控制工程基础 课件 第4-7章 线性系统稳定性分析- 控制系统频域校正

第四章线性系统稳定性分析（I）2

所谓稳定性是指系统在受到外界力的作用后恢复平衡状态的能力。如果系统受到有界扰动，不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能以足够的准确度恢复到初始平衡状态，则这种系统称为大范围稳定的系统；如果系统受到有界扰动，只有当扰动引起的初始偏差小于某一范围时，系统才能在取消扰动后恢复到初始平衡状态，否则就不能恢复到初始平衡状态，则称为小范围稳定的系统。

4.1稳定的概念3如果系统受到有界扰动，系统在取消扰动后无法恢复到初始平衡状态，则称为不稳定的系统。4

对于稳定的线性系统，它必然在大范围内和小范围内都能稳定，只有非线性系统才可能有小范围稳定而大范围不稳定的情况。单摆运动5ab6

线性控制系统稳定性的定义如下：若线性控制系统在初始扰动

(t)的影响下，其过渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零，则称系统为稳定。反之，则为不稳定。线性系统的稳定性只取决于系统自身固有特性，而与输入信号无关。根据定义输入

(t)，其输出为脉冲过渡函数g(t)。如果当t→∞时，g(t)收敛到原来的平衡点，即有

那么，线性系统是稳定的。4.2线性系统稳定性条件7不失一般性，设n阶系统的闭环传递函数为式中，0<

k<1

。即系统有q个实极点和r对共轭复数极点。取拉氏反变换，并设全部初始条件为零，得到系统单位脉冲响应的时间表达式：式中；

k=arccos

k

；Ak、Bk是与C(s)在对应闭环极点上的留数有关的常数。8

系统稳定的条件是

只要满足如下条件，上式成立，系统稳定。线性系统稳定的充要条件是：闭环系统特征方程的所有根都具有负实部，或者说，闭环传递函数的极点均位于s左半平面（不包括虚轴）。线性系统稳定的充要条件9线性系统稳定的充要条件是：闭环系统特征方程的所有根都具有负实部，或者说，闭环传递函数的极点均位于s左半平面（不包括虚轴）。

根据稳定的充要条件，要确定系统的稳定性，必须知道系统特征根的全部符号。如果能解出全部根，则立即可判断系统的稳定性。然而对于高阶系统，求根的工作量很大，常常希望使用一种直接判断根是否全在s左半平面的替代方法。劳斯代数稳定判据就是这个替代方法4.3代数稳定性劳斯判据劳斯判据是一种根据系统闭环特征方程式来判断特征根在s平面的位置，从而判定系统稳定性的代数判别方法。是劳斯于1877年提出的，因此叫劳斯稳定性判据。它能够判定一个多项式方程中是否存在位于复平面右半部的正根，而不必求解方程。由此劳斯获得了亚当奖。4.3.1系统稳定的必要条件式中，a0>0，ai

≠0,si是系统的n个闭环极点，i=1,2,

,

n。根据代数方程的基本理论，下列关系式成立：设线性系统的闭环特征方程为12

从上式可以导出，系统特征根都具有负实部的必要条件为：

aiaj>0(i,j=1,2,

,

n)即闭环特征方程各项同号且不缺项。

如果特征方程不满足上式的条件，系统必然不稳定。但满足上式，还不能确定一定是稳定的，因为上式仅是必要条件。要得到系统稳定的充要条件，必须列写劳斯表。131、劳斯表的第一行的组成：从特征方程式的最高幂次项系数开始，每隔一幂次项系数写一个，直到没有可写的系数了；2、劳斯表的第二行由剩余的项的系数从幂次高的到低的依次列写组成；3、从第三行开始，将由计算公式来决定。

