05　第一章　第5课时　一元二次方程、不等式

第5课时一元二次方程、不等式第一章集合、常用逻辑用语、不等式第一章集合、常用逻辑用语、不等式[考试要求]

1．能从实际情境中抽象出一元二次不等式．2．结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式．3．了解简单的分式、绝对值不等式的解法．以题引理·激活思维1．(人教A版必修第一册P53练习T1(1)改编)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(

)A．(－2，1) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C．[－2，1] D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)A

[结合图象易知不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－2，1)．]√

√

3．(苏教版必修第一册P69习题3.3T11(2)改编)若不等式mx2＋2mx－2<0对一切实数x都成立，则实数m的取值范围为(

)A．(－2，0) B．(－2，0]C．(－∞，0) D．(－∞，0]√

－13

1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系项目Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)没有实数根项目Δ>0Δ＝0Δ<0ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集_________________Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集_____________________{x|x<x1，或x>x2}{x|x1<x<x2}⌀⌀

3．绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为{x|x<－a，或x>a}；|x|<a(a>0)的解集为{x|－a<x<a}．记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间．

1．一元二次不等式的解集的端点是二次函数的零点，也是对应一元二次方程的根，体现了函数、方程、不等式三者间的内在联系．2．一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论，注意数形结合在解题中的应用．考点一

三个二次的关系[典例1]

(1)若关于x的不等式|x2＋mx＋n|>0的解集为{x|x≠1，且x≠2}，则(

)A．m＝3，n＝2 B．m＝－3，n＝2C．m＝3，n＝－2 D．m＝－3，n＝－2精研考点·提升素养√

√√√

名师点评：给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数．

√√√

名师点评：对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有：(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．[巩固迁移]1．解关于x的不等式x2＋ax＋1<0(a∈R)．

【教用·备选题】(2025·陕西渭南二模)若关于x的不等式2ax2－4x<ax－2有且只有一个整数解，则实数a的取值范围是(

)A．(1，2]

B．[1，2)C．(0，2) D．(0，2]√

考点三

一元二次不等式恒成立问题[典例3]已知函数f(x)＝ax2－x＋a．(1)不等式f(x)>0的解集为R，求a的取值范围；(2)若不等式f(x)>0对任意的x∈(1，＋∞)恒成立，求a的取值范围．

【深度思考】若∀a∈[－1，3]，f(x)≥2(a－1)x＋2a－3恒成立，如何求实数x的取值范围？

名师点评：恒成立问题求参数的取值范围的解题策略(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的取值范围，谁就是参数．(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．(3)特别注意对二次项系数为0的讨论，因为不等式不一定为一元二次不等式．[巩固迁移]2．(2025·安徽宿州期中)对于任意的x，y∈R，定义运算：x☉y＝x(y＋2)．若不等式x☉(x＋a)＋4>0对任意实数x恒成立，则a的取值范围是(

)A．(－2，6) B．(－6，2)C．(－6，6) D．(－2，2)√B

[由已知得x☉(x＋a)＋4＝x(x＋a＋2)＋4＝x2＋(a＋2)x＋4>0对任意实数x恒成立，所以Δ＝(a＋2)2－16<0，解得－6<a<2．故选B．]3．若不等式x2＋mx＋1>2x＋m对满足|m|<2的所有实数m恒成立，则实数x的取值范围是(

)A．－2<x<2 B．x≥3C．x≤1 D．x≤－1或x≥3√

(－∞，3]

【深度思考】本题中，若不等式f(x)>2对任意m∈(0，2)恒成立，如何求x的取值范围？

一、单项选择题1．(人教A版必修第一册P55习题2.3T5改编)已知集合A＝{x||x|>1}，B＝{x|x2－2x<0}，则A∪B＝(

)A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．(1，2)C．(－∞，－1)∪(0，＋∞) D．(－1，1)题号13524687910111213课后作业(五)一元二次方程、不等式√C

[A＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)，B＝(0，2)，则A∪B＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)．故选C．]题号213456879101112132．(2026·广东清远模拟)若关于x的不等式ax2－ax－1≥0的解集为空集，则a的取值范围是(

)A．(－4，0) B．[－4，0]C．(－4，0] D．[－4，0)√

题号21345687910111213

题号21345687910111213√

题号213456879101112134．(2026·天津模拟)若“－1<x<1”是“(x－a)(x－3－a)<0”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(

)A．{a|a≤1，或a≥2}B．{a|－2<a<1}C．{a|－2≤a≤－1}D．{a|a≤－2，或a≥－1}题号21345687910111213√

题号213456879101112135．(2025·北京大兴期中)若不等式x2－(a＋2)x＋2a≤0对任意的x∈[－1，1]恒成立，则a的取值范围是(

)A．[－1，1] B．[－1，＋∞)C．[－1，2] D．(－∞，－1]题号21345687910111213√

题号21345687910111213

题号213456879101112136．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分)，则矩形花园的其中一边的长x(单位：m)的取值范围是(

)A．[15，20] B．[12，25]C．[10，30] D．[20，30]题号21345687910111213√

题号21345687910111213二、多项选择题7．设集合A＝{x|x2－x－6<0}，B＝{x|x2＋bx＋c≤0}，若A∩B＝(－2，2]，则(

)A．b≥0 B．b<0C．c≤－4 D．2b＋c＝－4题号21345687910111213√√√ACD

[由题可得集合A＝{x|－2<x<3}，且A∩B＝(－2，2]，所以方程x2＋bx＋c＝0的两根x1，x2满足x1≤－2，x2＝2．由根与系数的关系可知，－b＝x1＋x2＝2＋x1≤2＋(－2)＝0，即b≥0，选项A正确，选项B错误；c＝x1x2＝2x1≤2×(－2)＝－4，选项C正确；从而22＋2b＋c＝0，即2b＋c＝－4，选项D正确．故选ACD．]题号21345687910111213

