75　备考纵深·高阶思维突破攻略　衔接教材

衔接教材备考纵深·高阶思维突破攻略衔接教材1

容斥原理人教A版必修第一册P15《阅读与思考》借助案例详细阐释了容斥原理，容斥原理常用于处理部分有限集合的元素个数的计数问题．例如，设A＝{a，b，c}，我们用card(A)来表示有限集合A中元素的个数，则card(A)＝3．一般地，对于任意两个有限集合A，B，有二元容斥原理card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)；同理，对于任意三个有限集合A，B，C，有三元容斥原理card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(C∩A)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C)．【典例展示】“生命在于运动”，某学校教师在普及程度比较高的三个体育项目——乒乓球、羽毛球、篮球中，会打乒乓球的教师人数为30，会打羽毛球的教师人数为60，会打篮球的教师人数为20，若会至少其中一个体育项目的教师人数为80，且三个体育项目都会的教师人数为5，则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为(

)A．20 B．15C．25 D．30√[赏析]

设A＝{x|x是会打乒乓球的老师}，B＝{x|x是会打羽毛球的老师}，C＝{x|x是会打篮球的老师}，由题意得card(A)＝30，card(B)＝60，card(C)＝20，card(A∪B∪C)＝80，card(A∩B∩C)＝5，card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C)，∴card(A∩B)＋card(B∩C)＋card(A∩C)＝30＋60＋20＋5－80＝35，而card(A∩B)＋card(B∩C)＋card(A∩C)中，把A∩B∩C的区域计算了3次，所以会且仅会其中两个体育项目的教师人数为35－3×5＝20．故选A．【纵深攻略】一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人．问：(1)该校共有多少学生？(2)只修一门课的学生有多少？(3)正好修两门课的学生有多少？[解]

(1)设修数学、语文、外语的学生组成集合分别为A，B，C，则card(A)＝172，card(B)＝132，card(C)＝130，card(A∩B)＝48，card(A∩C)＝30，card(B∩C)＝21，card(A∩B∩C)＝5，card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C)＝172＋132＋130－48－30－21＋5＝340，所以该校共有学生340人．(2)只修一门课的学生有card(A∪B∪C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)＋2card(A∩B∩C)＝340－48－30－21＋2×5＝251，所以只修一门课的学生有251人．(3)正好修两门课的学生有card(A∩B)＋card(A∩C)＋card(B∩C)－3card(A∩B∩C)＝48＋30＋21－3×5＝84，所以正好修两门课的学生有84人．衔接教材2

二维柯西不等式(人教A版必修第二册P37习题6.3T16)用向量方法证明：对于任意的a，b，c，d∈R，恒有不等式(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．该不等式就是二维形式的柯西不等式，其证明如下：设m＝(a，b)，n＝(c，d)，由数量积的性质可知|m·n|≤|m|·|n|，∴|m·n|2≤|m|2·|n|2，即(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)，当且仅当m与n共线，即ad＝bc时，等号成立．

√13

4

3．若实数x，y，z满足x＋2y＋3y＝1，则x2＋y2＋z2的最小值为_______．

衔接教材3

指数的换底公式

【典例展示】苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化其中的大数之间的计算而发明了对数．利用对数运算可以求大数的位数．已知lg5≈0.699，则231是(

)A．9位数 B．10位数C．11位数 D．12位数√[赏析]

法一：由指数的换底公式得，231＝1031lg

2＝1031(1-lg

5)≈109.331∈(109，1010)，故231是10位数．法二：记231＝M，则31×lg

2＝lg

M，则lg

M＝31×(1－lg

5)≈9.331，则M≈109.331∈(109，1010)，故231是10位数．【纵深攻略】区块链作为一种革新技术，已经应用于许多领域，在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有2256种可能，因此为了破解密码，最坏情况下需要进行2256次运算．现在有一台机器，每秒能进行2.5×1011次运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下这台机器破译密码所需的时间大约为(参考数据：lg2≈0.301，100.658≈4.5)(

)A．4.5×1065秒 B．4.5×1083秒C．4.5×1017秒 D．4.5×107秒√

衔接教材4

泰勒展开式人教A版必修第一册P256复习参考题5T26给出了sin

x及cos

x的泰勒公式，并借助公式对cos

0.3作了估算．实际上，泰勒公式可将各种类型的函数(指数函数、对数函数、正弦函数与余弦函数)与多项式函数联系起来，在局部可以用多项式函数近似替代其他函数，我们可以用其来比较大小．