劳斯表的列写步骤：4.3.2劳斯稳定判据劳斯表的组成劳斯表sna0（c11）

a2（c12）

a4（c13）……sn−1a1（c21）

a3（c22）

a5（c23）

……sn−2

c31

c32

c33……sn−3

c41

c42

c43……………………s0

an表中：1）最左一列元素按s的幂次排列，由高到低，只起标识作用，不参与计算。2）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。3）从第三行起各元素，是根据前二行的元素计算得到。

(i

3,j=1,2,)闭环特征方程式：劳斯判据判断系统稳定性的步骤：稳定的充要条件：1、系统的闭环特征方程式s的幂次不缺项；2、全部系数为正值；3、由该方程式作出的劳斯表中第一列全部元素都要是正的。根的分布情况如果劳斯表的第一列元素不全为正的，那么劳斯表中第一列元素符号改变的次数，等于该特征方程位于右半s平面上根的个数。16例4-1设有下列特征方程D(s)=s5+2s4+

3s3+4s2

+5s1+7=0，试用劳斯判据判别该特征方程的正实部根的数目。解：劳斯表特征方程式不缺项，且系数都为正值，劳斯表的第一列元素符号改变了2次，∴系统不稳定，且s右半平面有2个根。s5s4s3s2s1s0135247

111.5-5.57007第一种特殊情况：劳斯表中某行的第一列元素为零，而其余各项不为零，或不全为零。对此情况，有两种处理方法。第二种特殊情况：劳斯表中某行元素全为零。对此情况，可做辅助方程来重新列写劳斯表。4.3.3劳斯判据的两种特殊情况18例4-3系统的特征方程为

D(s)=2s3+4s3+2s2

+4s+1=0试用劳斯判据判断系统的稳定性。解：系统的劳斯表为第一种特殊情况出现，可作如下处理：s4s3s2s1s02214401①用一个很小的正数ε来代替第一列为零的项，从而使劳斯表继续下去。②可用因式（s+a）乘以原特征方程，其中a可为任意正数，再对新的特征方程应用劳斯判据。19

∵特征方程式不缺项且系数为正值，ε→0+时，c41<0，劳斯表中第一列元素符号改变了两次。∴系统不稳定，有两个正根。

②

（s+1）乘以原特征方程，得新的特征方程为：

D1(s)

=D(s)(s+1)=2s5+6s4+6s3+6s2+5s+1=0s4s3s2s1s0221440(ε)11s5s4s3s2s1s0

265661414/3-1126/301①0特征方程式不缺项且系数为正值，劳斯表中第一列元素符号改变了两次。结论是：系统不稳定，有两个正根（

s=-1是一个负实根）。20例4-4设某线性系统的闭环特征方程为

D(s)=s5+2s4+26s3+52s2+25s+50=0试用劳斯判据判断系统稳定性。解:该系统的劳斯表如下此时，特征方程中存在对原点对称的根（实根，共轭虚根或共轭复数根）。对此情况，可作如下处理：s5s4s3s2s1s012625252500021特征方程式不缺项且系数为正值，劳斯表中第一列元素的符号无变化，∴系统没有正实部的根。解辅助方程求出系统有两对纯虚根，系统处于临界（不）稳定。两对纯虚根分别是s=±j1和s=±5√2j，剩下的一个根是s=-2。

用全为零上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助方程求导，用所得方程的系数代替全零行，继续劳斯表。s5s4s3s2s1s01262525250

265088.6050

F(s)=2s4

+52s2+50

F

(s)=8s3+104s81040000劳斯判据小结控制系统稳定的充要条件是：1、系统的闭环特征方程式s的幂次不缺项；2、全部系数为正值；3、由该方程式作出的劳斯表中第一列全部元素都要是正的。两种特殊情况：第一种特殊情况：劳斯表中某行的第一列元素为零，而其余各项不为零，或不全为零。对此情况有以下两种处理方法：1、用一个很小的正数ε来代替第一列为零的项；2、可用因式（s+a）乘以原特征方程。第二种特殊情况：劳斯表中某行元素全为零。对此情况，可做辅助方程来重新列写劳斯表。23①确定一个或两个参数变化对系统稳定性的影响例4-5已知系统结构图如下，试确定使系统稳定时K的取值范围。

