47　第七章　第47课时　空间点、直线、平面之间的位置关系

第47课时空间点、直线、平面之间的位置关系第七章立体几何与空间向量[考试要求]1．借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．2．了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题．以题引理·激活思维1．(北师大版必修第二册P227习题6－3A组T3改编)下列说法正确的是(

)A．没有公共点的两条直线是异面直线B．两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线C．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面不一定重合D．若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面√C

[对于A，两条平行直线也没有公共点，故错误；对于B，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误；对于C，如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故正确；对于D，由于a不平行于平面α，且a

⊄α，则a与平面α相交，故平面α内有与a相交的直线，故错误．]2．(人教A版必修第二册P128练习T2改编)下列命题正确的是(

)A．空间任意三点确定一个平面B．一个点和一条直线确定一个平面C．两两相交的三条直线确定一个平面D．两两平行的三条直线确定一个或三个平面√D

[不在一条直线上的三个点才能确定一个平面，A错误；只有点在直线外时才能确定一个平面，B错误；当三条直线交于同一点时可能确定三个平面，C错误，D正确．故选D．]3．(人教A版必修第二册P131练习T3改编)下列说法正确的是(

)A．若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥αB．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行C．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行D．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点√D

[对于A，当直线l与平面α相交时，直线l上也有无数个点不在平面α内，故A错误；对于B，l与平面α内的任意一条直线异面或平行，故B错误；对于C，另一条直线也可能在这个平面内，故C错误；对于D，因为l∥α，所以l与平面α没有公共点，所以l与平面α内任意一条直线都没有公共点，故D正确．]4．(北师大版必修第二册P227习题6－3B组T1改编)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为_____________．60°60°

[因为M，N分别为BC和CC1的中点，所以MN∥BC1，又在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC∥A1C1，所以∠A1C1B或其补角为异面直线AC和MN所成的角，又在正方体ABCD-A1B1C1D1中，△A1C1B为正三角形，所以∠A1C1B＝60°，即异面直线AC和MN所成的角为60°．]5．(苏教版必修第二册P175习题13.2(2)T15改编)如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件_____________时，四边形EFGH为菱形；(2)当AC，BD满足条件_____________________时，四边形EFGH为正方形．AC＝BDAC＝BD且AC⊥BD

1．基本事实(1)基本事实1：过_______________的三个点，有且只有一个平面．(2)基本事实2：如果一条直线上的_________在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．(3)基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有___条过该点的公共直线．(4)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线______．不在一条直线上两个点一平行2．三个推论推论1：经过一条直线和_____________一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条______直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条______直线，有且只有一个平面．这条直线外相交平行

提醒：分别在两个不同平面内的两条直线不一定为异面直线，它们的关系可能为平行或相交．

4．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系位置关系符号直线与平面直线在平面内a⊂α直线在平面外直线与平面相交a∩α＝A直线与平面平行a∥α平面与平面两平面平行α∥β两平面相交α∩β＝l

相等或互补

1．判断空间直线的位置关系一般有两种方法：一是构造几何体(如长方体、空间四边形等)模型来判断．二是排除法．特别地，对于异面直线的判定常用到结论：“平面外一点A与平面内一点P的连线和平面内不经过点P的直线是异面直线．”如图所示．

考点一

基本事实的应用[典例1]已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q．求证：(1)D，B，E，F四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；(3)DE，BF，CC1三线交于一点．精研考点·提升素养[证明]

(1)如图所示，连接B1D1．因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，E，F四点共面．(2)连接A1C，设A1，C，C1确定的平面为α，平面DBFE为β．因为Q∈A1C1，所以Q∈α．又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ．又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β．则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．(3)因为EF∥BD且EF<BD，所以DE与BF相交，设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，M∈平面B1BCC1．又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1．所以DE，BF，CC1三线交于一点．名师点评：共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内(或证两平面重合)．(2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．(3)证明线共点的常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．[巩固迁移]1．如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是(

)A．直线AC

B．直线ABC．直线CD

D．直线BC√C

[由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面ABC与平面β的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD．故选C．]考点二

空间两直线位置关系的判定[典例2]

(1)已知三个平面α，β，γ，其中α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，且a∩b＝P，则下列结论一定成立的是(

)A．b，c是异面直线 B．b∩c＝PC．b∥c D．a与c没有公共点√(2)(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则(

)A．直线AM与CC1是相交直线B．直线AM与BN是平行直线C．直线BN与MB1是异面直线D．直线A1M与DD1是异面直线√√(1)B

(2)CD

[(1)∵α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∩b＝P，∴P∈a，P∈b，而a⊂α，b⊂γ，则P∈α，P∈γ，而γ∩α＝c，∴P∈c，可得a∩c＝P，b∩c＝P．故选B．(2)因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以直线AM与CC1是异面直线，故A错误；取DD1的中点E，连接AE(图略)，则BN∥AE，但AE与AM相交，所以AM与BN不平行，故B错误；因为点B1与直线BN都在平面BCC1B1内，点M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故C正确；同理D正确．]名师点评：空间中两直线位置关系的判定方法[巩固迁移]2．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(

