2022年上海市春季高考数学试卷(含解析)

2022年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．已知（其中为虚数单位），则．2．已知集合，，集合，，则．3．不等式的解集为．4．若，则．5．设函数的反函数为，则．6．在的展开式中，则含项的系数为．7．若关于，的方程组有无穷多解，则实数的值为．8．已知在中，，，，则的外接圆半径为．9．用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为（用数字作答）10．在中，，，点为边的中点，点在边上，则的最小值为．11．已知，，，两点均在双曲线的右支上，若恒成立，则实数的取值范围为．12．已知函数为定义域为的奇函数，其图像关于对称，且当，时，，若将方程的正实数根从小到大依次记为，，，，，则．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．下列函数定义域为的是（）A． B． C． D．14．若，则下列不等式恒成立的是（）A． B． C． D．15．上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为A．0 B．2 C．4 D．1216．已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项判断正确的是（）A．若，则数列是递增数列 B．若，则数列是递增数列 C．若数列是递增数列，则 D．若数列是递增数列，则三、简答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为、，为圆柱的母线，底面半径长为1．（1）若，为的中点，求直线与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）若圆柱过的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积．18．已知在数列中，，其前项和为．（1）若是等比数列，，求；（2）若是等差数列，，求其公差的取值范围．19．为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块，，．为保护处的一棵古树，有关部门划定了以为圆心、为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若架空线入线口为边上的点，出线口为边上的点，施工要求与封闭区边界相切，右侧的四边形地块将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到，计算面积精确到（1）若，求的长；（2）当入线口在上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？20．（16分）已知椭圆，、两点分别为的左顶点、下顶点，、两点均在直线上，且在第一象限．（1）设是椭圆的右焦点，且，求的标准方程；（2）若、两点纵坐标分别为2、1，请判断直线与直线的交点是否在椭圆上，并说明理由；（3）设直线、分别交椭圆于点、点，若、关于原点对称，求的最小值．21．（18分）已知函数的定义域为，现有两种对变换的操作：变换：；变换：，其中为大于0的常数．（1）设，，为做变换后的结果，解方程：；（2）设，为做变换后的结果，解不等式：；（3）设在上单调递增，先做变换后得到，再做变换后得到；先做变换后得到，再做变换后得到．若恒成立，证明：函数在上单调递增．

参考答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．已知（其中为虚数单位），则．解：，．故答案为：．2．已知集合，，集合，，则．解：集合，，集合，，，，，．故答案为：．3．不等式的解集为．解：由题意得，解得，故不等式的解集．故答案为：．4．若，则．解：若，则．故答案为：．5．设函数的反函数为，则3．解：函数的反函数为，整理得；所以．故答案为：3．6．在的展开式中，则含项的系数为66．解：展开式的通项公式为，由，得，得，即，即含项的系数为66，故答案为：66．7．若关于，的方程组有无穷多解，则实数的值为4．解：根据题意，若关于，的方程组有无穷多解，则直线和重合，则有，即，解可得，当时，两直线重合，方程组有无数组解，符合题意，当时，两直线平行，方程组无解，不符合题意，故．故答案为：48．已知在中，，，，则的外接圆半径为．解：在中，，，，利用余弦定理，整理得，所以，解得．故答案为：．9．用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为17（用数字作答）解：根据题意，用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，当其千位数字为3或4时，有种情况，即有12个符合题意的四位数，当其千位数字为2时，有6种情况，其中最小的为2134，则有个比2134大的四位数，故有个比2134大的四位数，故答案为：17．10．在中，，，点为边的中点，点在边上，则的最小值为．解：建立平面直角坐标系如下，则，，，直线的方程为，即，点在直线上，设，，，，的最小值为．故答案为：．11．已知，，，两点均在双曲线的右支上，若恒成立，则实数的取值范围为，．解：设的对称点，仍在双曲线右支，由，得，即恒成立，恒为锐角，即，其中一条渐近线的斜率，，所以实数的取值范围为，．故答案为：，．12．已知函数为定义域为的奇函数，其图像关于对称，且当，时，，若将方程的正实数根从小到大依次记为，，，，，则2．解：函数为定义域为的奇函数，其图像关于对称，且当，时，，是周期为4的周期函数，图像如图：将方程的正实数根从小到大依次记为，，，，，则的几何意义是两条渐近线之间的距离2，．故答案为：2．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．下列函数定义域为的是（）A． B． C． D．解：，定义域为，，定义域为，，定义域为，，定义域为．定义域为的是．故选：．14．若，则下列不等式恒成立的是（）A． B． C． D．解：对于，令，，，，满足，但，故错误，对于，，即，，由不等式的可加性可得，，故正确，对于，令，，，，满足，但，故错误，对于，令，，，，满足，但，故错误．故选：．15．上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为A．0 B．2 C．4 D．12解：3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直，每天0点至12点（包含0点，不含12点），相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为2，故选：．16．已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项判断正确的是（）A．若，则数列是递增数列 B．若，则数列是递增数列 C．若数列是递增数列，则 D．若数列是递增数列，则解：如果数列，公比为，满足，但是数列不是递增数列，所以不正确；如果数列，公比为，满足，但是数列不是递增数列，所以不正确；如果数列，公比为，，数列是递增数列，但是，所以不正确；数列是递增数列，可知，可得，所以，可得正确，所以正确；故选：．三、简答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为、，为圆柱的母线，底面半径长为1．（1）若，为的中点，求直线与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）若圆柱过的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积．解：（1）因为为圆柱的母线，所以垂直于上底面，所以是直线与上底面所成角，，所以．（2）因为圆柱过的截面为正方形，所以，所以圆柱的体积为，圆柱的侧面积为．18．已知在数列中，，其前项和为．（1）若是等比数列，，求；（2）若是等差数列，，求其公差的取值范围．解：（1）在等比数列中，，，则，公比，则，；（2）若是等差数列，则，即，当时，；当时，恒成立，，，．综上所述，，．19．为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块，，．为保护处的一棵古树，有关部门划定了以为圆心、为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若架空线入线口为边上的点，出线口为边上的点，施工要求与封闭区边界相切，右侧的四边形地块将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到，计算面积精确到（1）若，求的长；（2）当入线口在上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？解：（1）作，垂足为，则；（2）设，则，，，，当且仅当，即时取等号，此时，最大面积为．20．（16分）已知椭圆，、两点分别为的左顶点、下顶点，、两点均在直线上，且在第一象限．（1）设是椭圆的右焦点，且，求的标准方程；（2）若、两点纵坐标分别为2、1，请判断直线与直线的交点是否在椭圆上，并说明理由；（3）设直线、分别交椭圆于点、点，若、关于原点对称，求的最小值．解：（1）由题可得，，因为，所以，解得，所以，故的标准方程为；（2）直线与直线的交点在椭圆上，由题可得此时，，，，则直线，直线，交点为，，满足，故直线与直线的交点在椭圆上；（3），，则直线，所以，，，则直线，所以，所以，设，则，因为，所以，则，即的最小值为6．21．（18分）已知函数的定义域为，现有两种对变换的操作：变换：；变换：，其中为大于0的常数．（1）设，，为做变换后的结果，解方程：；（2）设，为做