解：系统特征方程式s3+4s2+3s+K=0要使系统稳定，劳斯表中第一列元素均大于零。0<K<12s3s2s1s013

4K(12

K)/4Ks3+4s2+3sR(s)C(s)

K﹣+4.3.4劳斯判据在系统分析中的应用24②确定系统的相对稳定性

例4-6试用劳斯判据判别系统是否有具有s>1的稳定裕量解：1)

劳斯表中第一列元素均为正∴系统在s右半平面没有根，系统是稳定的。s3s2s1s0110

6696s3+6s2+5sR(s)C(s)

5s+6﹣+D(s)=s3+6s2+10s+625

劳斯表中第一列元素全为正，故系统在s1右半平面没有根。因此，系统具有s>1的稳定裕量。s13s12s11s1011312/3

12)令s=s1

1坐标平移，得新特征方程为s13+3

s12

+s1

+

1=0劳斯判据小结系统的闭环特征方程式s的幂次不缺项，全部系数为正值，且由该方程式作出的劳斯表中第一列全部元素都要是正的。劳斯判据下控制系统稳定的充要条件第四章线性系统稳定性分析（II）主讲人：XXX电话：XXXXXXXXXXXemail:XXX@简单回顾：开环频率特性曲线ReIm0

1

=0

（1）

=0，Gk(j0)=k

0

；

（2）

=，

Gk(j

)=0270

；

幅值和相角的变化规律：当

增加时，幅值从k到0，相角是从0

到270

单调递减的。（3）与虚轴的交点：

(

)从0

变化到90

，曲线一定与虚轴的负半轴相交于某一点；（4）与实轴的交点：

(

)从-90

变化到180

，曲线一定与实轴的负半轴相交于某一点。k结论：F(s)平面的原点就是G(s)H(s)的(-1，j0)点。

4.4奈奎斯特稳定判据是美国Bell实验室的奈奎斯特于1932年提出的；是以系统的开环幅相频率特性曲线判别系统稳定性的一种准则；数学基础是复变函数中的幅角原理，或称为映射定理。4.4.1

幅角原理对于复变函数式中，zi，pj

分别是F(s)的零点和极点。j

0zi

AImRe0F(A)pj[s][F(s)]s所在的平面为s平面，F(s)的值域构成的平面称为F(s)平面；F(s)是复变量s的单值函数；s平面上，函数F(s)的零点映射为F(s)平面的原点，函数F(s)的极点映射为F(s)平面的无限远点，除零、极点外的普通点映射为F(s)平面的有限远点。如果某一普通点在s平面移动形成一条封闭的曲线(曲线不经过任意零点和极点)，那么在F(s)平面会有一条包围原点的曲线与之对应。

柯西幅角原理【柯西幅角原理】s平面上不通过F(s)任一零点和极点的封闭曲线

s，包围复变函数F(s)的z个零点，p个极点。当s以顺时针方向沿着封闭曲线

s移动一周时，在F(s)平面映射的曲线

F将以逆时针方向绕原点转动N圈。N，z，p的关系是：N=p-z。j

0

sziAF(s)ImRe0

FB=F(A)pj[s][F(s)]N>0表示

F曲线逆时针运动，包围原点；N=0表示

F曲线逆时针运动，不包围原点；N<0表示

F曲线顺时针运动，包围原点。柯西幅角原理特别注意：关于N，z，p的关系，已知其中两个，可以求另外一个，如：p=N+z，或

z=p-N4.4.2奈奎斯特稳定性判据奈奎斯特当年巧妙运用了幅角原理得到了系统稳定性判据。设系统的结构图如图所示：G(s)R(s)C(s)﹣+H(s)构造辅助函数F(s)，F(s)的表达式：可以看出系统的开环传递函数G(s)H(s)与F(s)只相差常数1。假设：