题号21345687910111213√√√

题号21345687910111213三、填空题9．已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，集合B＝{x|x2－x－a<0}，写出满足A∩B＝{0，1}的一个实数a的值______________________________．题号213456879101112131(答案不唯一，满足0<a≤2即可)

[因为A∩B＝{0，1}，所以{0，1}⊆B，设f(x)＝x2－x－a，则f(x)<0的整数解为0，1，则f(0)<0，f(1)<0，f(－1)≥0且f(2)≥0，解得0<a≤2．故a可取1(答案不唯一，满足0<a≤2即可)．]1(答案不唯一，满足0<a≤2即可)10．一般地，把b－a称为区间(a，b)的“长度”．已知关于x的不等式x2－kx＋2k<0有实数解，且解集区间长度不超过3个单位长度，则实数k的取值范围为______________________．题号21345687910111213[－1，0)∪(8，9]

题号21345687910111213四、解答题11．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6．(1)解关于a的不等式f(1)>0；(2)若不等式f(x)>b的解集为(－1，3)，求实数a，b的值．题号21345687910111213

题号2134568791011121312．已知函数f(x)＝ax2＋(1－a)x＋a－2．(1)若不等式f(x)≥－2对于任意实数x恒成立，求实数a的取值范围；(2)若a<0，解关于x的不等式f(x)<a－1．题号21345687910111213

题号2134568791011121313．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝－4有且仅有一个公共点，且不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为[－1，3]．(1)求此二次函数的解析式；(2)若关于x的不等式ax2＋bx＋c<(m－1)x－m－3的解集中恰有一个正整数，求实数m的取值范围；(3)∀m∈[0，2]，不等式ax2＋bx＋c<(m－2)x恒成立，求实数x的取值范围．题号21345687910111213[解]

(1)由不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为[－1，3]，得a>0且－1，3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，因此ax2＋bx＋c＝a(x＋1)·(x－3)，所以函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，其对称轴为x＝1．而该图象与直线y＝－4有且仅有一个公共点，则y＝a(x＋1)(x－3)图象的顶点为(1，－4)，于是－4＝－4a，解得a＝1，所以此二次函数的解析式为y＝(x＋1)(x－3)，即y＝x2－2x－3．题号21345687910111213(2)由(1)知不等式ax2＋bx＋c<(m－1)x－m－3为x2－2x－3<(m－1)x－m－3，整理得x2－(m＋1)x＋m<0，即(x－1)(x－m)<0．依题意，不等式(x－1)(x－m)<0的解集中恰有一个正整数，则m≠1．当m<1时，解得m<x<1，即不等式的解集为(m，1)，此时解集中不含正整数，故舍去．当m>1时，解得1<x<m，不等式的解集为(1，m)，要使解集中恰有一个正整数，则2<m≤3，所以实数m的取值范围是(2，3]．题号21345687910111213

题号21345687910111213一、单项选择题1．已知集合U＝{x∈N|－1<x<5}，A＝{0，1，3}，B＝{1，4}，则(∁UA)∪B＝(

)A．{2，3} B．{1，2，4}C．{0，1，2} D．{0，1，2，4}B

[由题得U＝{0，1，2，3，4}，因为A＝{0，1，3}，所以∁UA＝{2，4}．又B＝{1，4}，所以(∁UA)∪B＝{1，2，4}．故选B．]题号1352468791011121314阶段评估(一)

(第1课时~第5课时)√题号21345687910111213142．命题“∃x>0，x2－3x－10>0”的否定是(

)A．∀x>0，x2－3x－10>0B．∃x>0，x2－3x－10≤0C．∀x≤0，x2－3x－10≤0D．∀x>0，x2－3x－10≤0√D

[“∃x>0，x2－3x－10>0”的否定是“∀x>0，x2－3x－10≤0”．故选D．]3．(2025·辽宁大连三模)若全集U＝R，A＝{x|x<1}，B＝{x|x>－1}，则(

)A．A⊆B B．∁UA⊆BC．B⊆∁UA D．B∩A＝⌀题号2134568791011121314√B

[因为A＝{x|x<1}，B＝{x|x>－1}，所以A∩B＝{x|－1<x<1}，故AD错误；所以∁UA＝{x|x≥1}，所以∁UA⊆B，故B正确，C错误．故选B．]4．(2025·天津耀华中学月考)设x∈R，则“x2＋x－2>0”是“|x－2|<1”的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件题号2134568791011121314√B

[由x2＋x－2>0，得x<－2或x>1；由|x－2|<1，得－1<x－2<1，即1<x<3，所以“x2＋x－2>0”是“|x－2|<1”的必要不充分条件．故选B．]5．(2026·广东深圳模拟)已知a>0，b>0，a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为(

)A．1 B．2C．3 D．4题号2134568791011121314√

题号21345687910111213146．“关于x的不等式mx2＋mx＋1≥0的解集为R”的一个必要不充分条件是(

)A．0≤m≤2 B．2≤m≤5C．－1≤m≤4 D．0≤m≤4题号2134568791011121314√

题号2134568791011121314

题号2134568791011121314√√

题号2134568791011121314

题号2134568791011121314√√√

题号2134568791011121314

题号21345687910111213147

10．若－1<a＋b<3，2<a－b<4，t＝2a＋b，则a的取值范围为________；t的取值范围为_____________．题号2134568791011121314

题号2134568791011121314

题号2134568791011121314

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题号21345