73　第九章　第73课时　成对数据的统计分析

第73课时成对数据的统计分析第十章统计与成对数据的统计分析[考试要求]1．了解样本相关系数的统计含义，理解一元线性回归模型．2．会运用2×2列联表解决独立性检验的简单实际问题．3．会利用统计知识进行数据分析．以题引理·激活思维1．(人教A版选择性必修第三册P103习题8.1T1改编)下列四个散点图中，变量x与y之间具有负的线性相关关系的是(

)A

B

C

D√D

[观察散点图可知，只有D选项的散点图表示的是变量x与y之间具有负的线性相关关系．故选D．]

√√

√

4．(苏教版选择性必修第二册P169习题9.1T1)某小吃店的日盈利y(单位：百元)与当天平均气温x(单位：℃)之间有如下数据：x/℃－2－1012y/百元54221

①

5．(人教A版选择性必修第三册P133

例4改编)为了调查患肺癌是否与吸烟有关，某机构调查了100名50岁以下的人，调查结果如下表．单位：人吸烟肺癌合计肺癌患者非肺癌患者吸烟者20m40非吸烟者n5560合计2575100

α0.050.010.001xα3.8416.63510.82822.2

1．变量的相关关系(1)相关关系的分类：正相关和负相关．(2)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在____________附近，我们就称这两个变量线性相关．一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关．一条直线

(3)样本相关系数r的性质①样本相关系数r的取值范围为____________；②当r>0时，称成对样本数据___相关；③当r<0时，称成对样本数据___相关；④样本相关系数与相关程度当|r|越接近__时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近__时，成对样本数据的线性相关程度越弱．提醒：当两个变量的样本相关系数|r|＝1时，两个变量呈函数关系．[－1，1]正负10

观测值预测值

4．列联表与独立性检验(1)分类变量X，Y的2×2列联表：XY合计Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合计a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d则χ2＝_________________________．

(2)基于小概率值α的检验规则：①当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；②当χ2<xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立．(3)χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.8281．刻画回归效果的方式(1)残差图法在残差图中，残差比较均匀地分布在以横轴为对称轴的水平的带状区域中，说明满足一元线性回归模型的假设，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高．

2．独立性检验的一般步骤第一步，假设两个分类变量X与Y没有关系；第二步，计算出χ2的值；第三步，把χ2的值与临界值比较，作出合理的判断．考点一

成对数据的相关性[典例1]

(1)调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示．其中样本相关系数r＝0.8245，下列说法正确的是(

)A．花瓣长度和花萼长度没有相关性B．花瓣长度和花萼长度呈现负相关C．花瓣长度和花萼长度呈现正相关D．若从样本中抽取一部分，则这部分的样本相关系数一定是0.8245精研考点·提升素养√

√

－0.998(1)C

(2)C

(3)－0.998

[(1)∵样本相关系数r＝0.824

5，且散点图呈左下角到右上角的带状分布，∴花瓣长度和花萼长度正相关．若从样本中抽取一部分，则这部分的样本相关系数不一定是0.824

5，故选C．

[巩固迁移]1．(2024·天津卷)下列图中，线性相关系数最大的是(

)A

BC

D√A

[观察题图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，|r|相比于其他题图更接近1．故选A．]

－1

1

√√

考点二

回归模型考向1

一元线性回归模型[典例2]

(2026·广东广州模拟)经验表明，一般树的胸径(树的主干在地面以上1.3m处的直径)越大，树就越高．由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高．在研究树高与胸径之间的关系时，某林场收集了某种树的一些数据，并根据数据作出如下的散点图．

年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代码xi12345yi6.45.55.04.83.8(1)求2017—2021年年份代码xi与yi的样本相关系数(精确到0.01)；(2)请用样本相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用一元线性回归模型进行描述，并求出y关于x的经验回归方程；(3)预测2026年的酸雨区面积占国土面积的百分比．

－2－10121.30.4－0.1－0.3－1.3

考向2

非线性回归模型[典例3]为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入．图1是该公司2015年至2024年的年份代码x和年研发投入y(单位：亿元)的散点图，其中年份代码1~10分别对应年份2015~2024．

752.2582.54.512028.35

提醒：非线性问题处理策略要通过换元、取对数等手段把非线性问题转化为线性问题．[巩固迁移]3．(多选)(2026·四川绵阳模拟)某类汽车在今年1月至5月的销量y(单位：千辆)如下表所示(其中2月份销量未知)：月份x12345月销量y2.4m455.5

A．m＝3.1B．残差绝对值最大为0.2C．样本相关系数r<0D．当解释变量x每增加1，响应变量y增加0.85√√

4．(2025·山东济南二模)每年3月20日是国际幸福日，节日的意义在于追求幸福，建设未来．某中学为纪念国际幸福日举办了幸福种植计划，一名同学记录了种子的发芽情况，天数x12345胚芽长度y/cm0.81.11.52.44.2