系统的开环传递函数G(s)H(s)具有如下形式：于是，F(s)的表达式为：而系统的闭环传递函数的表达式为：实际上，辅助函数F(s)是闭环特征多项式和开环特征多项式之比。

F(s)的极点是开环传递函数的极点，零点是闭环传递函数的极点。应用幅角原理因为闭环特征方程所有的正实部根一定被包围整个s右半平面的曲线所包围；所以，构造一条半径为无穷大，顺时针包围s右半平面的封闭曲线

s，如图1所示，

它包围闭环特征方程所有的正实部根。（s的取值:

j+j

）该曲线，被称为奈氏轨线或奈氏路径。

0j

s+图1半径无穷大曲线

s应用幅角原理

0j

s+图1半径无穷大曲线

sReIm0

1图2F(s)和G(s)H(s)平面及其映射的曲线

FGH平面F平面

F假设s在

s曲线上顺时针移动，映射到F(s)平面包围原点的某条曲线

F，如图2所示。

F包围F平面的原点，由于F=1+GH，所以,

F曲线就是包围GH

平面的（-1,j0)点。而

F曲线，实际上，就是前面我们所绘制的幅相频率特性曲线G(j

)H(j

)曲线。j

0

sziAF(s)ImRe0

FB=F(A)pj[s][F(s)]

0j

s+ReIm0

1GH平面F平面

Fs平面幅角原理的图与幅角原理实际应用的图对照zp

0j

s+39综上所述，可以得到如下结论：F(j

)

曲线包围原点的圈数，也就是G(j

)H(j

)曲线包围(-1，j0)点的圈数N可以数出来，开环特征方程的正实部极点数p可以求出来，闭环特征方程式的正实部极点数z可由下面的式子计算出来：z=p-R。若z=0，系统是稳定的。若z

0，系统是不稳定的。

ReIm0

1GH平面F平面

Fs平面

奈氏判据：（一般意义下，开环传递函数无积分环节）

已知开环系统特征方程式在s右半平面根的个数为P，开环奈氏曲线（

:0）包围(1，j0)点的圈数为N，则闭环系统特征方程式在s右半平面根的个数为Z，且有

Z=P

N

若Z=0，闭环系统是稳定的。若Z

0，闭环系统是不稳定的。

试用奈氏判据判断系统的稳定性。41

例4-8

一单位反馈系统，其开环传函当

=0，Gk(j0)=-k

180

当

，Gk(j

)=0-90

ReIm0

=0

k

解：已知p=1频率特性

当

k<

1时，k>1，R=1

z=p

R=0∴闭环系统是稳定的。当

k>

1，k<1，R=0，z=p

R

=

1

闭环系统是不稳定的。42ReIm0

=0

k

143

+jε（2）开环有积分环节的系统

由于开环极点因子1/s

，既不在的s左半平面，也不在的s右半平面，开环系统临界稳定。在这种情况下，不能直接应用奈氏判据。

j

如果要应用奈氏判据，可把零根视为稳定根。因此，在数学上作如下处理：在s平面上的s=0邻域作一半径无穷小ε的半圆，绕过原点。-jε44

0j

s+ImRe0

=0+

增补线

=0--jε+jε45用奈氏判据判断稳定性。解：（1）从开环传递函数，知p=0

（2）作开环极坐标图起点：Gk(j0)=

90

终点：Gk(j

)=0

270

与坐标轴交点：

例4-9已知系统的开环传函为

令虚部=0，得，

46系统的开环极坐标图如图示：R=

2

z=p

R=2∴闭环系统是不稳定的。ImRe0

=0+

增补线

1

=0-所作的增补线如虚线所示。47

(3)由奈氏判据判稳的实际方法用奈氏判据判断系统稳定性时，一般只须绘制

从0时的开环幅相曲线，然后按其包围(-1，j0)点的圈数R（逆时针为正，顺时针为负）和开环传递函数在s右半平面根的个数P，根据公式

Z

=P

2R来确定闭环特征方程正实部根的个数，如果Z=0，闭环系统是稳定的。否则，闭环系统是不稳定的。如果开环传递函数包含积分环节，且假定个数为N，则绘制开环极坐标图后，应从

