65　第八章　第59课时　直线的方程

第八章解析几何第八章解析几何第59课时直线的方程[考试要求]

1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2．根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)．理法先行·题练固本

向上0°{α|0°≤α<180°}

正切值tan

α知识点4

直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率________与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率_________________两点式过两点_________________(x1≠x2，y1≠y2)与两坐标轴均不垂直的直线y＝kx＋by－y0＝k(x－x0)

名称几何条件方程适用条件截距式纵、横截距___________不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式

Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直线

[常用结论]1．直线的斜率k和倾斜角α之间的函数关系αkk≥0不存在k<0牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论．”

√

√

3．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2

T2改编)已知A(3，5)，B(4，7)，C(－1，x)三点共线，则实数x＝______________．

－3

4．(苏教版选择性必修第一册P13练习T2)直线y＝k(x＋1)(k>0)可能是(

)B

[因为k>0，故A，C不正确；当x＝－1时，y＝0，直线过点(－1，0)，故选B．]√5．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2

T7)过点P(2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为__________________________．

3x－2y＝0或x＋y－5＝06．(湘教版选择性必修第一册P64习题2.1T5)如图，已知直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(

)A．k1<k2<k3

B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1

D．k1<k3<k2√D

[由题图知，直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1<0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以0<k3<k2，因此k1<k3<k2．故选D．]考点深研·题型突破

√√√

[母题探究]1．(变条件)若将本例(2)中条件改为“A(1，－2)，B(2，1)，过点P(0，－1)的直线l与线段AB有公共点”，求直线l的斜率k的取值范围．

2．(变结论)若本例(2)中条件不变，求直线l的倾斜角α的取值范围．[解]

由题意可知直线l的倾斜角介于直线PA与PB的倾斜角之间．又直线PB的倾斜角是120°，直线PA的倾斜角是45°，所以α的取值范围是45°≤α≤120°．

√√√(2)(多选)(2025·随州月考)若直线l过点A(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l的方程可能为(

)A．x－y＋1＝0

B．x＋y－3＝0C．2x－y＝0

D．x－y－1＝0√√√

通性通法：求直线方程的两种方法(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．考点三

直线方程的应用[典例3]

已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．

思维建模：含参直线过定点模型第1步

合并：含参项合并，其余项保留．第2步

列方程组：根据含参项系数为零，其余项也为零，列方程组．第3步

求解得点：解方程组，得定点的坐标．【教用·通性通法】(1)直线过定点问题，将参数的“系数”化为0，解关于x，y的方程组可求定点．(2)求参数值或范围：注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．(3)求解与直线方程有关的最值问题：先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．【教用·备选题】已知直线l过点P(1，4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点．(1)当|PA||PB|最小时，求l的方程；(2)当|OA|＋|OB|最小时，求l的方程．

√

√

√

4．(链接考点二)在△ABC中，已知点A(5，－2)，B(7，3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则MN所在直线的方程为__________________．

5x－2y－5＝0

题号135246879101112√一、单项选择题1．(2025·长沙期末)经过两点A(2，m)，B(－m，4)的直线l的倾斜角为135°，则m的值为(

)A．－2

B．1C．3

D．4课时作业(五十九)直线的方程题号135246879101112

√

题号135246879101112

题号135246879101112√3．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2

T10改编)若直线Ax＋By＋C＝0经过第一、二、四象限，则(

)A．AB>0且BC>0

B．AB>0且BC<0C．AB<0且BC>0

D．AB<0且BC<0题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112√

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112√

题号135246879101112√

题号135246879101112√√

题号135246879101112√

题号135246879101112√AB

[直线y＝ax－2a＋3＝a(x－2)＋3过定点(2，3)，A正确；当m＝0时，直线方程为x＝2，B正确；题号135246879101112

题号135246879101112

题号135