82　第十章　第75课时　随机事件与概率

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第75课时随机事件与概率[考试要求]

1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．2．理解事件间的关系与运算．3．掌握古典概型及其计算公式，能计算古典概型中简单随机事件的概率．理法先行·题练固本知识点1

样本空间和随机事件(1)样本点和有限样本空间①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示．全体样本点的集合称为试验E的________，常用Ω表示．②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．样本空间(2)随机事件

①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件．②表示：一般用大写字母A，B，C，…表示．③随机事件的极端情形：________、__________．必然事件不可能事件知识点2

两个事件的关系和运算事件的关系或运算含义符号表示图形表示包含A发生导致B发生____并事件(和事件)A与B至少一个发生__________A⊆BA∪B或A＋B事件的关系或运算含义符号表示图形表示交事件(积事件)A与B同时发生________互斥(互不相容)A与B不能同时发生________互为对立A与B有且仅有一个发生_________且_________

A∩B或AB

A∩B＝⌀A∩B＝⌀

A∪B＝Ω知识点3

古典概型(1)古典概型的特征①有限性：样本空间的样本点只有______；②等可能性：每个样本点发生的可能性____．有限个相等

知识点4

概率的基本性质性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0．性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(⌀)＝0．性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝______________．性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝_________．P(A)＋P(B)1－P(B)性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)．由该性质可得，对于任意事件A，因为⌀⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1．性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝_________________________．P(A)＋P(B)－P(A∩B)知识点5

频率与概率(1)频率的稳定性一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐______事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．(2)频率稳定性的作用可以用频率fn(A)估计概率P(A)．(3)频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．稳定于1．(人教A版必修第二册P231练习T3改编)从1，2，3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为_____________________________，“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为______________．

Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}

5

[任选一个数，共有10种不同选法，故样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，其中偶数共有5种，故“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为5．]Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}

5

2．(人教A版必修第二册P235练习T1)某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是(

)A．至多一次中靶 B．两次都中靶C．只有一次中靶 D．两次都没有中靶√D

[连续射击两次中靶的情况如下：①两次都中靶；②只有一次中靶；③两次都没有中靶，故选D．]3．(北师大版必修第一册P194习题7－1

A组T2)下列说法正确的是(

)A．互斥事件与对立事件含义相同B．互斥事件必是对立事件C．对立事件必是互斥事件D．对立事件可以是互斥事件，也可以不是互斥事件√C

[互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．故选C．]4．(人教A版必修第二册P241练习T3)从0~9这10个数中随机选择一个数，则这个数的平方的个位数字为1的概率是______________；这个数的四次方的个位数字为1的概率是______________．

5．(人教A版必修第二册P246习题10.1T8)从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率是______________．

6．

(人教A版必修第二册P245练习T1)已知P(A)＝0.5，P(B)＝0.3．(1)如果B⊆A，那么P(A∪B)＝__________，P(AB)＝________；

(2)如果A，B互斥，那么P(A∪B)＝________，P(AB)＝_________．

(1)0.5

0.3

(2)0.8

0

[(1)如果B⊆A，那么A∪B＝A，A∩B＝B，所以P(A∪B)＝P(A)＝0.5，P(AB)＝P(B)＝0.3．(2)如果A，B互斥，那么A∩B＝⌀，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8，P(AB)＝0．]0.5

0.3

0.8

0

7．(苏教版必修第二册P287习题15.2

T16改编)全班50名学生每人抛掷20枚图钉，最后对全班统计钉尖朝上的频数为782次，由此估计钉尖朝上的概率为______________．

0.782

考点深研·题型突破考点一

随机事件考向1

随机事件间关系的判断[典例1]

(1)王老师从甲、乙、丙三位同学中随机抽选两位同学进行家访．事件P表示“抽中甲、乙两位同学”，事件Q表示“抽中甲、丙两位同学”，则(

)A．P是必然事件 B．Q是不可能事件C．P与Q是互斥事件 D．P与Q是对立事件√(2)(2025·西宁期末)抛掷两枚质地均匀的骰子，记录朝上的点数，则下列选项中的两个事件，互斥但不对立的是(