=0+对应的点开始，补作一个半径为，逆时针方向旋转N90的大圆弧增补线，把它视为奈氏曲线的一部分。然后再利用奈氏判据来判断系统的稳定性。

例4-12已知系统的开环传函为48起点：Gk(j0)=270

终点：Gk(j

)=090

与坐标轴交点：

x=101/2

Re(

x)=0.1k

开环极坐标图如图用奈氏判据判断稳定性。解：（1）从开环传递函数知

p=1（2）作开环极坐标图49ImRe0

=0

增补线

10.1k(3)稳定性判别:因为是1型系统，需作增补线如图续上一页

当

0.1k>

1，k<10时，

R=-1/2，z=p

2R

=2

闭环系统是不稳定的。

当

0.1k<

1，k>10时，

R=1/2，z=p

2R

=0

闭环系统是稳定的。51ReIm0

1(+)(

)4.4.3伯德图上的稳定性判据

由图可知，幅相曲线包不包围(

1，j0)点。此结果也可以根据

增加时幅相曲线穿越实轴区间(

，

1)的次数决定(自下向上幅角减小，称为负穿越，用N

表示；自上向下幅角增加，称为正穿越，用N+表示)。

R=N

N

自实轴区间（

，

1）开始向下的穿越称为半次正穿越，自实轴区间（

，

1）开始向上的穿越为半次负穿越。极坐标图与伯德图的对应关系ReIm0

1(+)(

)-180

(

)/(°)0

L(

)/dB(

)(+)53-180

(

)/(°)0

L(

)/dB(

)(+)对数频率稳定判据：一个反馈控制系统，其闭环特征方程正实部根个数Z，可以根据开环传递函数s右半平面极点数P和开环对数幅频特性为正值的所有频率范围内，对数相频特性曲线与

180

2k

线的正负穿越次数之差R=N

N

确定

Z=P

2RZ为零，闭环系统稳定；否则，不稳定。正负穿越的说明极坐标图（在实轴（

，

1）区间）自下向上幅角减小，称为负穿越，用N

表示；自上向下幅角增加，称为正穿越，用N+表示自实轴开始向下的穿越称为半次正穿越，自实轴开始向上的穿越为半次负穿越。对数坐标图（在幅频值大于零的区间内）自上向下幅角减小，称为负穿越，用N

表示；自下向上幅角增加，称为正穿越，用N+表示自2kπ+π线开始向上的穿越称为半次正穿越，自2kπ+π线开始向下的穿越为半次负穿越。ReIm0

1(+)(

)-180

(

)/(°)0

L(

)/dB(

)(+)对数频率稳定性判据的特殊情况如果开环传递函数中含有积分环节，则做如下处理：在对数相频特性曲线

=0+的起始位置向上增补90°*N长度的曲线，这里N是积分环节数。计算穿越时，应把它考虑在内。

180

(

)/(°)0辅助线

c例4-13

一反馈控制系统其开环传递函数

56

解：由开环传递函数知P=0，作系统的开环对数频率特性曲线

180

(

)/(°)0

L(

)/dB1/T40dB/dec60dB/dec270辅助线用对数稳定判据判断系统稳定性。

显见N

=0，N

=1R=N

N

=

1Z=P

2R=2故系统不稳定。57G(s)H(s)有两个积分环节N

=2，故补画了0

到

180

的辅助线。58例4-14

一反馈控制系统其开环传递函数

解：①由开环传递函数知P=1。②作系统的开环对数频率特性曲线。

(

)=arctan0.01

90(180arctan

)

