18　第三章　第18课时　导数的概念及运算

第三章一元函数的导数及其应用第三章一元函数的导数及其应用第三章一元函数的导数及其应用1．(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则(

)A．f(x)有两个极值点B．f(x)有三个零点C．点(0，1)是曲线y＝f(x)的对称中心D．直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线难度：0.65命题点：求三次函数的极值、零点、对称中心、求在曲线上一点处的切线方程．√√

令h(x)＝x3－x，该函数的定义域为R，h(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－h(x)，则h(x)是奇函数，点(0，0)是曲线h(x)的对称中心，将h(x)的图象向上平移一个单位长度得到f(x)的图象，所以点(0，1)是曲线y＝f(x)的对称中心，故C正确；令f'(x)＝3x2－1＝2，可得x＝±1，又f(1)＝f(－1)＝1，当切点为(1，1)时，切线方程为y＝2x－1，当切点为(－1，1)时，切线方程为y＝2x＋3，故D错误．故选AC．]第三章一元函数的导数及其应用2．(2025·全国二卷)若x＝2是函数f(x)＝(x－1)·(x－2)(x－a)的极值点，则f(0)＝________．难度：0.85命题点：极值点的概念、根据极值点求参数、导数的运算法则．－4

[f'(x)＝(x－2)'[(x－1)(x－a)]＋(x－2)[(x－1)(x－a)]'＝(x－1)(x－a)＋(x－2)[(x－1)(x－a)]'，因为x＝2是函数f(x)的极值点，所以f'(2)＝0，即(2－1)(2－a)＝0，则a＝2，经检验，满足题意，所以f(x)＝(x－1)(x－2)2，所以f(0)＝－4．]－4第三章一元函数的导数及其应用3．(2024·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝________．难度：0.65命题点：公切线问题、已知切线(斜率)求参数．ln2

第三章一元函数的导数及其应用

[解]

(1)f'(x)＝aex－1，当a≤0时，f'(x)<0，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；当a>0时，令f'(x)>0，得x>－ln

a，令f'(x)<0，得x<－ln

a，所以函数f(x)在(－∞，－ln

a)上单调递减，在(－ln

a，＋∞)上单调递增．综上可得，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；当a>0时，函数f(x)在(－∞，－ln

a)上单调递减，在(－ln

a，＋∞)上单调递增．

第三章一元函数的导数及其应用

锚点：导数的四则运算．第三章一元函数的导数及其应用教材经典2．(1)求曲线y＝ex在x＝0处的切线方程；(2)过原点作曲线y＝ex的切线，求切点坐标．[解]

(1)当x＝0时，y＝e0＝1，即切点坐标为(0，1)，∵y'＝ex，切线斜率k＝e0＝1，故所求切线方程为y－1＝x，即y＝x＋1．(2)设切点坐标为(t，et)，又y'＝ex，故切线斜率为et，所以切线方程为y－et＝et(x－t)，将原点坐标代入切线方程可得－et＝－tet，解得t＝1，故切点坐标为(1，e)．锚点：导数的几何意义．第三章一元函数的导数及其应用2．落实核心概念教材经典3．导函数y＝f'(x)的图象如图所示，在标记的点中，在哪一点处(1)导函数y＝f'(x)有极大值？(2)导函数y＝f'(x)有极小值？(3)函数f(x)有极大值？(4)函数f(x)有极小值？[解]

(1)由图知，极大值点左右两侧函数是先增后减的，即x2为极大值点．(2)由图知，极小值点左右两侧函数是先减后增的，即x1，x4为极小值点．(3)由图知，当x∈(－∞，x3)时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(x3，x5)时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(x5，＋∞)时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增；则函数f(x)在x3处取极大值．(4)由(3)知，函数f(x)在x5处取极小值．锚点：极值点的概念．第三章一元函数的导数及其应用教材经典4．已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，求c的值．[解]

∵f'(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝3x2－4cx＋c2，且函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，∴f'(2)＝0，即c2－8c＋12＝0，解得c＝6或c＝2．经检验当c＝2时，函数f(x)在x＝2处取得极小值，不符合题意，应舍去．当c＝6时，符合题意．故c＝6．锚点：极值的判断．第三章一元函数的导数及其应用3．培养思维品质教材经典5．利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：(1)ex>1＋x，x≠0；(2)lnx<x<ex，x>0．[证明]

