68　第九章　第68课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式

第68课时事件的相互独立性、条件概率与全概率公式第九章计数原理、概率、随机变量及其分布[考试要求]1．了解两个事件相互独立的含义．2．理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率．以题引理·激活思维1．(多选)(人教A版必修第二册P266复习参考题10T1改编)袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”记为B，其对立事件记为C，那么事件A与B，A与C的关系是(

)A．A与B相互独立 B．A与C相互独立C．A与C互斥 D．A与B互斥√√AB

[由于摸球过程是有放回地，所以第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故事件A与B，A与C均相互独立，且A与B，A与C均有可能同时发生，说明A与B，A与C均不互斥．]

√

√

4．(北师大版必修第一册P217习题7－4A组T4改编)已知甲运动员的投篮命中率为0.7，乙运动员的投篮命中率为0.8，若甲、乙各投篮一次，则恰有一人命中的概率是_____________．0.38

[∵甲运动员的投篮命中率为0.7，乙运动员的投篮命中率为0.8，∴甲、乙各投篮一次，则恰有一人命中的概率为P＝0.7×(1－0.8)＋(1－0.7)×0.8＝0.38．]0.385．(湘教版选择性必修第二册P163复习题三T7改编)有三个同样的箱子，A箱中有4个黑球1个白球，B箱中有3个黑球3个白球，C箱中有3个黑球5个白球．现任取一箱，再从中任取一球，则此球是白球的概率为_____________．

1．事件的相互独立性概念对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝________________成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立性质P(A)·P(B)P(B)P(A)

P(A)·P(B|A)1P(B|A)＋P(C|A)1－P(B|A)3．全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝_________________，我们称该公式为全概率公式．

1．两个事件是否相互独立的判断(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．(2)公式法：若P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A，B为相互独立事件．2．求复杂事件的概率一般可分三步进行(1)列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；(2)理清各事件之间的关系，恰当地利用事件间的“并”“交”表示所求事件；(3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．考点一

事件的相互独立性考向1

事件相互独立性的判断[典例1]

(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(

)A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立精研考点·提升素养√

考向2

相互独立事件的概率[典例2]乒乓球比赛规则规定，一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；(2)求开始第5次发球时，甲得分领先的概率．[解]

记Ai表示事件，第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i＝0，1，2，记Bi表示事件，第3次和第4次这两次发球，甲共得i分，i＝0，1，2，A表示事件：第3次发球，甲得1分，B表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1∶2，C表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先，

(2)P(B1)＝2×0.4×0.6＝0.48，P(B2)＝0.42＝0.16，P(A2)＝0.62＝0.36，C＝A1B2＋A2B1＋A2B2，P(C)＝P(A1B2＋A2B1＋A2B2)＝P(A1B2)＋P(A2B1)＋P(A2B2)＝0.48×0.16＋0.36×0.48＋0.36×0.16＝0.307

2．名师点评：求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立．(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：①利用相互独立事件的乘法公式直接求解．②正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算．

√

是2

考点二

条件概率[典例3]在一个盒子中有大小与质地相同的20个球，其中10个红球，10个白球，两人依次不放回地各摸1个球，求：(1)在第一个人摸出1个红球的条件下，第二个人摸出1个白球的概率；(2)第一个人摸出1个红球，且第二个人摸出1个白球的概率．

[巩固迁移]2．(2023·全国甲卷)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为(

)A．0.8

B．0.6

C．0.5

D．0.4√

3．(2022·天津卷)现有52张扑克牌(去掉大小王)，每次取一张，取后不放回，则两次都抽到A的概率为_____________；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为_____________．

考点三

全概率公式的应用[典例4]

(2026·湖南长沙模拟)某机器人商店出售的机器人中，甲品牌的占40%，合格率为95%；乙品牌的占30%，合格率为90%；丙品牌的占30%，合格率为90%，在该商店随机买一台机器人．(1)求该机器人是甲品牌合格品的概率；(2)求该机器人是合格品的概率；(3)若该机器人是不合格品，求它是丙品牌的概率．[解]

(1)用A表示机器人是甲品牌，用B表示机器人是合格品，甲品牌的占40%，合格率为95%，则P(A)＝40%，P(B|A)＝95%，所以该机器人是甲品牌合格品的概率P(BA)＝P(A)P(B|A)＝40%×95%＝0.38．

(1)求首次试验结束的概率；(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率(先验概率)进行调整．①求选到的袋子为甲袋的概率；②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大．

一、单项选择题1．假设P(A)＝0.6，P(AB)＝0.42，且A与B相互独立，则P(A∪B)＝(

)A．0.9 B．0.75C．0.88 D．0.84题号135246879101112课后作业(六十八)事件的相互独立性、条件概率与全概率公式√

题号135246879101112题号213456879101112

√

题号213456879101112√

题号213456879101112

题号213456879101112√

题号213456879101112

题号213456879101112√

题号213456879101112

题号213456879101112√

题号213456879101112二、多项选择题7．(2026·江苏南通开学考试)设样本空间Ω＝{1，2，3，4}，且每个样本点是等可能的，已知事件A＝{1，2}，B＝{1，3}，C＝{1，4}，则(

)A．A与B互斥 B．B与C相互独立C．P(ABC)＝P(A)P(B)P(C) D．P(A|C)＝P(C|A)2025课标新变化：选择合适的方法计算概率．题号213456879101112√√

题号213456879101112

题号213456879101112√√√

题号213456879101112三、填空题9．甲、乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5，若目标至少被命中1次，则乙命中目标的概率为_____________．题号2134568791011120.625

10．甲箱中有2个白球和3个红球，乙箱中有1个白球和3个红球，这些球除颜色外其余都相同，先从甲箱中取1个球放入乙箱，再从乙箱中任取1个球，则从乙箱中取出的球是白球的概率为_________．题号213456879101112

题号2134