54　第八章　第54课时　直线的方程

第八章解析几何

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2．(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP．若|FQ|＝6，则C的准线方程为_____________．难度：0.85命题点：根据抛物线的方程求焦点或准线，根据抛物线上的点求标准方程．

1．落实核心概念教材经典1．直线3x＋2y－1＝0的一个方向向量是(

)A．(2，－3) B．(2，3)C．(－3，2) D．(3，2)√

锚点：方向向量的概念．教材经典2．已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到点A(0，2)的距离减去到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．

锚点：轨迹与方程．教材经典3．已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于m(m≠0)，求顶点C的轨迹．

当m＝－1时，点C的轨迹为圆心为(0，0)，半径为5的圆，除去(－5，0)，(5，0)两点；当－1<m<0时，点C的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，除去(－5，0)，(5，0)两点．锚点：圆锥曲线的定义与方程．

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锚点：椭圆、抛物线的几何性质与标准方程．

锚点：双曲线的几何性质与标准方程．

锚点：椭圆的几何性质与标准方程．3．培养思维品质教材经典7．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0．(1)求证：直线l恒过定点；(2)直线l被圆C截得的弦何时最长？何时最短？并求截得的弦长最短时m的值以及最短弦长．

锚点：恒过定点的直线系、直线与圆的几何性质．

锚点：直线与椭圆的位置关系、直观想象与代数运算．

锚点：直线与双曲线的位置关系、存在探索性问题．第54课时直线的方程[考试要求]1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2．根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)．以题引理·激活思维

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3．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2

T10改编)如果AC<0，BC>0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过(

)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限√

4．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2

T2改编)设x，y为实数，已知直线的斜率k＝2，且A(3，5)，B(x，7)，C(－1，y)是这条直线上的三个点，则x＋y＝_____________．

15．(北师大版选择性必修第一册P13练习T3(2)改编)经过点P(1，9)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_______________________．

9x－y＝0或x＋y－10＝0

x轴正向向上0°≤α<180°3．直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角α的_________叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝__________(α≠90°)．(2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝_____．正切值tanα

4．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式_______________不含直线x＝x0斜截式____________不含垂直于x轴的直线两点式______________(x1≠x2，y1≠y2)不含直线x＝x1和直线y＝y1y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b

名称方程适用范围截距式_____________不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式________________________________平面直角坐标系内的直线都适用

Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)[二级结论]1．特殊位置的直线方程(1)x轴：y＝0；(2)y轴：x＝0；(3)经过点(a，b)且平行于x轴的直线方程为y＝b；(4)经过点(a，b)且平行于y轴的直线方程为x＝a；(5)过原点且斜率为k的直线方程为y＝kx．

1．直线的斜率k和倾斜角α之间的函数关系αkk≥0不存在k<02．截距可正，可负，也可以是零，而距离是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．3．当直线的斜率存在时，可设直线的方程为y＝kx＋b；当直线的斜率不为0时，可设直线的方程为x＝ty＋b．

精研考点·提升素养√

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名师点评：斜率取值范围的两种求法数形结合法作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定函数图象法根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可

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√√√

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2．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为_____________，_____________．

－3

考点二

直线方程的求法[典例2]已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程；(3)BC边的垂直平分线DE的方程．

名师点评：求直线方程的两种方法[巩固迁移]3．经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(－3，2)的直线方程为__________________．

2x＋3y－5＝0

2x＋3y＝0或x＋y－1＝0考点三

直线方程的综合应用[典例3]已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．

【深度思考1】在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．

【深度思考2】本例中，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．

名师点评：处理直线方程综合应用的两大策略(1)求解与直线方程有关的最值问题时，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点(或平行)的直线系，即能够看出“动中有定”．提醒：涉及直线与坐标轴截距问题时一般设截距式．

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6．若直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1，1)，则该直线在x轴与y轴上的截距之和的最小值为_____________．

4【教用·备选题】1．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4．当0<a<2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝_____________．

2．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．

题号135246879101112131415课后作业(五十四)直线的方程√1617C

[因为直线mx－y＋1＝0的一个方向向量为(1，2)，可得直线的斜率为2，解得m＝2．故选C．]题号2134568791011121314152．(2026·山西临汾模拟)如图所示，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则下列结论正确的是(

)A．k1>k2>k3B．k2>k3>k1C．k2>k1>k3D．k3>k2>k1√1617B

[直线l2与l3的倾斜角都为锐角，且l2的倾斜角大于l3的倾斜角，则k2>k3>0，又k1<0，故k2>k3>k1．故选B．]

题号213456879101112131415√1617

题号21345687910111213141516174．已知直线l的方程为kx－y＋2k－2＝0(k∈R)，若直线l不经过第二象限，则k的取值范围为(

)A．k≤1 B．k≥0C．0≤k≤1 D．k≥1题号213456879101112131415√1617

题号2134568791011121314151617

题号21345687910111213141516175．(2025·湖北武汉一模)已知直线方程为cos300°x＋sin300°y＝3，则直线的倾斜角为(

)A．60° B．60°或300°C．30° D．30°或330°题号213456879101112131415√1617

6．已知点A(2，0)，B(0，4)，若过P(－6，－8)的直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围为(

)A．k≤1 B．k≥2C．k≥2或k≤1 D．1≤k≤2题号213456879101112131415√1617

7．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是(

)A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0C．2x－y－4＝0 D．2x＋y－7＝0题号213456879101112131415√1617A

[易知A(－1，0)，P(2，3)．∵|PA|＝|PB|，∴点P在AB的垂直平分线，即x＝2上，∴B(5，0)．∴kPB＝－1．∴直线PB的方程为y－0＝－(x－5)，即x＋y－5＝0．故选A．]题号2134568791011121314151617

题号213456879101112131415√1617

题号2134568791011121314151617

题号213456879101112131415√1617

题号2134568791011121314151617

题号213456879101112131415√1617√√

题号213456879101112131415161711．已知直线l1：ax－y－b＝0，l2：bx－y＋a＝0，当a，b满足一定的条件时，它们的图形可以是(

)题号2134568791011121314151617A

B

C

D√√AC

[直线l1：ax－y－b＝0可化为y＝ax－b，斜率为a，在y轴上的截距为－b．直线l2：bx－y＋a＝0可化为y＝bx＋a，斜率为b，在y轴上的截距为a．在选项A中，a＝b<0，直线l1与l2平行，直线l1在y轴上的截距－b>0，直线l2在y轴上的截距a<0，且两截距互为相反数，故A正确；在选项B中，由直线l2在y轴上的截距可得a>0．与直线l1的斜率a<0矛盾，故B不正确；在选项C中，直线l2的斜率b<0，直线l1在y轴上的截距－b>0．直线l2在y轴上的截距a>0，直线l1的斜率a>0，故C正确；在选项D中，两直线的斜率a>0，b<0，与直线l1在y轴上的截距－b<0，b>0相矛盾，故D不正确．故选AC．]题号213456879101112131415161712．若直线过点A(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程为(

)A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0题号213456879101112131415√1617√√

题号2134568791011121314151617三、填空题13．若直线沿x轴向右平移2个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则直线l的斜率为_____________．题号2134