20　第三章　第20课时　导数与函数的极值、最值

第20课时导数与函数的极值、最值第三章一元函数的导数及其应用[考试要求]1．借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．2．会用导数求函数的极大值、极小值．3．会求闭区间上函数的最大值、最小值．以题引理·激活思维1．(人教B版选择性必修第三册P100练习AT1改编)函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，则f(x)的极小值点的个数为(

)A．1 B．2C．3 D．4√A

[由题意知在x＝－1处f'(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，函数f(x)在x＝－1处取得极小值．故选A．]2．(人教A版选择性必修第二册P104复习参考题5T9改编)已知f(x)＝x2(x－k)的一个极值点为2，则实数k＝(

)A．2 B．3C．4 D．5√

√

181．函数的极值(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f'(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧____________，右侧____________．则__叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．f'(x)<0f'(x)>0a(2)函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f'(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧__________，右侧___________．则__叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极小值点、极大值点统称为______，极小值和极大值统称为____．f'(x)>0f'(x)<0b极值点极值提醒：对于可导函数f(x)，“f'(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．例如：f(x)＝x3，f'(0)＝0，但x＝0不是f(x)的极值点．2．函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值和最小值．连续不断(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的____；②将函数y＝f(x)的各极值与____________________________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．极值端点处的函数值f(a)，f(b)[二级结论]若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值．1．求函数f(x)极值的步骤(1)确定函数的定义域；(2)求导数f'(x)；(3)解方程f'(x)＝0，求出方程f'(x)＝0在定义域内的所有根；(4)列表检验f'(x)在f'(x)＝0各个根的左、右两侧值的符号；(5)求出极值．2．对于一般函数而言，函数的最值必在下列各点中取得：导数为零的点、导数不存在的点、区间端点．考点一

利用导数研究函数的极值考向1

根据函数的图象判断函数的极值[典例1](多选)函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x)，且函数g(x)＝xf'(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(

)A．f(x)有两个极值点B．f(0)为f(x)的极大值C．f(x)有两个极小值点D．f(－1)为f(x)的极小值精研考点·提升素养√√BC

[根据g(x)＝xf'(x)的图象，可得当x<－2时，g(x)＝xf'(x)>0，可得f'(x)<0，即f(x)单调递减；当－2<x<0时，g(x)＝xf'(x)<0，可得f'(x)>0，即f(x)单调递增；当0<x<1时，g(x)＝xf'(x)<0，可得f'(x)<0，即f(x)单调递减；当x>1时，g(x)＝xf'(x)>0，可得f'(x)>0，即f(x)单调递增，因此f(x)在x＝－2和x＝1处取得极小值，在x＝0处取得极大值，共3个极值点，A错误，C正确；f(0)为f(x)的极大值，B正确；f(－1)不是f(x)的极小值，D错误．]

当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表．x(0，2)2(2，＋∞)f'(x)＋0－f(x)单调递增ln

2－1单调递减故f(x)的极大值为f(2)＝ln

2－1，无极小值．

考向3

已知函数的极值(点)求参数[典例3]

(2024·新高考Ⅱ卷节选)已知函数f(x)＝ex－ax－a3，若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．[解]

易知函数f(x)的定义域为R，f'(x)＝ex－a，当a≤0时，f'(x)>0在R上恒成立，函数f(x)在R上单调递增，无极值；当a>0时，由f'(x)>0，得x>ln

a，由f'(x)<0，得x<ln

a，所以函数f(x)在(－∞，ln

a)上单调递减，在(ln

a，＋∞)上单调递增，所以f(x)的极小值为f(ln

a)＝a－aln

a－a3．

名师点评：导数为零的点，未必是极值点；判断极值点的个数，转化为导数为0的根的个数．

√

2．已知函数f(x)＝(lnx)2－ax2有两个极值点，则实数a的取值范围是________．

【教用·备选题】1．已知函数f(x)的导函数为f'(x)，定义域为(0，＋∞)，且函数g(x)＝(x－6)3·f'(x)的图象如图所示，则下列说法正确的是(

)A．f(x)有极小值f(6)，极大值f(1)B．f(x)仅有极小值f(6)，极大值f(10)C．f(x)有极小值f(1)和f(6)，极大值f(3)和f(10)D．f(x)仅有极小值f(1)，极大值f(10)√C

[由函数g(x)＝(x－6)3·f'(x)的图象，得当0<x<1时，f'(x)<0，f(x)单调递减，当1<x<3时，f'(x)>0，f(x)单调递增，当3<x<6时，f'(x)<0，f(x)单调递减，当6<x<10时，f'(x)>0，f(x)单调递增，当x>10时，f'(x)<0，f(x)单调递减，所以函数f(x)有极小值f(1)和f(6)，极大值f(3)和f(10)．故选C．]

√[－2，1)

名师点评：求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)，与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值．[巩固迁移]4．已知函数f(x)＝ax＋lnx，其中a为常数．(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值．

【教用·备选题】已知函数f(x)＝(cosx－1)e-x，x∈(0，π)，求函数f(x)的最小值．

一、单项选择题1．函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x)，若函数f(x)在x＝1处取得极大值，则函数y＝－xf'(x)的图象可能是(

)题号13524687910111213课后作业(二十)导数与函数的极值、最值A

B

C

D√B

[由函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x)，若函数f(x)在x＝1处取得极大值，则当x>1时，f'(x)<0；当x＝1时，f'(x)＝0；当x<1时，f'(x)>0，所以当x<0时，y＝－xf'(x)>0，当0<x<1时，y＝－xf'(x)<0，当x＝0或x＝1

时，y＝－xf'(x)＝0，当x>1时，y＝－xf'(x)>0，可得选项B符合题意．故选B．]题号13524687910111213题号21345687910111213

√

题号21345687910111213

题号21345687910111213

题号21345687910111213√

题号21345687910111213

题号21345687910111213

题号21345687910111213√

题号21345687910111213

题号21345687910111213√

题号21345687910111213

题号21345687910111213√

题号21345687910111213二、多项选择题7．已知函数f(x)＝x3－3x2，则(

)A．f(x)在(0，1)内单调递减B．f(x)的极大值点为2C．f(x)的极大值为－2D．f(x)有2个零点题号21345687910111213√√AD

[由函数f(x)＝x3－3x2，可得f'(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f'(x)>0，解得x<0或x>2；令f'(x)<0，解得0<x<2，所以函数f(x)在(0，2)内单调递减，在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递增，当x＝0时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(0)＝0；当x＝2时，函数f(x)取得极小值，极小值为f(2)＝－4，又当x→＋∞时，f(x)→＋∞且f(2)＝－4<0，f(0)＝0，所以函数f(x)只有两个零点，所以A，D正确，B，C不正确．]题号21345687910111213

题号21345687910111213√√

题号21345687910111213三、填空题9．若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有极值点，则实数c的取值范围为________________________________．题号21345687910111213

题号21345687910111213

题号213456879101112134

[f'(x)＝x2－4，当x∈[0，2)时，f'(x)<0，当x∈(2，3]时，f'(x)>0，所以f(x)在[0，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m，所以在[0，3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4．]4

题号21345687910111213

题号2134