2026年上海市春季高考数学试卷（含解析）

2026年上海市春季高考数学试卷一、填空题（满分54分）1．已知集合，，，3，，若，则．2．关于的不等式的解集为．3．已知向量，且，则．4．在平面直角坐标系中，点到直线的距离为．5．的二项展开式中，的系数为．6．若，，且，则的最大值是．7．在5个人中选3个人去演讲，若甲一定去，则一共有种选法．8．已知点为抛物线上一点，若点到的焦点的距离是到轴的距离的两倍，则点的横坐标是．9．已知，对于所有满足的复数，都有的最小值与的最小值相同，则．10．在△中，、在边上，且，，与所成的夹角为，则的最大值为．11．已知椭圆与椭圆相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则．12．有一个油壶，壶身视为圆柱，壶嘴视为直线且不计容积，壶底直径6.4厘米，壶身高16厘米，壶内油液面高12.1厘米，壶嘴长13.4厘米，与壶身夹角为，壶嘴最低点距壶底3厘米，将壶身向壶嘴方向至少转度可使油倒出（精确到二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分。13．下列数列中是等差数列也是等比数列的是（）A．1，，1，，1 B．1，2，3，4，5 C．5，5，5，5，5 D．1，2，3，5，714．已知，则下列不等式恒成立的是（）A． B． C． D．15．平移对称法在几何学中具有重要的应用．设平面直角坐标系中有一图形，过内任意一点作垂直于轴的直线，满足为一线段．现沿方向平移这些线段，使得它们的中点均在轴上，这样叫做平移对称法．对于，，直线和直线围成的封闭图形，对它进行一次平移对称，得到的图像大致为（）A． B． C． D．16．对于函数，，设，，．对于点集，若存在，，使得任取，总有，则称，为“最低点”．对于函数和，以下说法中正确的是（）A．若和都有最小值，则有最低点 B．若有最低点，则和都有最小值 C．若或有最小值，则有最低点 D．若有最低点，则或有最小值三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤。17．某兴趣班共150人，年龄分布及兴趣爱好统计如下：年龄剪纸摄影画画人数，845，1055，650（1）现采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在，岁的有多少人？（2）该兴趣班150人的平均年龄是多少？（3）现从150人中任意抽选1人，记抽到的学员年龄在，为事件，记抽到学员爱好摄影为事件．事件与是否独立？请说明理由．18．如图所示正四棱台，其中，．（1）当时，求和平面所成角；（2）证明：平面；若棱台高为3，求三棱锥的体积．19．已知函数，．（1）当，，求函数在处的切线方程；（2）若函数的最小正周期为，且在，上恰好有1351个解，求的取值范围．20．（18分）已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点．（1）求双曲线离心率；（2）若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率；（3）若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围．21．（18分）设是定义在上的函数．定义性质：若对任意，，当时，，则称函数具有“性质”．（1）判断函数是否具有“性质”；（2）若分段函数具有“性质”，求所有满足条件的实数和的解；（3）已知的值域为，，且在，上是严格增函数，证明：是偶函数的充要条件是：具有“性质”．

参考答案一、填空题（满分54分）.1．已知集合，，，3，，若，则4．解：因为，所以．故答案为：4．2．关于的不等式的解集为．解：由，得，解得：，则不等式的解集为．故答案为：．3．已知向量，且，则2．解：，，则．故答案为：2．4．在平面直角坐标系中，点到直线的距离为．解：点到直线的距离．故答案为：．5．的二项展开式中，的系数为18．解：，令，则，所以的系数为．故答案为：18．6．若，，且，则的最大值是2．解：，，，当且仅当时取等号，即，时取等号所以的最大值为2．故答案为：2．7．在5个人中选3个人去演讲，若甲一定去，则一共有6种选法．解：若甲一定去，则再从剩下的4人中任选2人即可，故选法种数为．故答案为：6．8．已知点为抛物线上一点，若点到的焦点的距离是到轴的距离的两倍，则点的横坐标是1．解：设抛物线上的点，，抛物线的焦点坐标，因为点到焦点的距离是点到轴距离的两倍，所以；解得，所以到轴的距离是，即点的横坐标是1．故答案为：1．9．已知，对于所有满足的复数，都有的最小值与的最小值相同，则3．解：复数满足，则复数对应的点的集合是以原点为圆心，2为半径的圆，表示圆上一点到点的距离，又圆心到点的距离为1，则的最小值为，而表示点到圆上一点的距离，且点到圆心的距离为，，则的最小值为，又的最小值与的最小值相同，所以，解得．故答案为：3．10．在△中，、在边上，且，，与所成的夹角为，则的最大值为．解：，，，，与所成的夹角为，，令，则，，当时，的最大值为．故答案为：．11．已知椭圆与椭圆相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则．解：因为两个椭圆的四个焦点在同一个圆上，所以根据椭圆和的对称性可知，该圆的圆心为原点，因此有，且两个椭圆的半焦距为，因此该圆的方程为，又因为、、、四点与和的四个焦点在同一个圆上，所以由椭圆和圆的对称性可知，这四个点也在圆上，由，代入椭圆中，得，又，故．故答案为：．12．