20　第二章　第19课时　函数的零点与方程的解

第二章

函数第19课时函数的零点与方程的解[考试要求]

1．理解函数的零点与方程的解的联系．2．理解函数零点存在定理，并能简单应用．3．了解用二分法求方程的近似解．理法先行·题练固本知识点1函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把使_____________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有______⇔函数y＝f(x)的图象与_____有公共点．f(x)＝0零点x轴(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条__________的曲线，且有____________________，那么，函数y＝f(x)在区间__________内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得_____________，这个c也就是方程f(x)＝0的解．连续不断f(a)f(b)<0(a，b)f(c)＝0知识点2二分法对于在区间[a，b]上图象__________且_____________________的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近______，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．二分法只能求变号零点．连续不断f(a)f(b)<0零点[常用结论]1．若连续不断的函数f(x)在(a，b)上是单调函数，且f(a)f(b)<0，则f(x)在(a，b)上有且仅有一个零点．2．由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．

√

2．(北师大版必修第一册P132练习T3(2)改编)函数f(x)＝log2x＋x－2的零点所在的区间为(

)A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)√B

[函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝－1，f(2)＝1，则f(1)f(2)<0，故f(x)的零点所在的区间为(1，2)．故选B．]3．(湘教版必修第一册P136习题4.4T6改编)若函数f(x)＝2x＋a在(－1，1)内存在一个零点，则实数a的取值范围是__________．(－2，2)

[由题意得f(－1)f(1)＝(－2＋a)(2＋a)<0，解得－2<a<2．](－2，2)

4．(人教A版必修第一册P155习题4.5T1改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(

)√A

BC

DA

[根据二分法的概念可知选项A中函数不能用二分法求零点．]考点深研·题型突破考点一函数零点所在区间及二分法[典例1]

(1)(2025·铜仁市期末)函数f(x)＝ex＋4x－4的零点所在区间为(

)A．(－1，0) B．(0，1)C．(1，2) D．(2，3)√(2)(2025·汕头月考)用二分法求函数f(x)＝lnx＋2x－6在区间(2，3)内的零点近似值，若要求精确度为0.1，则所需二分区间的次数至少为(

)A．2 B．3C．4 D．5√

√

2．(人教A版必修第一册P146例2改编)用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：f(1.6000)≈0.200f(1.5875)≈0.133f(1.5750)≈0.067f(1.5625)≈0.003f(1.5562)≈－0.029f(1.5500)≈－0.060据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解为________(精确度为0.01)．1.561.56

[注意到f(1.5562)≈－0.029和f(1.5625)≈0.003，显然f(1.5562)f

(1.5625)<0，又|1.5562－1.5625|＝0.0063<0.01，所以近似解可取1.56．]易错提醒：(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实数解．(2)连续函数f(x)在区间[a，b]上，若满足f(a)f(b)<0，则在区间[a，b]上至少有一个零点，反之不一定．【教用·通性通法】确定函数零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后看求得的根是否落在给定区间上．(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0．若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(3)数形结合法：通过画函数图象，判断图象与x轴在给定区间上是否有交点．

√1

(1)D

(2)1

[(1)当x≤0时，x2－1＝0，解得x＝－1；当x>0时，f(x)＝x－2＋lnx在(0，＋∞)上单调递增，并且f(1)＝1－2＋ln1＝－1<0，f(2)＝2－2＋ln2＝ln2>0，即f(1)f(2)<0，所以函数f(x)在区间(1，2)内必有一个零点．综上，函数f(x)的零点个数为2．故选D．(2)令f(x)＝0，可得方程lnx＋x2－3＝0，即lnx＝3－x2，故原函数的零点个数即为函数y＝lnx与y＝3－x2图象的交点个数．在同一平面直角坐标系中作出两个函数的大致图象(如图)．由图可知，函数y＝3－x2与y＝lnx的图象只有一个交点，故函数f(x)＝lnx＋x2－3只有一个零点．]通性通法：函数零点个数的判断方法(1)直接求零点．(2)函数零点存在定理，应注意：满足条件的零点可能不唯一；不满足条件时，也可能有零点．(3)作出两函数的图象，观察其交点即得零点个数．

√A

[依题意，函数g(x)＝f(x)－b有四个不同的零点，即方程f(x)＝b有四个解，转化为函数y＝f(x)的图象与直线y＝b有四个交点，由函数y＝f(x)的解析式可知，当x∈(－∞，－1]时，函数单调递减，y∈[0，＋∞)；当x∈(－1，0]时，函数单调递增，y∈(0，1]；当x∈(0，1)时，函数单调递减，y∈(0，＋∞)；当x∈[1，＋∞)时，函数单调递增，y∈[0，＋∞)，结合图象，可知实数b的取值范围为(0，1]．故选A．][母题探究]本例中，若所有条件不变，且设四个不同的零点分别为x1，x2，x3，x4(x1＜x2＜x3＜x4)，那么x1x2x3x4的取值范围是________．

[0，1)考向2

根据函数零点的范围求参数[典例4]函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(1，2)上存在零点，则实数m的取值范围是(

)A．(－∞，－5) B．(－5，－1)C．(1，5) D．(5，＋∞)√

思维建模：零点求参模型(1)分离参数：等价转化，将变量与参数分开．(2)作图：分别作出y＝f(x)与y＝b的图象．(3)移线得参：平移直线y＝b，根据交点个数，确定参数范围．

√A

[函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5，5]上恰有8个零点，即函数f(x)与函数g(x)的图象在区间[－5，5]上有8个交点，由f(x＋2)＝f(x)知，f(x)是R上周期为2的函数，作函数f(x)与函数g(x)在区间[－5，5]上的图象，如图所示，

