51　第六章　第48课时　数列求和

第六章数列第48课时数列求和[考试要求]

1．熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．2．掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常用方法．理法先行·题练固本

知识点2

分组求和法与并项求和法(1)分组求和法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(2)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．知识点3

错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．

1．(人教A版选择性必修第二册P40习题4.3T3(1)改编)已知an＝2n＋n，则数列{an}的前n项和Sn＝_________________．

2．(人教A版选择性必修第二册P40习题4.3T3(1))求和：(2－3×5-1)＋(4－3×5-2)＋…＋(2n－3×5-n)＝_____________________．

3．(人教B版选择性必修第三册P44习题5－3CT1改编)数列{(n＋3)·2n-1}前20项的和为______________．

22×220－2

考点深研·题型突破

思维建模：分组求和模型第1步

进行拆分：把一个数列拆分为两组容易求和的数列．第2步

分组求和：每组数列求和．第3步

每组相加：每组结果相加．【教用·通性通法】分组求和法，就是把一类既不是(或不明显是)等差数列，也不是(或不明显是)等比数列的数列适当拆开，分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，最后将其合并的方法．[多维变迁](2026·南京模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋λ(n∈N*，λ∈R)．(1)求λ的值，并写出数列{an}的通项公式；(2)若bn＝(－1)nlog2a2n+1，求数列{bn}的前2n项和T2n．[解]

(1)由Sn＝2n＋λ，知当n＝1时，a1＝2＋λ．当n≥2时，an＝Sn－Sn-1＝2n＋λ－2n-1－λ＝2n-1．因为数列{an}为等比数列，所以a1＝2＋λ适合an＝2n-1，所以λ＝－1，an＝2n-1．(2)由an＝2n-1，则bn＝(－1)nlog2a2n+1＝(－1)n2n，所以T2n＝b1＋b2＋b3＋…＋b2n＝(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋(－4n＋2＋4n)＝2n．【教用·备选题】(2025·昆明诊断)已知等差数列{an}满足an＋an+1＝4n．(1)求{an}的通项公式；(2)若bn＝ancos

nπ，记{bn}的前n项和为Sn，求S2n．

考点二

错位相减法求和[典例2]

(2024·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn＝3an＋4．(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝(－1)n-1nan，求数列{bn}的前n项和Tn．[解]

(1)因为4Sn＝3an＋4，①所以当n≥2时，4Sn-1＝3an-1＋4，②则当n≥2时，①－②得4an＝3an－3an-1，即an＝－3an-1．当n＝1时，由4Sn＝3an＋4，得4a1＝3a1＋4，所以a1＝4≠0，所以数列{an}是以4为首项，－3为公比的等比数列，所以an＝4×(－3)n-1．

[考题探源]1．(人教A版选择性必修第二册P56复习参考题4T12(1))已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an+1＝2Sn＋2(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．[解]

由an+1＝2Sn＋2(n∈N*)，可得an＝2Sn-1＋2(n∈N*，n≥2)，两式相减可得an+1＝3an(n∈N*，n≥2)，又a2＝2a1＋2，数列{an}是等比数列，所以a2＝2a1＋2＝3a1，则a1＝2，故an＝2×3n-1．2．(人教A版选择性必修第二册P56复习参考题4T11(2))已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1(n∈N*)，若bn＝3n-1，令cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．

思维建模：错位相减模型第1步

乘公比、错位写：前n项和表达式两边同乘等比数列的公比q，达到错位的效果．第2步

上减下：将原式和错位后的式子相减．第3步

等比和：对第2步中减出的中间部分，按等比数列求和整理．第4步

系数化1：把Sn前面的系数化为1．

[解]

(1)当n＝1时，2S1＝a1，即2a1＝a1，所以a1＝0．当n≥2时，由2Sn＝nan，得2Sn-1＝(n－1)an-1，两式相减，得2an＝nan－(n－1)an-1，即(n－1)an-1＝(n－2)an，

√

思维建模：裂项相消模型第1步

裂项：化商为差，大项减小项．第2步

定系数：确定一个系数，保证裂项后的数列与原数列相等．第3步

相消：找到相消规律，确定剩余项数．第4步

化简：化为最简形式．【教用·易错提醒】裂项是通分的逆变形，裂项时需要注意两点：一是要注意裂项时对系数的调整；二是裂项后，从哪里开始相互抵消，前面留下哪些项，后面对应留下哪些项，应做好处理．

1．(链接考点一)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an+1an＝2n，则S2

026＝(

)A．22

026－1

B．3×21

013－1C．3×21

013－2

D．3×21

013－3√

2．(链接考点一)大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题．已知该数列{an}的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，记bn＝(－1)n·an，n∈N*，则数列{bn}的前20项和是(

)A．110

B．100C．90

D．80√

√√

4．(链接考点二)(人教A版选择性必修第二册P40习题4.3T3(2))求和：1＋2x＋3x2＋…＋nxn-1＝_________________________．

1．(