27　第三章　第26课时　导数与函数的最值

第三章一元函数的导数及其应用第26课时导数与函数的最值[考试要求]

1．理解函数最值与极值的关系．2．会求闭区间上函数的最大值、最小值．3．了解最值在现实生活中的应用．理法先行·题练固本知识点1

函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则________为函数的最小值，________为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则________为函数的最大值，________为函数的最小值．f(a)

f(b)f(a)f(b)知识点2

求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的____；(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是____值，最小的一个是____值．[常用结论]1．若函数在开区间(a，b)内的极值点只有一个，则其极值点为函数的最值点．2．若函数在闭区间[a，b]上的最值点不是端点，则其最值点亦为其极值点．极值最大最小

－10

2．(人教A版选择性必修第二册P104复习参考题5T14)用总长14.8

m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一边的长比另一边的长多0.5

m，那么高为______________m时，容器的容积最大，最大容积为______________m3．

1.21.8

2e2

考点深研·题型突破

x1(1，2]f'(x)＋0－0＋f(x)单调递增

单调递减

单调递增

通性通法：求函数f(x)在[a，b]上的最值时：(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值．(2)若函数在闭区间[a，b]上有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．

√

考向2

含参函数的最值[典例2]

求函数f(x)＝x3－ax2－a2x在[0，＋∞)上的最小值．

[母题探究](综合变式)当a>0时，求函数f(x)＝x3－ax2－a2x在[－a，2a]上的最值．

通性通法：求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值．

√

若x∈(2，＋∞)，则f'(x)<0，此时函数f(x)在(2，＋∞)上单调递减，所以f(x)在x＝2处取得极大值，也是最大值，即f(2)＝4a＝－8，解得a＝－2，符合题意．综上可知，a＝－2．故选A．]通性通法：已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．

√A

[由题意得f'(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．当f'(x)>0时，得x<0或x>2，当f'(x)<0时，得0<x<2，故函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0，2)，即x＝2时，函数f(x)取得极小值f(2)＝－1，画出f(x)的图象如图．

5

通性通法：解决最优化问题，应从以下几个方面入手：(1)设出变量，找出函数关系式，确定定义域；(2)在实际应用问题中，若函数f(x)在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点．

225

[典例]

(多选)(2026·昆明模拟)已知f(x)＝x3－3x2＋1，则(

)A．x＝2是f(x)的极大值点B．f(x)有且仅有三个零点

C．当且仅当x<－1时有f(x)<－3D．点(1，－1)是曲线y＝f(x)的对称中心√√√BCD

[对于A，因为f(x)＝x3－3x2＋1的定义域为R，所以f'(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，所以在(－∞，0)上f'(x)>0，f(x)单调递增，在(0，2)内f'(x)<0，f(x)单调递减，在(2，＋∞)上f'(x)>0，f(x)单调递增，所以x＝2是函数f(x)的极小值点，故A错误；对于B，由上可得f(x)极大值＝f(0)＝1，f(x)极小值＝f(2)＝－3，所以函数f(x)有且仅有三个零点，故B正确；对于C，由上可知f(x)的单调性和极值，当x<－1时，f(x)单调递增，又f(－1)＝－3，所以当x<－1时，f(x)<－3，当x≥－1时，f(x)≥f(2)＝－3，所以当且仅当x<－1时，f(x)<－3，故C正确；对于D，f(1＋x)＋f(1－x)＝(1＋x)3－3(1＋x)2＋1＋(1－x)3－3(1－x)2＋1＝－2，所以点(1，－1)是曲线y＝f(x)的对称中心，故D正确．故选BCD．]

√

√

√√√

4．(链接考点三)(2026·榆林模拟)滑县木版画是河南安阳传统的手工艺品，创始于明朝初期，距今已有六百多年的历史，滑县木版画制作工艺考究，至今一直都是纯手工制作，颜色精细淡雅，色彩和谐，人物造型夸张，线条刚劲有力，极具当地的民俗特色．张华的伯伯制作滑县木版画并出售，寒假期间张华通过调研得知伯伯制作的A系列木版画的成本为30元/套，每月的销售量f(x)(单位：套)与销售价格x(单位：元/套)近似满足关系式f(x)＝(x－90)2，其中30<x<90，则当A系列木版画销售价格定为

__________元/套时，月利润最大．

50

50

[设A系列木版画的月利润为g(x)，则g(x)＝f(x)(x－30)＝(x－90)2(x－30)，30<x<90，可得g'(x)＝2(x－90)(x－30)＋(x－90)2＝3(x－90)(x－50)，令g'(x)＝0，则x＝50，当x∈(30，50)时，g'(x)>0，当x∈(50，90)时，g'(x)<0，故g(x)在(30，50)内单调递增，在(50，90)内单调递减，所以当x＝50时，利润g(x)取到极大值，也是最大值，即当A系列木版画销售价格定为50元/套时，月利润最大．]题、单项选择题

1．(2025·开封期中)已知函数f(x)＝(x＋2)ex，x∈[－5，5]，则f(x)的最小值为(

)A．－3e-3

B．－3e-5C．7e5

D．－e-3√课时作业(二十六)导数与函数的最值题

[由f(x)＝(x＋2)ex，得f'(x)＝ex＋(x＋2)ex＝(x＋3)ex．当x∈[－5，－3)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(－3，5]时，f'(x)>0，f(x)单调递增，所以函数f(x)在x＝－3处取得极小值，也是最小值．f(－3)＝(－3＋2)e-3＝－e-3，即f(x)的最小值为－e-3，故选D．]√题/p>

题/p>

题/p>

√题/p>

√题/p>

题/p>

√题、多项选择题

5．(2026·重庆模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为y＝3x＋1．则下列结论正确的有(

)A．a＝2

B．b＝－2

C．f(x)在[－3，1]上的最大值为13

D．f(x)在[－3，1]上的最小值为4√题/p>

题/p>

x－3(－3，－2)－21f'(x)

＋0－0＋

f(x)8↗极大值↘极小值↗4题以f(x)的极大值为f(－2)＝13，又f(1)＝4，所以f(x)在[－3，1]上的最大值为13，最小值不为4，故C正确，D错误．故选AC．]题/p>

√√题/p>

题/p>

题、填空题7．(2026·临沂模拟)已知函数f(x)＝x2－4x＋(x－2)cos

x－sin

x在x＝a处取得最小值m，则m＋a＝______________．

－2－sin

2题2－sin

2

[函数f(x)＝x2－4x＋(x－2)cos

x－sin

x，可得f'(x)＝(x－2)(2－sin

x)，因为2－sin

x>0，当x<2时，f'(x)<0；当x>2时，