67　第九章　第67课时　随机事件与概率

第67课时随机事件与概率第九章计数原理、概率、随机变量及其分布[考试要求]1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．2．理解事件间的关系与运算．3．掌握古典概型及其计算公式，能计算古典概型中简单随机事件的概率．以题引理·激活思维1．(人教A版必修第二册P235练习T1改编)一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的对立事件是(

)A．至少有一次中靶 B．两次都中靶C．只有一次中靶 D．两次都不中靶√B

[“至多有一次中靶”的对立事件是“两次都中靶”．]2．(北师大版必修第一册P211习题7－3A组T1)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石(古代容量单位)，验得米内夹谷(假设1粒米与1粒谷的体积相等)，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为(

)A．134石 B．169石C．338石 D．1365石

√3．(人教A版必修第二册P247习题10.1T13改编)某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2，0.3，0.1，则该射手在一次射击中不够8环的概率为(

)A．0.9 B．0.3C．0.6 D．0.4√

4．(北师大版必修第一册P189例3改编)先后三次抛掷同一枚硬币，若正面向上记为1，若反面向上记为0，则这个试验的样本空间中有_______个样本点，有且只有一次正面向上的概率为__________．8

5．(人教A版必修第二册P245练习T1改编)已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.2．(1)如果B⊆A，则P(A∪B)＝___________，P(AB)＝___________；(2)如果A，B互斥，则P(A∪B)＝_________，P(AB)＝_________．0.40.20.60(1)0.4

0.2

(2)0.6

0

[(1)因为B⊆A，所以P(A∪B)＝P(A)＝0.4，P(AB)＝P(B)＝0.2．(2)如果A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.2＝0.6，P(AB)＝0．]1．样本空间与样本点(1)样本点：随机试验E的每个可能的____________称为样本点，常用ω表示．(2)样本空间：_______________的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示样本空间．如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．基本结果全体样本点2．随机事件、必然事件与不可能事件(1)随机事件：_______________________称为随机事件，简称事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生．(2)随机事件的特殊情形：必然事件Ω(含有全部样本点)、不可能事件⌀(不含任何样本点)、基本事件(只包含一个样本点)．样本空间Ω的子集3．两个事件的关系和运算

含义符号表示包含关系A发生导致B发生____相等关系B⊇A且A⊇B______并事件(和事件)A与B至少一个发生_____________交事件(积事件)A与B同时发生_____________互斥(互不相容)A与B不能同时发生________互为对立A与B有且仅有一个发生_______，_________A⊆BA＝BA∪B或A＋BA∩B或ABA∩B＝⌀A∩B＝⌀A∪B＝Ω提醒：对立事件是互斥事件，而互斥事件未必是对立事件．

有限个相等6．概率的基本性质性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0．性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(⌀)＝0．性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝_____________．P(A)＋P(B)性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝____________．性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为⌀⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1．性质6：(一般概率加法公式)设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝________________________________．1－P(B)P(A)＋P(B)－P(A∩B)7．频率与概率(1)频率的稳定性一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐_________事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．(2)频率稳定性的作用可以用频率fn(A)估计概率P(A)．(3)频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．稳定于1．求样本空间中样本点个数的方法(1)列举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题．(2)树状图法：适用于需要分步完成的试验结果．树状图在解决求样本点总数和事件A包含的样本点个数的问题时直观、方便，但画树状图时要注意按照一定的顺序确定分枝，避免造成遗漏或重复．(3)排列、组合法：在求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列、组合的知识．2．判断事件关系的三种常用方法：定义法、列举观察法及Venn图法．考点一

随机事件的关系与运算[典例1]

(2026·衡水中学开学考试)不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为(

)①2张卡片都不是红色；②2张卡片恰有1张是红色；③2张卡片至少有1张是红色；④2张卡片都为绿色．A．1

B．2

C．3

D．4精研考点·提升素养√C

[6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有：“2张都为红色”、“2张都为绿色”、“2张都为蓝色”、“1张为红色1张为绿色”、“1张为红色1张为蓝色”、“1张为绿色1张为蓝色”．给出的四个事件中与“2张都为红色”互斥而非对立的事件有：“2张都不是红色”，“2张恰有一张红色”，“2张都为绿色”．而事件“2张至少一张为红色”包含事件“2张都为红色”，二者并非互斥．∴与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件为①②④，一共3个．故选C．]名师点评：互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件．[巩固迁移]1．(多选)某家商场举行抽奖活动，小聪、小明两人共同前去抽奖，设事件A＝“两人都中奖”，B＝“两人都没中奖”，C＝“恰有一人中奖”，D＝“至少一人没中奖”．下列关系正确的是(

)A．B∪C＝D B．A∩C≠⌀C．C⊆D D．B∩D＝B√√√ACD

[对于A，事件B∪C为“至多一人中奖”，即“至少一人没中奖”，所以B∪C＝D，故A正确；对于B，事件A∩C表示两人都中奖且恰有一人中奖，没有这样的事件，所以A∩C＝⌀，故B错误；对于C，“至少一人没中奖”包括“恰有一人中奖”和“两人都没中奖”两种情况，所以C⊆D，故C正确；对于D，由C选项可知B⊆D，所以B∩D＝B，故D正确．]考点二