有一个油壶，壶身视为圆柱，壶嘴视为直线且不计容积，壶底直径6.4厘米，壶身高16厘米，壶内油液面高12.1厘米，壶嘴长13.4厘米，与壶身夹角为，壶嘴最低点距壶底3厘米，将壶身向壶嘴方向至少转度可使油倒出（精确到解：设壶嘴最低点，最高点分别是，，图中圆柱轴截面矩形，距离点最近的顶点是点，另外三个顶点分别为，，，当水平液面经过点时，可将油倒出，设倾斜角为，当液面经过点时，，先考虑液面不超过点，即的情况，设液面与，分别交于点，，设的中点为，过作的垂线，垂足为，则，，所以，因为，所以，因为，所以，在△中，，即，即，即，所以，即，因为，所以至少将油壶倾斜即可将油倒出．故答案为：．二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分。13．下列数列中是等差数列也是等比数列的是（）A．1，，1，，1 B．1，2，3，4，5 C．5，5，5，5，5 D．1，2，3，5，7解：数列1，，1，，1是等比数列，不是等差数列，故错误；数列1，2，3，4，5是等差数列，不是等比数列，故错误；数列5，5，5，5，5既是等差数列，又是等比数列，故正确；1，2，3，5，7既不是等差数列也不是等比数列，故错误．故选：．14．已知，则下列不等式恒成立的是（）A． B． C． D．解：取，，满足，此时，故错误；取，，此时，，，故错误；当时，，故正确；取，，此时，，，故错误．故选：．15．平移对称法在几何学中具有重要的应用．设平面直角坐标系中有一图形，过内任意一点作垂直于轴的直线，满足为一线段．现沿方向平移这些线段，使得它们的中点均在轴上，这样叫做平移对称法．对于，，直线和直线围成的封闭图形，对它进行一次平移对称，得到的图像大致为（）A． B． C． D．解：方法一：依题意，作出函数与在，上的图象．按照平移对称法，当时，，，线段中点纵坐标为，则应将此时的线段沿方向向下平移，，的图象上的对应点纵坐标应分别为和，故排除项；当时，，线段中点纵坐标为，则应将此时的线段沿方向向下平移，，的图象上的对应点纵坐标应分别为1和，故可排除，两项，项符合题意．方法二：根据平移对称法的基本概念，将函数和函数在，上的函数值差值等分在轴上下两侧，等分量为，故在，上线性变化，结合选项知，只有选项符合题意．故选：．16．对于函数，，设，，．对于点集，若存在，，使得任取，总有，则称，为“最低点”．对于函数和，以下说法中正确的是（）A．若和都有最小值，则有最低点 B．若有最低点，则和都有最小值 C．若或有最小值，则有最低点 D．若有最低点，则或有最小值解：对于，可举反例：，，此时，且或且，故错误；对于，可举反例：，，此时，且或且，显然此时为，但和都没有最小值，故错误；对于，可举反例；，，显然没有“最低点”，故错误；对于，若有“最低点”，不妨记最低点为，，则，或，，且有或，故或，故选项正确．故选：．三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤。17．某兴趣班共150人，年龄分布及兴趣爱好统计如下：年龄剪纸摄影画画人数，845，1055，650（1）现采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在，岁的有多少人？（2）该兴趣班150人的平均年龄是多少？（3）现从150人中任意抽选1人，记抽到的学员年龄在，为事件，记抽到学员爱好摄影为事件．事件与是否独立？请说明理由．解：（1）由表知，年龄在，岁的人数在总体中的占比为，所以采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在，岁的有人．（2）该兴趣班150人的平均年龄是岁．（3）事件与不独立，理由如下：由题意知，（A），（B），所以（A）（B），故事件与不独立．18．如图所示正四棱台，其中，．（1）当时，求和平面所成角；（2）证明：平面；若棱台高为3，求三棱锥的体积．解：（1）过作平面于，连接，过分别作于，于，连接，，如图为在平面上的投影，由于平面，所以，由于，，平面，所以平面，由于平面，所以，所以，同理，，四边形为正方形，所以，为在平面上的投影，又因平面平面，所以和平面所成角即，，故和平面所成角为；（2）证明：连接、交于，连接．交于，如图，上下底面为正方形，由正棱台性质，可得，且，，，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，由正棱台性质与上下底面均垂直，则，因为，，，平面，所以平面，所求三棱锥体积可拆分成两个小三棱锥的体积之和，即．19．已知函数，．（1）当，，求函数在处的切线方程；（2）若函数的最小正周期为，且在，上恰好有1351个解，求的取值范围．解：（1）当时，，因为，所以，即，，所以，，因为，所以，所以，所以，所以，，故函数在处的切线方程为，即．（2）因为的最小正周期为，所以，所以，因为在，，，，，，，，上各自恰有2个解，所以在，上恰有个解，所以在，恰有1个解，当，时，，因为，所以若，则；若，则，综上，．20．（18分）已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点．（1）求双曲线离心率；（2）若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率；（3）若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围．解：（1）由题意知，，所以离心率．（2）因为，，为线段中点，所以，又在右支上，代入得，且，解得，所以直线斜率．（3）由双曲线知，、，设，，，，则，，设过点的直线，联立，消去得，，显然，即，由韦达定理得，，其中△，即①，所以，，，整理得②，由①②解得且，所以实数的取值范围为，，．21．（18分）设是定义在上的函数．定义性质：若对任意，，当时，，则称函数具有“性质”．（1）判断函数是否具有“性质”；（2）若分段函数具有“性质”，求所有满足条件的实数和的解；（3）已知的值域为，，且在，上是严格增函数，证明：是偶函数的充要条件是：具有“性质”．解：（1）由于，但，所以与性质矛盾，所以不具有性质；（2）不妨任取，，使得，根据性质得到：，所以得到；，所以得到①；