√

√

√

衔接教材5

三次函数的性质形如f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的函数称为三次函数．高考数学多次考查了三次函数，主要涉及三次函数的图象特征及其单调性、极值(最值)、对称性等，人教A版选择性必修第二册P99习题5.3T13借助信息技术工具探究了三次函数的性质，其他版本的例题、习题都大量引入了三次函数，可见三次函数的重要性．

性质三次函数图象数量关系a>0a<0零点个数三个b2－3ac>0，f(x1)·f(x2)<0两个b2－3ac>0，f(x1)·f(x2)＝0一个b2－3ac>0，f(x1)·f(x2)>0

①当定点P在对称中心点N或在Ⅰ和Ⅲ区域时，过点P的切线有且仅有一条；②当定点P在函数f(x)的图象上(除去对称中心)或在切线l上时，过点P的切线有两条；③当定点P在Ⅱ和Ⅳ区域时，过点P的切线有三条．【典例展示】

(多选)设函数f(x)＝2x3－3ax2＋1，则(

)A．当a>1时，f(x)有三个零点B．当a<0时，x＝0是f(x)的极大值点C．存在a，b，使得x＝b为曲线y＝f(x)的对称轴D．存在a，使得点(1，f(1))为曲线y＝f(x)的对称中心√√[赏析]

A选项，f'(x)＝6x2－6ax＝6x(x－a)，由于a>1，故当x∈(－∞，0)∪(a，＋∞)时，f'(x)>0，f(x)在(－∞，0)，(a，＋∞)上单调递增，当x∈(0，a)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，则f(x)在x＝0处取到极大值，在x＝a处取到极小值，由f(0)＝1>0，f(a)＝1－a3<0，则f(0)f(a)<0，根据函数零点存在定理，知f(x)在(0，a)内有一个零点，又f(－1)＝－1－3a<0，f(2a)＝4a3＋1>0，则f(－1)f(0)<0，f(a)f(2a)<0，则f(x)在(－1，0)，(a，2a)内有一个零点，于是当a>1时，f(x)有三个零点，A选项正确；B选项，f'(x)＝6x(x－a)，当a<0，x∈(a，0)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(0，＋∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，此时f(x)在x＝0处取到极小值，B选项错误；

【纵深攻略】1．(多选)已知函数f(x)＝(1－x)(4－x)2＋2，则(

)A．点(3，0)是f(x)图象的对称中心B．x＝2是f(x)的极小值点C．当0<x<1时，f(4－x)>f(x)D．当1<x<2时，－2<f(2x)<2√√√ABD

[由题可得f'(x)＝－3(x－2)(x－4)，令f'(x)＝0，得x＝2或x＝4，所以当x<2时，f'(x)<0，f(x)单调递减，当2<x<4时，f'(x)>0，f(x)单调递增，当x>4时，f'(x)<0，f(x)单调递减，又f(1)＝2，f(2)＝－2，f(4)＝2，f(5)＝－2，且当x→－∞时，f(x)→＋∞，当x→＋∞时，f(x)→－∞，所以可作出f(x)的大致图象如图所示．对于A，设g(x)＝f'(x)，则g'(x)＝－6(x－3)，令g'(x)＝0，得x＝3，又f(3)＝0，所以点(3，0)是f(x)图象的对称中心，故A正确；对于B，易知x＝2是f(x)的极小值点，故B正确；对于C，当0<x<1时，3<4－x<4，又f(x)在(0，1)内单调递减，在(3，4)内单调递增，所以当0<x<1时，2<f(x)<18，0<f(4－x)<2，所以f(4－x)<f(x)，故C错误；对于D，当1<x<2时，2<2x<4，又f(x)在(2，4)内单调递增，所以－2<f(2x)<2，故D正确．故选ABD．]2．(多选)已知三次函数f(x)＝x3＋ax＋2，下列叙述正确的是(

)A．当a＝1时，函数f(x)无极值点B．函数f(x)的图象关于点(0，2)中心对称C．曲线y＝f(x)过点(0，2)的切线有两条D．当a<－3时，函数f(x)有3个零点√√√

衔接教材6

极化恒等式人教A版必修第二册P22练习T3求证：(a＋b)2－(a－b)2＝4a·b．实际上，该式子就是极化恒等式，其表明，向量的数量积可以用向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系．

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衔接教材7

椭圆的蒙日圆及其几何性质

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