考点三

独立性检验[典例4]

(2026·河南安阳模拟)近年来水产品消费呈上升趋势，为了解男、女消费者对水产品类型的偏好情况，随机调查了男、女消费者各100人，得到如下列联表：单位：人喜爱情况性别合计男消费者女消费者喜欢粗加工水产品6540105喜欢深加工水产品356095合计100100200

α0.050.010.001xα3.8416.63510.828

名师点评：独立性检验的注意事项一是在列联表中注意事件的对应及相关值的确定，不可混淆；二是在实际问题中，独立性检验的结论仅是一种数学关系表述，得到的结论有可能出错；三是对判断结果进行描述时，注意对象的选取要准确无误．[巩固迁移]5．(多选)某校为了解高一新生对数学是否感兴趣，从400名女生和600名男生中通过分层随机抽样的方式随机抽取100名学生进行问卷调查，将调查的结果整理得到如下等高堆积条形图和列联表，则(

)单位：人性别数学兴趣合计感兴趣不感兴趣女生aba＋b男生cdc＋d合计a＋cb＋d100

α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828A．表中a＝12，c＝30B．可以估计该校高一新生中对数学不感兴趣的女生人数比男生人数多C．根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验，可以认为性别与对数学的兴趣有差异D．根据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，可以认为性别与对数学的兴趣没有差异√√√

单位：人性别数学兴趣合计感兴趣不感兴趣女生122840男生303060合计4258100

6．(2025·河南郑州二模)为研究近视是否与户外活动时长有关，某学校数学兴趣小组采用简单随机抽样的方法调查了六年级的100名学生，其中有55名同学的户外活动时间超过2小时；100名同学中近视的学生有60人，这60人中每天户外活动时间不足2小时的有35人．(1)根据所给数据，得到成对样本数据的分类统计结果，完成以下列联表，依据小概率值α＝0.005的χ2独立性检验，分析学生患近视与户外活动时间长短是否有关．单位：人户外活动时间近视情况合计近视未近视不足2小时35

超过2小时

55合计60

α0.100.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828[解]

(1)列联表如下：单位：人户外活动时间近视情况合计近视未近视不足2小时351045超过2小时253055合计6040100

【教用·备选题】为了有效预防流感，很多民众注射了流感疫苗．某市防疫部门从辖区居民中随机抽取了1000人进行调查，发现其中注射疫苗的800人中有220人感染流感，另外没注射疫苗的200人中有80人感染流感．医学研究表明，流感的检测结果是有错检的可能，已知患有流感的人其检测结果有95%呈阳性(感染)，而没有患流感的人其检测结果有99%呈阴性(未感染)．

α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828

疫苗情况流感情况合计患有流感不患有流感注射疫苗220580800没注射疫苗80120200合计3007001

000

一、单项选择题1．(2024·上海卷)已知沿海地区气温和海水表层温度相关，且样本相关系数为正数，对此描述正确的是(

)A．沿海地区气温高，海水表层温度就高B．沿海地区气温高，海水表层温度就低C．随着沿海地区气温由低到高，海水表层温度呈上升趋势D．随着沿海地区气温由低到高，海水表层温度呈下降趋势题号13524687课后作业(七十三)成对数据的统计分析√C

[对于AB，当沿海地区气温高时，海水表层温度变高变低不确定，故AB错误．对于CD，因为沿海地区气温与海水表层温度相关，且样本相关系数为正，故随着沿海地区气温由低到高时，海水表层温度呈上升趋势，故C正确，D错误．故选C．]题号13524687题号21345687

√

题号21345687

题号21345687√单价x/元405060708090销售量y/件453938353023

题号21345687

题号21345687

题号21345687√√√

题号213456875．(2026·广东汕头模拟)暑假结束后，为了解假期中学生锻炼身体情况，学生处对所有在校学生做问卷调查，并随机抽取了180人的调查问卷，其中男生比女生少20人，并将调查结果绘制得到等高堆积条形图．在被调查者中，下列说法正确的是(

)题号21345687题号21345687A．男生中不经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多B．男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人多8人C．经常锻炼者中男生的频率是不经常锻炼者中男生的频率的1.6倍左右D．在犯错误的概率不大于0.01的条件下，可以认为假期是否经常锻炼与性别有关√√√BCD

[设男生人数为x，则女生人数为x＋20，由题得x＋x＋20＝180，解得x＝80，即在被调查者中，男、女生人数分别为80，100，可得到如下2×2列联表，单位：人题号21345687性别锻炼情况合计经常锻炼不经常锻炼男生483280女生4060100合计8892180

题号21345687三、填空题6．(2