62　第七章　第57课时　向量法求空间角(二)

第七章立体几何与空间向量第57课时向量法求空间角(二)[考试要求]

1．能用向量法解决平面与平面的夹角问题，体会向量法在研究空间角问题中的作用．2．弄清折叠问题中的变量与不变量，掌握折叠问题中线面位置关系的判断方法和空间角的计算方法．理法先行·题练固本知识点

平面与平面的夹角如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的____．夹角若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝_________．

考点深研·题型突破

[解]

(1)证明：因为PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，则AD⊥PD，因为∠ADC＝90°，所以AD⊥CD，因为PD∩CD＝D，CD⊂平面PCD，PD⊂平面PCD，故AD⊥平面PDC．

易错提醒：注意二面角的范围是[0，π]，二面角的余弦值可以为负值．要弄清题目中所求二面角的平面角是否为钝角．若是求两个平面的夹角，则直接取绝对值即可．【教用·通性通法】利用空间向量计算平面与平面夹角的常用方法(1)找法向量：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到平面与平面夹角的大小．(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，然后通过这两个向量的夹角可得到平面与平面夹角的大小．

(2)由(1)知BO⊥平面PAC，因为OC，OP⊂平面PAC，所以BO⊥OC，BO⊥OP，又PO⊥AC，故OB，OC，OP两两垂直．以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

【教用·备选题】1．(2025·内江三模)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，E为AA1的中点．(1)求证：A1C∥平面BDE；(2)求二面角A-DE-B的余弦值．[解]

(1)证明：连接AC，交BD于点O，连接EO，∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O是AC中点，E是AA1的中点，∴A1C∥OE，∵A1C⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴A1C∥平面BDE．

2．(2024·北京卷节选)如图，在四棱锥P-ABCD中，BC∥AD，AB＝BC＝1，AD＝3，点E在AD上，且PE⊥AD，PE＝DE＝2．若AB⊥平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．[解]

因为AB⊥平面PAD，PE⊂平面PAD，所以AB⊥PE，又PE⊥AD，AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，所以PE⊥平面ABCD．连接EC，易知四边形ABCE为矩形，故直线EC，ED，EP两两垂直，以E为坐标原点，EC，ED，EP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

所以PE⊥ED，则PE，EF，ED两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系Exyz，

通性通法：三步解决平面图形的折叠问题

微点突破13

不规则建系在一些不规则的几何体中，若没有明显便于建系的条件，则需要寻找有垂线的平面，再根据垂面的情况建立空间直角坐标系，或通过平面与平面垂直，作平面的垂线，从而建立空间直角坐标系．当缺少垂直条件时，可以通过作辅助线找垂直关系，如等腰三角形的三线合一、菱形对角线相互垂直等，进而找到直线与平面垂直．

[解]

由题意知DC，AD，AP两两垂直，以D为原点，AD，DC所在直线分别为x轴、y轴，过点D且平行于AP的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设AD＝p，DC＝q，p>0，q>0，

通性通法：对于不规则的几何体，题目中不能找到明显的垂直于底面的直线，则采用“凌空”建系造出“墙角”，再利用长度关系将相关点的坐标表示出来．

[解]

(1)证明：如图，连接DE，AE，因为DC＝DB，且E为BC的中点，所以DE⊥BC．因为∠ADB＝∠ADC＝60°，DA＝DA，DC＝DB，所以△ADB≌△ADC(SAS)．可得AC＝AB，故AE⊥BC．因为DE∩AE＝E，DE，AE⊂平面ADE，所以BC⊥平面ADE．又DA⊂平面ADE，所以BC⊥DA．

1．(链接考点一)(人教A版选择性必修第一册P38练习T3)如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，则平面AA1B与平面A1BC1夹角的余弦值为______________．

(2)因为AD⊥平面BCED，DE⊥BD，所以DB，DE，DA两两垂直，故以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

1．(2025·兰州期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝2DC＝4，E是棱PA的中点．(1)求证：PC∥平面BDE；(2)求平面BDE与平面BDP夹角的余弦值．课时作业(五十七)向量法求空间角(二)[解]

(1)证明：在四棱锥P-ABCD中，连接AC交BD于点O，连接OE，由四边形ABCD为正方形，得O为AC的中点，又E是棱PA的中点，则OE∥PC，而PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，所以PC∥平面BDE．(2)在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，因为AD，DC⊂平面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥DC，又DA⊥DC，