(1)由题意，ex>1＋x，x≠0等价于ex－x－1>0，x≠0，令f(x)＝ex－x－1，∴f'(x)＝ex－1，而f'(0)＝e0－1＝0，∴当x<0时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x>0时，f'(x)>0，f(x)单调递增；故f(x)>f(0)＝0在x≠0上恒成立，即ex－x－1>0，x≠0，∴ex>1＋x，x≠0得证．

令g(x)＝ex－x，则g'(x)＝ex－1，而g'(0)＝e0－1＝0，∴当x>0时，g'(x)>0，g(x)单调递增，故g(x)>g(0)＝1在x>0上恒成立，即ex－x>0，∴x<ex在x>0上恒成立，综上，ln

x<x<ex在x>0上恒成立．锚点：几类重要的切线放缩．(1)直线y＝x－1是曲线y＝ln

x的切线，直线y＝x是曲线y＝ln(x＋1)的切线，如图1．由图1可知ln(x＋1)≤x(x>－1)，ln

x≤x－1(x>0)．(2)直线y＝x＋1与直线y＝ex是曲线y＝ex的切线，如图2．由图2可知ex≥x＋1，ex≥ex．

第三章一元函数的导数及其应用教材经典6．给定函数f(x)＝(x＋1)ex．(1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的极值；(2)画出函数f(x)的大致图象；(3)求出方程f(x)＝a(a∈R)的解的个数．[解]

(1)由f(x)＝(x＋1)ex，定义域为R，得f'(x)＝ex＋(x＋1)ex＝(x＋2)ex，令f'(x)>0，即x>－2，令f'(x)＝0，即x＝－2，令f'(x)<0，即x<－2，

第三章一元函数的导数及其应用第18课时导数的概念及运算[考试要求]1．了解导数的概念，掌握基本初等函数的导数．2．通过函数图象，理解导数的几何意义．3．能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数．以题引理·激活思维

√

2．(人教A版选择性必修第二册P70练习T2改编)函数y＝f(x)的图象如图所示，f'(x)是函数f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是(

)A．2f'(3)<f(5)－f(3)<2f'(5)B．2f'(3)<2f'(5)<f(5)－f(3)C．f(5)－f(3)<2f'(3)<2f'(5)D．2f'(5)<2f'(3)<f(5)－f(3)√

√

√√

y＝(e－1)x＋2

f'(x0)2．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的____，相应的切线方程为____________________．提醒：在点P处有切线，P一定是切点，过点P有切线，点P不一定是切点．斜率y－f(x0)＝f'(x0)(x－x0)3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f'(x)＝__f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)f'(x)＝__________f(x)＝sinxf'(x)＝__________f(x)＝cosxf'(x)＝____________f(x)＝ax(a>0，且a≠1)f'(x)＝____________0αxα-1cosx－sinxaxlna[二级结论]

奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数．基本初等函数导函数f(x)＝exf'(x)＝____f(x)＝logax(a>0，且a≠1)f'(x)＝____f(x)＝lnxf'(x)＝____ex

f'(x)±g'(x)f'(x)g(x)＋f(x)g'(x)

cf'(x)5．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y'x＝_________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．y'u·u'x1．导数的概念体现了从平均变化率(割线斜率)到瞬时变化率(切线斜率)的变化过程，体现了数学上的极限逼近思想．2．处理与切线有关的问题的关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．

精研考点·提升素养√

√√√

4对于A，在[t1，t2]这段时间内，甲企业对应图象的割线斜率的相反数比乙企业大，故甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确；对于B，要比较t2时刻的污水治理能力，即看在t2时刻两曲线的切线斜率，切线斜率的相反数越大，污水治理能力越强，故在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确；对于C，在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，正确；对于D，甲企业在[t1，t2]这段时间内的污水治理能力最强，错误．故选ABC．

名师点评：函数y＝f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，|f'(x)|的大小反映了变化的快慢，|f'(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡峭”．

√

√√

√√√

(2)令g(x)＝x(x－1)(x－3)(x－4)(x－5)，则f(x)＝(x－2)g(x)，两边求导得f'(x)＝g(x)＋(x－2)g'(x)，令x＝2，得f'(2)＝g(2)＝－12．故选B．]名师点评：导数的运算方法(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．[巩固迁移]1．已知函数f(x)＝ln(2x－3)＋axe-x，若f'(2)＝1，则a＝________．

e2考点二

导数的几何意义考向1

求切线方程[典例2]

(1)(2026·河北石家庄模拟)已知函数f(x)＝ex＋ln(1－x)，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为________．(2)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程分别为________，_____________．

y＝1

考向2

求参数的值(范围)[典例3]

