2020年上海市春季高考数学试卷(含解析)

2020年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7-12题每题5分)1．集合，，，2，，若，则．2．不等式的解集为．3．函数的最小正周期为．4．已知复数满足，则的实部为．5．已知，，则．6．若函数为偶函数，则．7．已知直线，，若，则与的距离为．8．已知二项式，则展开式中的系数为．9．三角形中，是中点，，，，则．10．已知，，，0，1，2，，、，则的情况有种．11．已知、、、、五个点，满足，2，，，2，，则的最小值为．12．已知，其反函数为，若有实数根，则的取值范围为．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．计算：（）A．3 B． C． D．514．“”是“”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件15．已知椭圆，作垂直于轴的垂线交椭圆于、两点，作垂直于轴的垂线交椭圆于、两点，且，两垂线相交于点，则点的轨迹是（）A．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．抛物线16．数列各项均为实数，对任意满足，且行列式为定值，则下列选项中不可能的是（）A．， B．， C．， D．，三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分)17．已知四棱锥，底面为正方形，边长为3，平面．（1）若，求四棱锥的体积；（2）若直线与的夹角为，求的长．18．已知各项均为正数的数列，其前项和为，．（1）若数列为等差数列，，求数列的通项公式；（2）若数列为等比数列，，求满足时的最小值．19．有一条长为120米的步行道，是垃圾投放点，若以为原点，为轴正半轴建立直角坐标系，设点，现要建设另一座垃圾投放点，函数表示与点距离最近的垃圾投放点的距离．（1）若，求、、的值，并写出的函数解析式；（2）若可以通过与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点建在何处才能比建在中点时更加便利？20．（16分）已知抛物线上的动点，，过分别作两条直线交抛物线于、两点，交直线于、两点．（1）若点纵坐标为，求与焦点的距离；（2）若，，，求证：为常数；（3）是否存在，使得且为常数？若存在，求出的所有可能值，若不存在，请说明理由．21．（18分）已知非空集合，函数的定义域为，若对任意且，不等式恒成立，则称函数具有性质．（1）当，判断、是否具有性质；（2）当，，，，若具有性质，求的取值范围；（3）当，，，若为整数集且具有性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的的值．

参考答案一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7-12题每题5分)1．集合，，，2，，若，则3．解：，且，，，故答案为：3．2．不等式的解集为．解：由得，则，即，解得，所以不等式的解集是，故答案为：．3．函数的最小正周期为．解：函数的最小正周期为，故答案为：．4．已知复数满足，则的实部为2．解：设，．复数满足，，可得：，，解得，．则的实部为2．故答案为：2．5．已知，，则．解：，，，，，故．故答案为：．6．若函数为偶函数，则1．解：根据题意，函数为偶函数，则，即，变形可得：，必有；故答案为：1．7．已知直线，，若，则与的距离为．解：直线，，当时，，解得；当时与重合，不满足题意；当时，此时，；则与的距离为．故答案为：．8．已知二项式，则展开式中的系数为10．解：，所以展开式中的系数为10．故答案为：10．9．三角形中，是中点，，，，则．解：在中，，，，由余弦定理得，，，且是的中点，．故答案为：．10．已知，，，0，1，2，，、，则的情况有18种．解：当，0种，当，2种，当，4种；当，6种，当，4种；当，2种，当，0种，故共有：．故答案为：18．11．已知、、、、五个点，满足，2，，，2，，则的最小值为．解：设，则，，设，如图，求的最小值，则：，，，，当且仅当，即时取等号，的最小值为．故答案为：．12．已知，其反函数为，若有实数根，则的取值范围为，．解：因为与互为反函数，若与有实数根，则与有交点，所以，即，故答案为：，．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．计算：（）A．3 B． C． D．5解：．故选：．14．“”是“”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件解：（1）若，则，““是““的充分条件；（2）若，则，得不出，“”不是“”的必要条件，“”是“”的充分非必要条件．故选：．15．已知椭圆，作垂直于轴的垂线交椭圆于、两点，作垂直于轴的垂线交椭圆于、两点，且，两垂线相交于点，则点的轨迹是（）A．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．抛物线解：，，判断轨迹为上下两支，即选双曲线，设，，所以，因为，，消去可得：，故选：．16．数列各项均为实数，对任意满足，且行列式为定值，则下列选项中不可能的是（）A．， B．， C．， D．，解：行列式，对任意满足，，作差整理得：（常数列，，或，当，则及，方程有两根，，△，因为错，故选：．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分)17．已知四棱锥，底面为正方形，边长为3，平面．（1）若，求四棱锥的体积；（2）若直线与的夹角为，求的长．解：（1）平面，．，，，，所以四棱锥的体积为12．（2）是正方形，平面，，又平面异面直线与所成角为，在中，，故在中，18．已知各项均为正数的数列，其前项和为，．（1）若数列为等差数列，，求数列的通项公式；（2）若数列为等比数列，，求满足时的最小值．解：（1）数列为公差为的等差数列，，，可得，解得，则；（2）数列为公比为的等比数列，，，可得，即，则，，，即为，即，可得，即的最小值为7．19．有一条长为120米的步行道，是垃圾投放点，若以为原点，为轴正半轴建立直角坐标系，设点，现要建设另一座垃圾投放点，函数表示与点距离最近的垃圾投放点的距离．（1）若，求、、的值，并写出的函数解析式；（2）若可以通过与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点建在何处才能比建在中点时更加便利？解：（1）投放点，，表示与距离最近的投放点（即的距离，所以，同理分析，，，由题意得，，，则当，即时，；当，即时，；综上；（2）由题意得，，所以，则与坐标轴围成的面积如阴影部分所示，所以，由题意，，即，解得，即垃圾投放点建在与之间时，比建在中点时更加便利．20．（16分）已知抛物线上的动点，，过分别作两条直线交抛物线于、两点，交直线于、两点．（1）若点纵坐标为，求与焦点的距离；（2）若，，，求证：为常数；（3）是否存在，使得且为常数？若存在，求出的所有可能值，若不存在，请说明理由．解：（1）解：抛物线上的动点，，过分别作两条直线交抛物线于、两点，交直线于、两点．点纵坐标为，点的横坐标，，，与焦点的距离为．（2）证明：设，直线，当时，，直线，时，，，为常数．（3）解：设，，直线，联立，得，，即，同理得，，，要使为常数，即，此时为常数1，存在，使得且为常数1．21．（18分）已知非空集合，函数的定义域为，若对任意且，不等式恒成立，则称函数具有性质．（1）当，判断、是否具有性质；（2）当，，，，若具有性质，求的取值范围；（3）当，，，若为整数集且具有性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的的值．解：（1）为减函数，，具有性质；为增函数，，不具有性质；（2）依题意，对任意，恒成立，为增函数（不可能为常值函数），由