则；【类比应用】（3）若，求的值；【知识迁移】（4）将两个正方形，如图，摆放，若两个正方形面积之和为65，，求图中阴影部分面积和．

参考答案一、选择题：（共6题，每题2分，共12分．下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的）1．下列结论中，正确的是（）A．单项式的系数是3，次数是2 B．单项式的系数是，次数是4 C．单项式的次数是1，没有系数 D．多项式是三次三项式解：根据多项式的概念以及单项式系数、次数的定义逐项分析判断如下：、单项式的系数是，次数是3，该选项错误，不符合题意；、单项式的系数是，次数是4，该选项正确，符合题意；、单项式的次数是1，系数是1，该选项错误，不符合题意；、多项式是四次三项式，该选项错误，不符合题意；故选：．2．如果、都是关于的单项式，且是一个八次单项式，是一个五次多项式，那么的次数（）A．一定是五次 B．一定是八次 C．一定是三次 D．无法确定解：是一个八次单项式，是一个五次多项式，单项式、一个是5次单项式，一个是3次单项式，的次数是5次．故选：．3．若，，则（）A．1 B．2 C．3 D．4解：，，，故选：．4．在边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，把余下部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证公式（）A． B． C． D．解：图1阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即，图2是长为，宽为的长方形，因此面积为，所以有，即：，故选：．5．下列因式分解正确的是（）A． B． C． D．解：．，故选项不符合题意；．，故选项不符合题意；．，故选项不符合题意；．，故选项符合题意；故选：．6．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是如对于多项式，因式分解的结果是，若取当，时，则各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式取，时，用上述方法产生的密码不可能是（）A．113212 B．111232 C．123211 D．123011解：，且，，，，，组成的密码应包含11，12，32，密码共有6种：111232，113212，121132，123211，321112，321211，不能组成的密码为123011．故选：．二、填空题：（共12题，每题2分，共24分．）7．的系数是．解：的系数是．故答案为：．8．已知单项式与的差是单项式，那么7．解：由题意可知：，，，，，故答案为：7．9．如果整式与整式的和为一个数值，我们称，为数的“友好整式”，例如：和为数1的“友好整式”；和为数7的“友好整式”．若关于的整式与为数的“友好整式”，则的值为2．解：根据题意可得，，因为，所以，则，所以．故答案为：2．10．已知是完全平方式，则．解：，，．故答案为：．11．要使多项式不含的一次项，则的值为4．解：多项式不含的一次项，，解得．故答案为：4．12．一个长方形的面积为，其中一边长为，则长方形的另一边长为．解：由题意得：，长方形的另一边长为，故答案为：．13．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算术》中提出下表，此表揭示了为非负整数）展开式的各项系数的规律，例如：；它只有一项，系数为1；，它有两项，系数分别为1，1；，它有三项，系数分别为1，2，1；，它有四项；系数分别为1，3，3，1；根据以上规律，展开式各项系数的和等于64．解：；它只有一项，系数为1；，它有两项，系数分别为1，1；，它有三项，系数分别为1，2，1；，它有四项；系数分别为1，3，3，1；，，，，故答案为：64．14．因式分解：．解：原式，故答案为：．15．已知二次三项式有一个因式是，则值为3．解：二次三项式有一个因式是，，，，故答案为：3．16．甲乙两人完成因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为．解：因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，，又乙看错了的值，分解的结果为，，原二次三项式为，因此，，故答案为：．17．云南少数民族服饰以其精美的花纹和艳丽的色彩越来越受到追求独立与个性的设计师的喜爱．某民族服饰的花边均是由若干个平移形成的有规律的图案，如图，第①个图案由4个组成，第②个图案由7个组成，第③个图案由10个组成，，按此规律排列下去，第个图案中的个数为．解：第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，即，第3个图案由10个基础图形组成，，，第个图案中基础图形的个数为：，故答案为：．18．有两个正方形，，现将放在的内部得图①，将，并列放置后构造新的正方形得图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为4和18，则图②所示的大正方形的面积为40．解：设正方形的边长为，正方形的边长为，由图①得：，，由图②得：，，，，故答案为：40．三、解答题：（共9题，第19题8分，第20-第21题每题4分，第22题12分，第23-25题每题6分，第26题8分，第27题10分；共64分）19．计算：（1）；（2）．解：（1）原式；（2）原式．20．运用乘法公式计算：．解：原式．21．用简便方法计算：．解：原式．22．因式分解：（1）；（2）；（3）为大于2的正整数）．解：（1）原式；（2）原式；（3）原式．23．已知，小明错将“”看成“”，算得结果．（1）计算的表达式；（2）求正确的结果的表达式；（3）小强说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值．解：（1），；（2）；（3）对，与无关，将，代入，得：．24．先化简，再求值：，其中，．解：原式当，时，原式．25．阅读下列两则材料，解决问题：材料一：比较和的大小．解：因为，且，所以，即．小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小来确定两个幂的大小．材料二：比较和的大小．解：因为，且，所以，即．小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小来确定两个幂的大小．【方法运用】（1）比较，，的大小；（2）比较，，的大小；（3）已知，，比较，的大小．解：（1），，，且，，即；（2），，，且，，即；（3），，，，，即，．26．阅读下列材料：【材料一】在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法．对于．解法一：设，则原式；解法二：设，，则原式．【材料二】将因式分解．解法一：原式；解法二：原式对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．请按照上面介绍的方法解决下列问题：（1）因式分解：；（2）因式分解：．解：（1）解法一：，则原式，；解法二：设，，则原式，；（2）设，，原式．27．阅读理解：我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．（1）如图①是一