08　第二章　第8课时　函数的奇偶性、周期性

第8课时函数的奇偶性、周期性第二章函数的概念与性质[考试要求]

1．了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义．2．会依据函数的性质进行简单的应用．

以题引理·激活思维√√

2．(苏教版必修第一册P134本章测试T8改编)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若f(x)在区间(－∞，0)上单调递增，则下列关系式中成立的是(

)A．f(－1)<f(－3) B．f(1)<f(3)C．f(－1)<f(3) D．f(－1)>f(3)√D

[因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)的图象关于y轴对称．又f(x)在区间(－∞，0)上单调递增，所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，即f(x)在对称轴处取最大值．所以自变量的值离对称轴越近，其函数值越大，因为|－1|＝|1|<|－3|＝|3|，所以f(－1)＝f(1)>f(3)＝f(－3)．故选D．]3．(人教A版必修第一册P203练习T4改编)若f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[0，2)时，f(x)＝2-x，则f(2027)＝________．

4．(人教A版必修第一册P85练习T1改编)设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为___________________．(－2，0)∪(2，5](－2，0)∪(2，5]

[由题图可知，当0<x<2时，f(x)>0；当2<x≤5时，f(x)<0，又f(x)是奇函数，∴当－2<x<0时，f(x)<0，当－5≤x<－2时，f(x)>0．综上，f(x)<0的解集为(－2，0)∪(2，5]．]5．(湘教版必修第一册P86习题3.2T6改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋a，则a＝________；当x<0时，f(x)＝____________．－1－2-x＋1

[∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，即20＋a＝0，解得a＝－1，故f(x)＝2x－1(x≥0)．设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝2-x－1，又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝2-x－1，∴f(x)＝－2-x＋1．]－1－2-x＋11．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且______________，那么函数f(x)就叫做偶函数关于____对称f(－x)＝f(x)y轴奇偶性定义图象特点奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且________________，那么函数f(x)就叫做奇函数关于____对称f(－x)＝－f(x)原点[二级结论](1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有意义，则一定有f(0)＝0．如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个关于原点对称的区间上单调性相同；偶函数在两个关于原点对称的区间上单调性相反．

2．周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且________________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个____的正数，那么这个________就叫做f(x)的最小正周期．f(x＋T)＝f(x)最小最小正数

1．判断函数的奇偶性的方法：定义法、图象法和性质法(在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇)．2．复合函数y＝f(g(x))的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇．

精研考点·提升素养

(3)函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)2＋x＝x2＋x＝f(x)；当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝f(x)．综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝f(x)成立，所以函数f(x)为偶函数．

√√

2．已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2，则函数f(x)＋2为________．(填“奇函数”“偶函数”或“既不是奇函数又不是偶函数”)奇函数[由题意得函数f(x)的定义域为R，定义域关于原点对称，令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)＋2，故f(0)＝－2．令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＋2，故f(x)＋2＝－f(－x)－2＝－[f(－x)＋2]．故f(x)＋2为奇函数．]奇函数

√

√√√

√(2)(2025·浙江杭州二模)设函数y＝f(x)－x2是奇函数．若函数g(x)＝f(x)＋5，f(4)＝9，则g(－4)＝(

)A．27 B．28C．29 D．30(3)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，则f(x)在R上的解析式为_____________________________．√

(2)由函数y＝f(x)－x2是奇函数可知f(x)－x2＋f(－x)－(－x)2＝0，因此可得f(x)＋f(－x)＝2x2．又g(x)＝f(x)＋5，所以g(4)＝f(4)＋5，g(－4)＝f(－4)＋5，两式相加可得g(4)＋g(－4)＝f(4)＋5＋f(－4)＋5＝2×42＋10＝42，又g(4)＝f(4)＋5＝14，因此g(－4)＝42－14＝28．故选B．

√(2)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(

)A．[－1，1]∪[3，＋∞)B．[－3，－1]∪[0，1]C．[－1，0]∪[1，＋∞)D．[－1，0]∪[1，3]√

(2)因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)＝0．又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，画出函数f(x)的大致图象如图1所示，则函数f(x－1)的大致图象如图2所示．当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0．当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，得1≤x≤3．故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3]．故选D．]名师点评：(1)选择、填空题中，已知奇偶性求参数值，可采用特值法，如f(－1)＝－f(1)，f(－1)＝f(1)．(2)已知f(x)＝奇函数＋M，x∈[－a，a]，则①f(－x)＋f(x)＝2M；②f(x)max＋f(x)min＝2M．(3)解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)．[巩固迁移]3．(2025·广东广州二模)若函数f(x)＝loga|x－m|(a>0，且a≠1)是偶函数，且f(－2)＝2，则a＝________．

4．(2025·广西河池二模)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(a－1)>f(2)，则a的取值范围是______________________．(－∞，－1)∪(3，＋∞)

[由于f(x)是偶函数，则f(－x)＝f(x)．因此，不等式f(a－1)>f(2)可以转化为f(|a－1|)>f(2)．函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，所以|a－1|>2，解得a<－1或a>3．则a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．](－∞，－1)∪(3，＋∞)

4

5考点三

函数的周期性[典例4]

(1)(2026·浙江温州模拟)已知函数f(x)满足：∀x∈R，f(x)·f(x＋4)＝2，且f(1)＝2，则f(29)＝(

)A．1 B．2C．3 D．4(2)(2026·福建福州模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，∀x∈R，恒有f(x)＋f(x＋2)＝0，且当x∈(0，1]时，f(x)＝1＋2x，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2024)＋f(2025)＋f(2026)＝________．√3