当

(

)=180

时，

g=10

，A(

g)=2L(

g)=20lg2③稳定性判别。G(s)H(s)有一个积分环节N

=1，故补画了

180

到

270的辅助线。

用对数稳定判据判断系统稳定性。59

L(

)/dB1040dB/dec

180

(

)/(°)027010020dB/dec20dB/dec90

g

c

160显然，

c

>

g，即A(

g)>1，N

=1，N

=1/2R=N

N

=

1/2Z=P

2R=0故系统稳定。本节结束第四章线性系统稳定性分析（III）主讲人：XXX电话：XXXXXXXXXXXemail:XXX@4.5开环频域指标63根据奈氏判据，系统开环幅相曲线临界点附近的形状，对闭环稳定性影响很大。

两个表征系统稳定程度的指标：相角裕度

和幅值裕度h。ReIm0-1ReIm0-1ReIm0-164

（1）幅值裕度h

：令相角为

180

时对应的频率为

g（相角穿越频率），频率为

g时对应的幅值A(

g)的倒数，定义为幅值裕度h

，即或20lgh=

20lgA(

g)

（2）相角裕度

：令幅频特性过零分贝时的频率为

c（幅值穿越频率），则定义相角裕度

为

=180+

(

c)65ReIm0-1A(

g)

h具有如下含义：如果系统是稳定的，那么系统的开环增益增大到原来的h倍时，则系统就处于临界稳定了。

具有如下含义：如果系统是稳定的，那么系统的开环相频特性变化

角度时，则系统就处于临界稳定了。

c66

180

(

)/(°)0

L(

)/dB

c

gh(dB)

67

解：系统的开环传递函数为

c=3.16

L(

)/dB140dB/dec1020dB/dec60dB/dec3.16

例4-15

已知单位负反馈的最小相位系统，其开环对数幅频特性如图示，试求开环传递函数；计算系统的稳定裕度。k=c=3.16

(

)=arctan

180

2arctan0.1

=180+

(

c)=arctan3.16

2arctan0.316=37.4当

(

g)=180时

180=arctan

g

180

2arctan0.1

g

arctan

g=2arctan0.1

g

求得

g=8.94因为

>0，所以闭环系统是稳定的。68例4-16试讨论斜率与稳定性的关系

69

L(

)/dB020151050

40dB/dec

20dB/dec

60dB/dec

(

)

0151050

90

180

270

140.7

219.3

g70

(

)=

90arctan0.2

arctan0.02

=180+

(

c)=90arctan0.2

carctan0.02

c

c

arctan0.2

g

+arctan0.02

g=90

71

最小相位系统中频段的斜率与

相对应：中频段的斜率为20dB/dec时，

>0。中频段的斜率为40dB/dec时，

可正可负，

如果为正，其值比较小。中频段的斜率为60dB/dec时，

一定为负。例4-17试分析与系统参数的关系72T1>T2

L(

)/dB020

40dB/dec

20dB/dec

1=1/T1

2=1/T2

40dB/dec

(

)

0

90

180

m73

=180+

(

c)=180+arctan

cT1

180arctan

cT2

=arctan(

c

/

1

)arctan(

c

/

2

)(1)

c

、

2保持不变，

1

(2)

c

、

1保持不变，

2

(3)

c保持不变，H=2/

1

称为中频段宽度

所以，

与中频段宽度有关：中频段宽度

，即：H

(4)K改变，

c就跟着变化，

自然就变。74结束第五章控制系统瞬态质量分析主讲人：XXX电话：XXXXXXXXXXXemail:XXX@第五章主要内容5.1典型输入信号和时域指标5.2一阶系统的时域响应5.3二阶系统的时域响应5.4高阶系统分析5.5系统暂态特性与开环频率特性关系765.1典型输入信号和时域指标77对线性系统，时域分析法的步骤和要点是：