随机事件的频率与概率[典例2]如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟)10~2020~3030~4040~5050~60选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．

所用时间(分钟)10~2020~3030~4040~5050~60L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，∵P(A1)>P(A2)，∴甲应选择L1．同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，∵P(B1)<P(B2)，∴乙应选择L2．名师点评：互斥事件的概率加法公式的适用条件是事件必须是互斥事件．重视利用对立事件的概率和等于1，用间接法求概率，即“正难则反”的思想，常用此方法求“至少”“至多”型事件的概率．

√√√

【教用·备选题】某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如表所示．一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数/人x3025y10结算时间/(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%．(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)估计一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．

√

√

(2)画出树状图：

名师点评：利用公式法求解古典概型问题的步骤

√(2)(2025·八省联考)有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8．现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为_____________．

乙甲ABCDEFA(A，A)(A，B)(A，C)(A，D)(A，E)(A，F)B(B，A)(B，B)(B，C)(B，D)(B，E)(B，F)C(C，A)(C，B)(C，C)(C，D)(C，E)(C，F)D(D，A)(D，B)(D，C)(D，D)(D，E)(D，F)E(E，A)(E，B)(E，C)(E，D)(E，E)(E，F)F(F，A)(F，B)(F，C)(F，D)(F，E)(F，F)

√

一、单项选择题1．从6个男生、3个女生中任意选派4人，则下列事件中是必然事件的是(

)A．3个都是男生 B．至少有1个男生C．3个都是女生 D．至少有1个女生题号1352468791011121314课后作业(六十七)随机事件与概率√B

[从6个男生、3个女生中任意选派4人，由于女生只有3名，故至少有1个男生是必然事件．]题号2134568791011121314

√

题号2134568791011121314√

题号21345687910111213144．(2026·浙江杭州模拟)根据以往考试统计，某学生数学考试不及格的概率为0.2，英语考试不及格的概率为0.3，而他数学或英语考试至少有一门不及格的概率为0.35，则他数学和英语两门都不及格的概率为(

)A．0.1 B．0.15C．0.06 D．0.3题号2134568791011121314√B

[设“数学考试不及格”为事件A，“英语考试不及格”为事件B，已知P(A)＝0.2，P(B)＝0.3，P(A∪B)＝0.35，根据概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)，则0.35＝0.2＋0.3－P(A∩B)，故P(A∩B)＝0.15，因此，他数学和英语两门都不及格的概率为0.15．故选B．]题号2134568791011121314

题号2134568791011121314√

题号2134568791011121314

题号2134568791011121314√

题号2134568791011121314√

题号2134568791011121314

题号2134568791011121314√

题号2134568791011121314二、多项选择题9．某学校为了丰富同学们的课外活动，为同学们举办了四种科普活动：科技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画．记事件A：只参加科技游艺活动；事件B：至少参加两种科普活动；事件C：只参加一种科普活动；事件D：一种科普活动都不参加；事件E：至多参加一种科普活动，则下列说法正确的是(

)A．A与D是互斥事件 B．B与E是对立事件C．E＝C∪D D．A＝C∩E题号2134568791011121314√√√ABC

[根据题意，依次分析选项：对于A，事件A与事件D不会同时发生，A与D是互斥事件，A正确；对于B，事件B：至少参加两种科普活动，其对立事件为至多参加一种科普活动，B正确；对于C，事件C：只参加一种科普活动；事件D：一种科普活动都不参加；事件E：至多参加一种科普活动，E＝C∪D，C正确；对于D，C∩E＝C，D错误．故选ABC．]题号213456879101112131410．小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间(单位：分钟)随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如表所示：题号2134568791011121314所需时间30405060线路一0.50.20.20.1线路二0.30.50.10.1则下列说法正确的是(

)A．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件B．线路一所需的平均时间比线路二少C．如果要求用不超过40分钟的时间从家赶到公司，小张应该走线路一D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04题号2134568791011121314√√BD

[“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，所以A错误；线路一所需的平均时间为30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝39(分钟)，线路二所需的平均时间为30×0.3＋40×0.5＋50×0.1＋60×0.1＝40(分钟)，所以线路一所需的平均时间比线路二少，所以B正确；线路一所需时间不超过40分钟的概率为0.7，线路二所需时间不超过40分钟的概率为0.8，小张应该选线路二，所以C错误；所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为(50，60)，(60，50)和(60，60)三种情况，概率为0.2×0.1＋0.1×0.1＋0.1×0.1＝0.04，所以D正确．]题号2134568791011121314三、填空题11．(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为_____________．题号2134568791011121314

12．(2026·福建泉州模拟)如图，有一个质地均匀的正八面体，八个面分别标有数字1到8．将该八面体连续抛掷三次，按顺序记录它与地面接触的面上的数字，则这三个数恰好构成等差数列的概率为_____________．题号2134568791011121314

题号2134568791011121314四、解答题13．某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如表所示：题号2134568791011121314上年度出险次数01234≥5保费/元0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如表所示的统计表：题号2134568791011121314出险次数01234≥5频数605030302010(1)记A为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；(2)记B为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160