14　第二章　第14课时　对数函数

第14课时对数函数第二章函数的概念与性质[考试要求]1．通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点等性质，并能简单应用．2．了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．以题引理·激活思维

√

√

3．(人教A版必修第一册P135练习T2改编)已知a＝log0.26，b＝log0.36，c＝log0.46，则(

)A．a<b<c B．c<b<aC．c<a<b D．b<c<a√

4．(苏教版必修第一册P158习题6.3T8)设a与b为实数，a>0，a≠1．已知函数y＝loga(x＋b)的图象如图所示，则a与b的值分别为__________．

1．对数函数(1)一般地，函数______________(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是____________．y＝logax(0，＋∞)(2)对数函数的图象与性质项目a>10<a<1图象定义域____________(0，＋∞)值域R性质过定点__________，即x＝1时，y＝0当x>1时，______；当0<x<1时，______当x>1时，______；当0<x<1时，______在(0，＋∞)上是__函数在(0，＋∞)上是__函数(1，0)y>0y<0y<0y>0增减2．反函数一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线______对称．y＝x1．对数函数的图象与底数大小的关系如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0<c<d<1<a<b．由此我们可得到规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．2．研究与对数函数有关的复合函数的单调性、值域问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．同时关注其真数与底数的取值范围．

精研考点·提升素养√A

B

C

D(2)已知实数m>0且m≠1，函数y＝logm(x＋n)的大致图象如图所示，则m，n的取值范围可能为(

)A．m>1，n>1 B．m>1，0<n<1C．0<m<1，n>1 D．0<m<1，0<n<1√

名师点评：对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．

A

B

C

D√√√

2．已知函数f(x)＝|lnx|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是____________．(3，＋∞)

[作出f(x)＝|ln

x|的图象如图所示，因为f(a)＝f(b)，所以|ln

a|＝|ln

b|，因为0<a<b，所以ln

a<0，ln

b>0，所以0<a<1，b>1，所以－ln

a＝ln

b，(3，＋∞)

【教用·备选题】1．已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(

)A．0<a-1<b<1B．0<b<a-1<1C．0<b-1<a<1D．0<a-1<b-1<1√

A

B

C

D2．(多选)若函数f(x)＝ax-2，g(x)＝loga|x|，其中a>0，且a≠1，则函数f(x)，g(x)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是(

)√√AD

[易知g(x)＝loga|x|为偶函数．当0<a<1时，f(x)＝ax-2在R上单调递减，g(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递减，此时A选项符合题意．当a>1时，f(x)＝ax-2在R上单调递增，g(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，此时D选项符合题意．故选AD．]

√

名师点评：(1)比较对数函数值大小的方法：单调性法、中间量法、图象法等．(2)解对数不等式的类型及方法①形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论．②形如logax>b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式再进行求解．[巩固迁移]3．(2025·浙江金华二模)已知a＝log32，b＝log54，c＝log98，则(

)A．c<b<a B．a<c<bC．b<a<c D．a<b<c√

√

√

考点三

对数函数性质的综合应用[典例3]

(1)(多选)已知函数f(x)＝lg(x2＋ax－a－1)，给出下列论述，其中正确的是(

)A．当a＝0时，f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．f(x)一定有最小值C．当a＝0时，f(x)的值域为RD．若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是{a|a≥－4}√√

√√2(1)AC

(2)BC

(3)2

[(1)对于A，∵a＝0，∴f(x)＝lg(x2－1)，即x2－1>0，∴x<－1或x>1，∴A正确；对于B，令u(x)＝x2＋ax－a－1，则复合函数y＝f(x)是由y＝lg

u，u＝x2＋ax－a－1复合而成的，∵y＝lg

u在定义域内是单调递增的，而u＝x2＋ax－a－1(u>0)无最小值，∴f(x)没有最小值，∴B错误；

(2)函数f(x)＝log2x＋log2(4－x)＝log2(4x－x2)＝log2[－(x－2)2＋4](0<x<4)，当x＝2时，4x－x2取到最大值4，故此时f(x)＝log2x＋log2(4－x)取到最大值log24＝2，A错误；f(x)＝log2(4x－x2)(0<x<4)可以看作是由函数y＝log2u，u＝－x2＋4x(0<x<4)复合而成，而y＝log2u在(0，4)内单调递增，u＝－x2＋4x(0<x<4)在(0，2)内单调递增，在(2，4)内单调递减，故f(x)在区间(0，2)内单调递增，在(2，4)内单调递减，B正确；因为函数f(4－x)＝log2(4－x)＋log2x＝f(x)，故f(x)的图象关于直线x＝2对称，C正确；因为f(4－x)＋f(x)＝log2(4－x)＋log2x＋f(x)＝2f(x)＝0不恒成立，故f(x)的图象不关于点(2，0)对称，D错误．故选BC．

名师点评：求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．

√

√√√

【教用·备选题】(2026·山东泰安模拟)已知函数f(x)＝lg(x2－ax－5)在(5，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(

)A．(－∞，4)

B．(－∞，4]C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)√

题号13524687910111213课后作业(十四)对数函数√

题号13524687910111213题号21345687910111213

√

3．(2025·黑龙江哈尔滨二模)函数f(x)＝log2(x2－2x)的单调递增区间为(

)A．(2，＋∞) B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，0)题号21345687910111213√A

[由已知得x2－2x>0，解得x<0或x>2，函数的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)，因为y＝log2t为增函数，要求函数f(x)＝log2(x2－2x)的单调递增区间，由同增异减可得即求函数y＝x2－2x在(－∞，0)∪(2，＋∞)上的单调递增区间．由二次函数的性质可得y＝x2－2x在(－∞，0)∪(2，＋∞)上的单调递增区间为(2，＋∞)，故函数f(x)＝log2(x2－2x)的单调递增区间是(2，＋∞)．故选A．]题号213456879101112134．(2026·湖南长沙模拟)已知lga＋lgb＝0(a>0，b>0，且a≠1，b≠1)，则函数f(x)＝a-x与g(x)＝logbx的图象可能是(

)题号21345687910111213√

题号213456879101112135．(2025·天津二模)设a＝log43，b＝log86，c＝log62，则a，b，c的大小关系为(

)A．a<b<c B．b<c<aC．c<b<a D．c<a<b题号21345687910111213√

题号21345687910111213

题号21345687910111213√

题号21345687910111213二、多项选择题7．(2025·湖北孝感三模)已知函数f(x)＝loga|x－1|在区间(－∞，1)上单调递增，则(

)A．0<a<1B．a>1C．f(a＋2022)>f(2023)D．f(a＋2022)<f(2023)题号21345687910111213√√AC

[f(x)＝loga|x－1|的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．设z＝|x－1|，可得函数z＝|x－1|在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，根据复合函数的单调性可得0<a<1，故A正确，B错误；由0<a<1，可得2

022<a＋2

022<2

023，又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，则f(a＋2

022)>f(2

023)，故C正确，D错误．故选AC．]题号21345687910111213

题号21345687910111213√√

题号21345687910111213

题号21345687910111213

题号21345687910111213三、填空题9．(2025·安徽滁州一模)已知函数f(x)＝loga(3x＋4)＋2x(a>0且a≠1)恒过定点(m，n)，则m＋n＝________．题号21345687910111213－3

[令3x＋4＝1，则x＝－1，又f(－1)＝－2，所以f(x)过定点(－1，－2)，即m＝－1，n＝－2，所以m＋n＝－3．]－3

题号21345687910111213

4

题号2134568791011