√

√D

[法一：令f(x)＝g(x)，即a(x＋1)2－1＝cosx＋2ax，可得ax2＋a－1＝cosx，令F(x)＝ax2＋a－1，G(x)＝cosx，原题意等价于当x∈(－1，1)时，曲线y＝F(x)与y＝G(x)恰有一个交点，注意到F(x)，G(x)均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可得F(0)＝G(0)，即a－1＝1，解得a＝2．若a＝2，令F(x)＝G(x)，可得2x2＋1－cosx＝0，因为x∈(－1，1)，则2x2≥0，1－cosx≥0，当且仅当x＝0时，等号同时成立，可得2x2＋1－cosx≥0，当且仅当x＝0时，等号成立，则方程2x2＋1－cosx＝0有且仅有一个实根0，即曲线y＝F(x)与y＝G(x)恰有一个交点，所以a＝2符合题意．综上所述，a＝2．法二：令h(x)＝f(x)－g(x)＝ax2＋a－1－cosx，x∈(－1，1)，原题意等价于h(x)有且仅有一个零点，因为h(－x)＝a(－x)2＋a－1－cos(－x)＝ax2＋a－1－cosx＝h(x)，则h(x)为偶函数，根据偶函数的对称性可知，h(x)的零点只能为0，即h(0)＝a－2＝0，解得a＝2．若a＝2，则h(x)＝2x2＋1－cosx，x∈(－1，1)，又因为2x2≥0，1－cosx≥0，当且仅当x＝0时，等号同时成立，可得h(x)≥0，当且仅当x＝0时，等号成立，即h(x)有且仅有一个零点0，所以a＝2符合题意．故选D．]【教用·微点突破】嵌套函数的零点形如y＝f(g(x))的复合函数(称此函数为嵌套函数)零点问题综合性较强，难度较大，常与函数性质等相关问题交汇．嵌套函数的零点涉及内外两层函数零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解．

[－1，＋∞)

(2)设t＝f(x)，令f

(f

(x))－a＝0，则a＝f(t)．在同一平面直角坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图象(如图)．当a<－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有一个交点，不符合题意；当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点．设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)，则t1<－1，t2≥－1．当t1<－1时，t1＝f(x)有一解；当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解．综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f

(f

(x))－a有三个不同的零点．]

√

√

3．(链接考向1)(人教A版必修第一册P156习题4.5T13改编)函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为___________．

4．(链接考向2)已知函数f(x)＝x·2x－kx－2在区间(1，2)内有零点，则实数k的取值范围是________．

(0，3)题号135246879101112√一、单项选择题1．(人教A版必修第一册P144练习T1改编)已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且图象是连续不断的，若f(a)f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上(

)A．至少有一实数解

B．至多有一实数解C．没有实数解

D．必有唯一的实数解课时作业(十九)函数的零点与方程的解题号135246879101112D

[∵f(x)为连续函数，且f(a)f(b)<0，∴函数f(x)在区间[a，b]上至少有一个零点，∵函数f(x)在区间[a，b]上单调，∴函数f(x)在区间[a，b]上至多有一个零点，故函数f(x)在区间[a，b]上有且只有一个零点，即方程f(x)＝0在区间[a，b]上必有唯一的实数解．]√2．(2025·日照期末)若函数f(x)＝lnx＋2x－3，则f(x)的零点所在区间是(

)A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)题号135246879101112B

[函数f(x)＝lnx＋2x－3在x＞0时的图象是连续的，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为f(1)＝2－3＝－1＜0，f(2)＝ln2＋4－3＝ln2＋1＞0，所以f(1)f(2)＜0，由函数零点存在定理可知，函数的零点在(1，2)内．故选B．]题号135246879101112√3．(2025·沧州盐山县校级二模)用二分法研究函数f(x)＝x3－2x－1的零点时，若零点所在的初始区间为(1，2)，则下一个有解区间为(

)A．(1，2) B．(1.75，2)C．(1.5，2) D．(1，1.5)题号135246879101112

题号135246879101112√4．(人教A版必修第一册P143例1改编)函数f(x)＝3x|log2x|－1的零点个数为(

)A．0 B．1C．2 D．3题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112√√

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112√AC

[作出f(x)的图象与直线y＝k，如图．由图象可知，当k<－4时，f(x)＝k有1个解，A正确；当k＝－4或k＞－3时，f(x)＝k有2个解，B错误；当－4<k≤－3时，f(x)＝k有3个解，C正确；f(x)＝k不可能有4个解，D错误．故选AC．]题号135246879101112√9．下列说法正确的是(

)A．函数f(x)＝x2＋2x－8的零点是(－4，0)，(2，0)B．方程ex＝3＋x在区间(－3，0)，(0，10)内有解C．函数y＝3x，y＝log3x的图象关于y＝x对称D．用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1，2)内的近似解的过程中得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的解落在区间(1，1.25)内题号135246879101112√BC

[对于A，令f(x)＝x2＋2x－8＝0，解得x1＝－4，x2＝2，即函数f(x)＝x2＋2x－8的零点是－4和2，故A错误；对于B，令f(x)＝ex－x－3，则f(－3)＝e-3>0，f(0)＝－2<0，f(10)＝e10－13>210－13>0，所以由函数零点存在定理可知f(x)＝ex－x－3在区间(－3，0)，(0，10)内有零点，即方程ex＝3＋x在区间(－3，0)，(0，10)内有解，故B正确；对于C