63　第七章　第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题

第七章立体几何与空间向量第58课时空间距离及立体几何中的探索性问题[考试要求]

1．会求空间中点到直线以及点到平面的距离．2．以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件．理法先行·题练固本

[常用结论]1．平行线间的距离可以转化为点到直线的距离．2．线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离．

2．(北师大版选择性必修第一册P142习题3－4A组T21)已知点M(－1，2，3)，平面α经过A(1，2，0)，B(－2，0，1)，C(0，2，2)，则点M到平面α的距离为______________．

√B

[如图，以D为原点，建立空间直角坐标系，

考点深研·题型突破

√

√C

[建立如图所示的空间直角坐标系，

√D

[以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

2．(2026·宜昌模拟)如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点．(1)求点B到直线AC1的距离；(2)求直线FC到平面AEC1的距离．[解]

以D1为坐标原点，分别以D1A1，D1C1，D1D所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

【教用·备选题】1．(2025·青岛调研)已知圆柱的高和底面半径均为4，AB为上底面圆周的直径，点P是上底面圆周上的一点且AP＝BP，PC是圆柱的一条母线，则点P到平面ABC的距离为______________．

[解]

(1)因为CC1⊥平面ABC，CA，CB⊂平面ABC，∠ACB＝90°，则CC1⊥CA，CC1⊥CB，CA⊥CB，以C为坐标原点，以CA，CB，CC1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

通性通法：利用空间向量巧解探究性问题的策略(1)空间向量最适合解决立体几何中的探究性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断；(2)解题时，把结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解”“是否有规定范围内的解”等问题，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题．

[解]

(1)证明：因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，BC⊥AB，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，所以BC⊥PB．

教材拓展11

异面直线的距离和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．

√A

[如图，以A为原点，建立空间直角坐标系，

【教用·备选题】(人教A版选择性必修第一册P49复习参考题1T17)如图，两条异面直线a，b所成的角为θ，在直线a，b上分别取点A'，E和点A，F，使AA'⊥a，且AA'⊥b．已知A'E＝m，AF＝n，EF＝l，求线段AA'的长．

√

√A

[如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

[解]

(1)证明：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，所以BB1⊥BC，BB1⊥BA．因为BA⊥BC，BA∩BB1＝B，BA，BB1⊂平面BAA1B1，所以BC⊥平面BAA1B1，又AB1⊂平面BAA1B1，所以BC⊥AB1．因为BB1⊥BA，BA＝BB1，所以四边形BAA1B1为正方形，所以AB1⊥A1B．因为A1B∩BC＝B，A1B，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．(2)由(1)知，直线BA，BB1，BC两两垂直，以B为原点，直线BA，BB1，BC分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．

题号135246

√课时作业(五十八)空间距离及立体几何中的探索性问题题号135246

题号135246

√题号135246

题号135246

√√√题号135246ABD

[建立如图所示的空间直角坐标系，题号135246

题号135246

题号135246

题号135246

题号135246

√√√题号135246ABD

[对于A，如图1所示，连接AB1交A1B于点E，连接DE，所以DE∥B1C，又DE⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD，故A正确；题号135246对于B，因为AB＝BC，D是AC的中点，所以BD⊥AC，又平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，BD⊂平面ABC，所以BD⊥平面A1ACC1，又BD⊂平面A1BD，所以平面A1BD⊥平面AA1C1C，故B正确；对于C，因为B1C∥平面A1BD，

所以B1C到平面A1BD的距离等于点B1到平面A1BD的距离，以D点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图2所示，题号135246

题号135246

题号135246三、填空题5．(人教A版选择性必修第一册P35练习T3改编)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，设M，N，E，F分别是A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD间的距离为______________．

题号135246

题号135246

题号135246

题号135246[解]

(1)证明：∵EA＝EB，M是AB的中点，∴EM⊥AB，又平面ABE⊥平面ABCD，平面ABE∩平面ABCD＝AB，EM⊂平面ABE，∴EM⊥平面ABCD，∵AD⊂平面ABCD，∴EM⊥AD．题号135246(2)连接