)A．事件“点数之和为奇数”与事件“点数之积为偶数”B．事件“点数之和为奇数”与事件“点数之积为奇数”C．事件“点数之和不小于8”与事件“点数之和不大于7”D．事件“点数之积不小于7”与事件“点数之积不大于8”√(1)C

(2)B

[(1)从甲、乙、丙三位同学中随机抽选两位同学进行家访，所有的基本事件有(甲乙)，(甲丙)，(乙丙)，对于A，P不一定发生，故不是必然事件；对于B，Q可能发生，所以不是不可能事件；对于C，P与Q不能同时发生，故P与Q是互斥事件；对于D，P与Q不能同时发生，但P∪Q不是全部事件，所以不是对立事件．故选C．(2)对于A，例如点数(1，2)，满足题意要求，所以二者能同时发生，不是互斥事件，故A错误；对于B，点数之和为奇数，两数一奇一偶，点数之积为奇数，两数均为奇数，两事件不能同时发生，存在两数和为偶数且积为偶数的情况，所以二者互斥但不对立，故B正确；对于C，二者不能同时不发生，也不能同时发生，是对立事件，故C错误；对于D，二者能同时发生，不是互斥事件，如点数(4，2)，故D错误．故选B．]易错提醒：当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥，即两事件互斥是对立的必要不充分条件．考向2

互斥、对立事件的概率[典例2]

某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．

通性通法：进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．当事件是由互斥事件组成时，运用互斥事件的概率加法公式．[多维变迁]1．(多选)下列说法正确的有(

)A．若事件A⊆B，则P(A)≤P(B)B．若A，B为对立事件，则P(A)＋P(B)＝1C．若A，B为互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)D．P(A∪B)<P(A)＋P(B)√√√ABC

[若事件B包含事件A，则P(A)≤P(B)，故A正确；若A，B为对立事件，则P(A)＋P(B)＝1，故B正确；若A，B为互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，故C正确；因为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以当A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，故D错误．故选ABC．]2．某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.2，则这个射手在一次射击中射中环数不够7环的概率为______________．

0.11

√√

通性通法：频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．【教用·备选题】如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下．所用时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．

所用时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，∵P(A1)>P(A2)，∴甲应选择L1．同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，∵P(B1)<P(B2)，∴乙应选择L2．

√

通性通法：求古典概型的概率的关键，是求试验样本点的总数和事件A包含的样本点的个数，这就需要正确列出样本点，样本点的表示方法有列举法(列表法、树状图法)以及排列、组合法．

√B

[画出树状图：

考点三

概率的性质及应用

[典例5]

某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示．人数012345人及以上概率0.10.160.30.20.20.04(1)求派出医生至多2人的概率；(2)求派出医生至少2人的概率．[解]

设事件A＝“不派出医生”，事件B＝“派出1名医生”，事件C＝“派出2名医生”，事件D＝“派出3名医生”，事件E＝“派出4名医生”，事件F＝“派出5名或5名以上医生”，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04．(1)“派出医生至多2人”的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56．(2)法一：“派出医生至少2人”的概率为P(C∪D∪E∪F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74．法二：“派出医生至少2人”的概率为1－P(A∪B)＝1－(0.1＋0.16)＝0.74．易错提醒：互斥事件的概率加法公式的适用条件是事件必须是互斥事件．重视利用对立事件的概率和等于1，用间接法求概率，即“正难则反”的思想，常用此方法求“至少”“至多”型事件的概率．1．(链接考向1)(2025·哈密市期末)在一次随机试验中，三个事件A，B，C发生的概率分别是0.4，0.5，0.6，则下列选项正确的是(