)A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交√D

[法一(反证法)：由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交．若l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛盾．故l至少与l1，l2中的一条相交．故选D．法二(模型法)：如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确．]3．(2025·山东济南三模)如图，下列正方体中，M，N，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异面直线的是(

)A

B

C

D√D

[对于A，如图，PQ∥CD∥AB∥MN，M，N，P，Q四点共面，A不符合题意；对于B，如图，MP∥GH∥EF∥NQ，M，N，P，Q四点共面，B不符合题意；对于C，如图，MP∥KL∥NQ，M，N，P，Q四点共面，C不符合题意；对于D，如图，PQ⊂平面MPQ，N∉平面MPQ，M∈平面MPQ，M∉直线PQ，则MN与PQ是异面直线，D符合题意．故选D．]【教用·备选题】若a，b是空间中的两条直线，则“a，b异面”是“a，b没有公共点”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件√A

[空间中的两条直线a，b异面，则a，b没有公共点；反之，空间中的两条直线a，b没有公共点，不一定得到a，b异面，也可能a，b是平行直线，所以“a，b异面”是“a，b没有公共点”的充分不必要条件．故选A．]

√

名师点评：求异面直线所成的角，关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交，或将两条直线同时平移到某个位置，使其相交形成三角形．平移直线的方法有：(1)直接平移；(2)中位线平移；(3)补形平移．

√

√

√

√

3．如图，圆台OO1的上底面半径O1A1＝1，下底面半径OA＝2，母线长AA1＝2，过OA的中点B作OA的垂线交圆O于点C，则异面直线OO1与A1C所成角的大小为_____________．45°

一、单项选择题1．若直线上有两个点在平面外，则(

)A．直线上至少有一个点在平面内B．直线上有无穷多个点在平面内C．直线上所有点都在平面外D．直线上至多有一个点在平面内题号135246879101112课后作业(四十七)空间点、直线、平面之间的位置关系√D

[两点确定一条直线，由于直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，所以直线与平面相交或直线与平面平行，则可知直线上至多有一个点在平面内．故选D．]题号135246879101112题号2134568791011122．(2026·江苏南通模拟)空间中有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，可以作的平面个数为(

)A．42 B．56C．64 D．81√

题号213456879101112√

题号2134568791011124．在空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH相交于点P，那么(

)A．点P必在直线AC上B．点P必在直线BD上C．点P必在平面DBC内D．点P必在平面ABC外题号213456879101112√A

[如图，因为EF⊂平面ABC，而GH⊂平面ADC，且EF和GH相交于点P，所以点P在两平面的交线上，因为AC是两平面的交线，所以点P必在直线AC上．]题号2134568791011125．(2023·上海春季卷)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是A1C1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是(

)A．DD1

B．ACC．AD1

D．B1C题号213456879101112√B

[对于A，当P是A1C1的中点时，BP与DD1是相交直线；对于B，根据异面直线的定义知，BP与AC是异面直线；对于C，当点P与点C1重合时，BP与AD1是平行直线；对于D，当点P与点C1重合时，BP与B1C是相交直线．故选B．]题号2134568791011126．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别为BB1，CC1，A1B1，A1C1的中点，则下列说法错误的是(

)A．E，F，G，H四点共面B．EF∥GHC．EG，FH，AA1三线共点D．∠EGB1＝∠FHC1题号213456879101112√

题号213456879101112二、多项选择题7．已知空间中的平面α，直线l，m，n以及点A，B，C，D，则以下四个命题中，不正确的是(

)A．在空间中，四边形ABCD满足AB＝BC＝CD＝DA，则四边形ABCD是菱形B．若l⊄α，A∈l，则A∉αC．若m⊂α，n⊂α，A∈m，B∈n，A∈l，B∈l，则l⊂αD．若l和m是异面直线，n和l是平行直线，则n和m是异面直线题号213456879101112√√√ABD

[对于A项，正四面体A-BCD的各棱长均相等，四边形ABCD为空间四边形，不是菱形，故A项错误；对于B项，若l⊄α，则l∥α或l与α相交，所以A∉α或A∈α(此时A为l与α的交点)，故B项错误；对于C项，由已知可得，A∈α，B∈α，即直线l上有两个点在平面α内，根据基本事实2可知l⊂α，故C项正确；对于D项，如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1与BC异面(l，m是异面直线)，A1B1∥AB(l∥n)，但AB∩BC＝B(m，n相交)，故D项错误．故选ABD．]题号2134568791011128．(人教A版必修第二册P132习题8.4T9改编)如图是正方体的展开图，则在该正方体中(

)A．AB与CD异面B．CD与GH平行C．EF与GH成60°角D．CD与EF相交题号213456879101112√√AC

[该正方体的直观图如图所示，AB与CD是异面直线，A正确；CD与GH相交，B错误；因为该几何体为正方体，所以EF∥CD，△GHD为正三角形，直线GH与直线GD所成的角为60°，则EF与GH所成的角为60°，C正确，CD与EF平行，D错误