(2)因为f(x)＋f(x＋2)＝0，则f(x＋2)＋f(x＋4)＝0，可得f(x)＝f(x＋4)，可知4为函数f(x)的周期，且f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(3)＋f(2)＋f(4)＝0，又因为当x∈(0，1]时，f(x)＝1＋2x，则f(1)＝3，因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0．又f(x)＋f(x＋2)＝0，令x＝0，则f(2)＝－f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2

024)＋f(2

025)＋f(2

026)＝0×506＋f(1)＋f(2)＝3．]名师点评：利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．[巩固迁移]6．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2．(1)f(x)的最小正周期是________；(2)当x∈[2，4]时，f(x)＝________________；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2026)＝________．(1)4

(2)x2－6x＋8

(3)1

[(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数，且f(x)的最小正周期是4．4x2－6x＋81(2)当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2．又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2．∴f(x)＝x2＋2x．又当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8．即当x∈[2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8．(3)∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1，且f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2

020)＋f(2

021)＋f(2

022)＋f(2

023)＝0．∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2

026)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1．]

√

D

[依题意，定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)－2，所以f(x＋1)＋2(x＋1)＝f(x)＋2x，所以y＝f(x)＋2x是周期为1的周期函数．故选D．]√3．已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(3－x)＝f(x)，则f(2025)＝________．0

[用－x替代x，得到f(x＋3)＝f(－x)＝－f(x)，所以T＝6，所以f(2

025)＝f(337×6＋3)＝f(3)．因为f(3－x)＝f(x)，所以f(3)＝f(0)＝0．所以f(2

025)＝0．]0一、单项选择题1．已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，若f(1)＝2，则f(27)＝(

)A．2 B．0C．－2 D．－4C

[因为函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，所以f(x)为奇函数，所以f(27)＝f(7×4－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－2．故选C．]题号135246879101112131415课后作业(八)函数的奇偶性、周期性√16题号2134568791011121314152．(2025·吉林长春二模)已知函数f(x)＝(x＋a－2)(x2＋a－1)为奇函数，则a的值是(

)A．3 B．1或3C．2 D．1或2√16C

[因为f(x)＝(x＋a－2)(x2＋a－1)为奇函数，所以f(0)＝(a－2)(a－1)＝0，解得a＝1或a＝2．当a＝1时，f(x)＝x2(x－1)，f(－x)＝x2(－x－1)≠－f(x)，故a＝1不合题意，舍去；当a＝2时，f(x)＝x(x2＋1)，f(－x)＝－x(x2＋1)＝－f(x)，故a＝2符合题意．故选C．]题号21345687910111213141516

题号213456879101112131415√

16

题号213456879101112131415√

16

题号213456879101112131415165．已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是(

)A．f(－1)<f(1)<f(2)B．f(1)<f(2)<f(－1)C．f(2)<f(－1)<f(1)D．f(－1)<f(2)<f(1)题号213456879101112131415√16D

[因为f(x＋1)是偶函数，所以其图象的对称轴为直线x＝0，所以f(x)图象的对称轴为直线x＝1．又二次函数f(x)＝－x2＋bx＋c图象的开口向下，根据自变量与对称轴的距离可得f(－1)<f(2)<f(1)．故选D．]题号213456879101112131415166．(2025·广东广州三模)已知奇函数f(x)和偶函数g(x)的定义域均为R，且满足g(x)＝f(x)＋e-x，则[f(x)]2＋[g(x)]2＝(

)A．1 B．－1C．f(2x) D．g(2x)题号213456879101112131415√16

题号213456879101112131415167．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x，y，都有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)＋a，则a＝(

)A．2 B．1C．0 D．－1题号213456879101112131415√C

[令y＝－x，则f(x)＋f(－x)＝f(0)＋a，因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝0，f(0)＝0，则a＝0．故选C．]16

题号213456879101112131415√16

题号21345687910111213141516二、多项选择题9．(2025·青海海东三模)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，f(1)＝π，则(

)A．f(11)＝πB．f(8)＝πC．f(99)＋f(88)＝0D．2为f(x)的一个周期题号213456879101112131415√16√√ACD

[对于D，由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，则2为f(x)的一个周期，D正确；对于A，f(11)＝f(1)＝π，A正确；对于B，f(8)＝f(0)＝－f(1)＝－π，B错误；对于C，f(99)＋f(88)＝f(1)＋f(0)＝0，C正确．故选ACD．]题号21345687910111213141516

题号213456879101112131415√16√√ABD

[函数f(x)，g(x)，h(x)的定义域都为R，对于A，因为f((－x)2)＝f(x2)，所以f(x2)是偶函数，故A正确；对于B，因为f(x)为奇函数，所以|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，则|f(x)|是偶函数，故B正确；对于C，因为g(x)为偶函数，所以g(f(－x))＝g(－f(x))＝g(f(x))，即g(f(x))是偶函数，故C错误；对于D，因为h(|－x|)＝h(|x|)，所以h(|x|)为偶函数，又因为f(x)为奇函数，则f(x)h(|x|)是奇函数，故D正确．故选ABD．]题号21345687910111213141516

题号213456879101112131415√16√√

题号21345687910111213141516三、填空题12．(2025·苏锡常镇一模)同时满足以下三个条件的函数f(x)＝____________________．①f(－x)＋f(x)＝0，②f(x＋π)＝f(x)，③f(x)不是常数函数．题号213456879101112131415tanx(答案不唯一)16tanx(答案不唯一)

[条件①f(－x)＋f(x)＝0，函数f(x)为奇函数；条件②f(x＋π)＝f(x)，函数f(x)的周期为π，可考虑三角函数，函数解析式可以为f(x)＝tan

x(答案不唯一)．]

题号21345687910111213141516

－314．(2025·黑龙江大庆三模)已知定义域为R的函数f(x)满足f(x＋1)＋f(x－1)＝3，且f(1)＝－1，则f(2024)＋f(2025)＋f(202