)A．A∪B∪C是必然事件B．A与B是互斥事件C．P(A∩B)≤0.4D．P(A∪B)＝1.1√C

[对于选项A，若A⊆B⊆C，则P(A∪B∪C)＝P(C)＝0.6<1，所以A∪B∪C不是必然事件，故A错误；对于选项B，若A⊆B，则P(A∩B)＝P(A)＝0.4≠0，所以A与B不是互斥事件，故B错误；对于选项C，由(A∩B)⊆A，得P(A∩B)≤P(A)＝0.4，故C正确；对于选项D，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.9－P(A∩B)，而P(A∩B)≥0，所以P(A∪B)≤0.9，故D错误．故选C．]2．(链接考向3)(2025·蚌埠期末)甲同学在数学探究活动中做抛硬币试验，共抛掷了2000次，其中正面朝上的有1034次，则下列说法正确的是(

)A．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.517B．甲同学的试验中，反面朝上的频率为0.483C．抛掷一枚硬币，反面朝上的概率小于0.5D．甲同学的试验中，正面朝上的频率接近0.517√B

[对于A，抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.5，为定值，故A错误；对于B，甲同学的试验中，正面朝上的频率为0.517，反面朝上的频率为0.483，故B正确；对于C，抛掷一枚硬币，反面朝上的概率为0.5，故C错误；对于D，甲同学的试验中，正面朝上的频率就是0.517，而不是接近0.517，故D错误．故选B．]

√

√√√

5．(链接考点二)(2025·曲靖期末)从大于1且小于50的整数中任意选取1个，则被选取的整数是质数的概率为______________．

题号135246879101112√一、单项选择题1．(人教A版必修第二册P257练习T1，T2改编)下列说法正确的是(

)A．甲、乙两人做游戏：甲、乙两人各写一个数字，若都是奇数或都是偶数，则甲胜，否则乙胜，这个游戏公平B．做n次随机试验，事件A发生的频率就是事件A发生的概率C．某地发行福利彩票，回报率为47%，某人花了100元买该福利彩票，一定会有47元的回报D．有甲、乙两种报纸可供某人订阅，事件B＝“某人订阅甲报纸”是必然事件课时作业(七十五)随机事件与概率题号135246879101112

√2．(苏教版必修第二册P292练习T1改编)某人射击一次，设事件A＝“击中环数小于8”，事件B＝“击中环数大于8”，事件C＝“击中环数不小于8”，事件D＝“击中环数不大于9”，则下列说法正确的是(

)A．A和B为对立事件B．B和C为互斥事件C．A和C为对立事件D．B和D为互斥事件题号135246879101112C

[由题意，事件A＝“击中环数小于8”与事件B＝“击中环数大于8”是互斥事件但不是对立事件，故A选项错误；事件B＝“击中环数大于8”与事件C＝“击中环数不小于8”，能同时发生，所以不是互斥事件，故B选项错误；事件A＝“击中环数小于8”与事件C＝“击中环数不小于8”是对立事件，故C选项正确；事件B＝“击中环数大于8”与事件D＝“击中环数不大于9”能同时发生，不是互斥事件，故D选项错误．故选C．]题号135246879101112√3．(2025·郑州月考)已知事件A，B互斥，且P(A)＝0.2，P(B)＝0.3，则P(A∪B)＝(

)A．0.3 B．0.5C．0.6 D．0.9题号135246879101112B

[根据题意，事件A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.2＋0.3＝0.5．]√

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112

题号1352468791011126．(2025·吉林市龙潭区期末)某中学为了解学生课外阅读的情况，随机抽取了该校部分学生，对他们每周的课外阅读时间(单位：h)进行调查，统计数据如下表所示：题号135246879101112阅读时间[0，2)[2，4)[4，6)[6，8)[8，10]学生人数6915128√则从该校随机抽取1名学生，估计其每周的课外阅读时间少于4h的概率为(

)A．0.3 B．0.2C．0.4 D．0.5题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112√

题号135246879101112√8．(2025·湛江联考)某运动员在最近几次篮球比赛中的得分情况如表所示．题号135246879101112项目投中两分球投中三分球没投中总计投篮次数5518m100记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率，则下列结论中正确的是