(1)(2025·全国一卷)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的一条切线，则a＝________．(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是_________________________．4(－∞，－4)∪(0，＋∞)

名师点评：函数f(x)过某点(m，n)有若干条切线，转化为关于切点的方程(高次)的根的个数问题．

√

3．(2026·河南郑州模拟)已知∀a<0，过点(a，b)可作曲线f(x)＝xe-x的3条不同的切线，则实数b的取值范围为____________．

依题意，函数h(x)有3个不同的零点，因为h'(x)＝－e-x[x2－(a＋2)x＋2a]＝－e-x(x－2)(x－a)，当x∈(－∞，a)时，h'(x)<0，h(x)在(－∞，a)上单调递减，值域为(h(a)，＋∞)；当x∈(a，2)时，h'(x)>0，h(x)在(a，2)内单调递增，值域为(h(a)，h(2))；当x∈(2，＋∞)时，h'(x)<0，h(x)在(2，＋∞)上单调递减，值域为(－b，h(2))，

4．若点A(a，a)，B(b，eb)(a，b∈R)，则A，B两点间的距离|AB|的最小值为________．

【教用·备选题】1．若过点(a，b)可以作曲线y＝lnx的两条切线，则(

)A．a<lnb

B．b<lnaC．lnb<a D．lna<b√

当a>0时，若0<x<a，则f'(x)<0，f(x)单调递减，若x>a，则f'(x)>0，f(x)单调递增．所以f(x)min＝f(a)＝ln

a＋1，由题意知b＋1>ln

a＋1，即b>ln

a．故选D．]

(－∞，－2]考点三

两曲线的公切线问题[典例5]

(2025·黑龙江哈尔滨二模)已知曲线y＝lnx在x＝1处的切线与曲线y＝ex＋a相切，则a＝________．

－2

√

【教用·备选题】1．已知f(x)＝ex－1，g(x)＝lnx＋1，则曲线f(x)与g(x)的公切线有(

)A．0条 B．1条C．2条 D．3条√

2．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3lnx－x，若两函数的图象有公共点，且在公共点处的切线相同，则m的值为(

)A．2 B．5C．1 D．0√

√

题号135246879101112131415课后作业(十八)导数的概念及运算√题号213456879101112131415

√

题号213456879101112131415

题号213456879101112131415√

题号213456879101112131415

题号213456879101112131415√

题号213456879101112131415

题号213456879101112131415√

题号2134568791011121314156．(人教A版选择性必修第二册P82探究与发现改编)牛顿法是用导数求方程近似解的一种方法．如图，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的零点r，取初始值x0，f(x)的图象在横坐标为x0的点处的切线与x轴交点的横坐标为x1，f(x)的图象在横坐标为x1的点处的切线与x轴交点的横坐标为x2，一直继续下去，得到x1，x2，…，xn，它们越来越接近r．若f(x)＝x2－2(x>0)，x0＝2，则用牛顿法得到的r的近似值x2约为(

)A．1.438 B．1.417C．1.416 D．1.375题号213456879101112131415√

题号213456879101112131415

题号213456879101112131415√√√

题号213456879101112131415

题号213456879101112131415√√√

题号213456879101112131415

题号213456879101112131415三、填空题9．(2025·山西晋中三模)若函数f(x)＝xlnx＋2xf'(1)，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为__________________．题号213456879101112131415y＝－x－1

[因为f(x)＝xln

x＋2xf'(1)，所以f'(x)＝ln

x＋1＋2f'(1)，令x＝1，得f'(1)＝1＋2f'(1)，解得f'(1)＝－1，所以f(x)＝xln

x－2x，则f(1)＝－2，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－(－2)＝－1×(x－1)，即y＝－x－1．]y＝－x－110．(2025·福建厦门三模)已知曲线y＝x＋lnx在点(1，1)处的切线与曲线y＝x2－2x－a也相切，则a＝________．题号213456879101112131415

－3四、解答题11．已知两曲线y＝x3＋ax和y＝x2＋bx＋c都经过点P(1，2)，且在点P处有公切线．(1)求a，b，c的值；(2)求公切线与坐标轴围成的三角形的面积；(3)若曲线y＝ln(bx－1)上的点M到直线2x－y＋3＝0的距离最短，求点M的坐标和最短距离．题号213456879101112131415

题号213456879101112131415

题号213456879101112131415

题号21