（1）建立数学模型（微分方程式，传递函数）

（2）选择合适的输入函数（典型信号）。取决于系统常见工作状态，同时，在所有可能的输入信号中，选取最不利的信号作为系统的典型输入信号。

（3）求出系统输出随时间变化的关系（系统响应）

C(s)=G(s)R(s)c(t)=L−1[C(s)]

（4）根据时间响应确定系统的性能，包括稳定性、快速性和准确性等方面指标，看这些指标是否符合生产工艺的要求。785.1.1典型输入信号：（2）斜坡信号其数学表达式为（3）脉冲信号其数学表达式为（1）阶跃信号其数学表达式为t

f(t)01tf(t)0t

f(t)079（4）抛物线信号其数学表达式为（5）正弦函数其数学表达式为tf(t)0tf(t)0805.1.2阶跃响应指标：

系统输出（响应）：由动态（过渡）过程和稳态过程两部分组成:（2）稳态过程：时间t趋于无穷大时的响应过程，稳态过程表征输出量最大限度复现输入量的程度，用稳态性能描述。（1）动态（过渡）过程：系统从刚加入输入信号后，到系统输出量达到稳态值前的响应过程，称为动态（过渡）过程。在这一期间，由于系统具有惯性、摩擦以及其它一些原因，输出量不可能完全复现输入量的变化。根据结构和参数选择情况，过渡过程表现为衰减、发散或等幅振荡形式，如图所示。显然，一个可以运行的控制系统，其过渡过程必须是衰减的（稳定的）。81c(t)t0c(t)t0c(t)t0返回82

td，tr

,

tp

,

p

,

ts

等性能指标来衡量动态性能;ess稳态误差来衡量稳态准确性，其具体的定义见下一页：

pc(t)t010.50.05或0.02tr

tp

tstd工程上常用的性能指标动态性能指标：td，延迟时间，指响应曲线第一次达到稳态值的50%所需时间；tr

,

上升时间，指响应曲线从其稳态值的10%到90%所需时间；对于有振荡的系统，则取响应从0到第一次上升到稳态值所需的时间；tp

,峰值时间，指输出响应超过稳态值而达到第一个峰值所需的时间；

p%,最大超调量，指输出响应的最大值超过稳态值的最大偏离量与稳态值之比的百分数。ts，调节时间，在响应曲线稳态上，取±∆（∆=5%或2%）作为误差带，响应曲线达到并不再超出该误差带所需的最小时间。稳态性能指标：ess

稳态误差，当时间趋于无穷时，响应曲线的实际值与期望值之差。83系统三大性能指标td、tr

、

tp

，表征系统响应初始段的快慢，衡量系统响应的初始快速性；ts

，表示系统的过渡过程时间，反映系统的总体快速性；

p%

，是对动态偏差的度量，反映系统响应过程的平稳性；ess，稳态误差来衡量稳态准确性，复现输入信号的精度。后三者被称为系统的三大性能指标。845.2一阶系统的时域分析凡是可用一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。85T＝RC，时间常数。其典型结构图及传递函数为：RC

r(t)c(t)1Ts﹣+R(s)C(s)86tc(t)

０T

2T3T4T

当输入信号r(t)=1(t)时，系统的响应c(t)称作其单位阶跃响应。5.2.1单位阶跃响应

响应曲线在[0，）的时间区间中始终不会超过其稳态值，把这样的响应称为非周期响应。0.6320.950.9820.8651.087

０T

2T3T4T

tc(t)0.6320.950.9820.8651.0

一阶系统响应具备两个重要的特点：①可以用时间常数T去度量系统输出量的数值。②响应曲线的初始斜率等于1/T。88一阶系统的瞬态响应指标延迟td、上升tr、调整时间ts根据定义：︱c(ts)

1︱=

(

取5%或2%)5.3二阶系统的时域分析895.3.1

二阶系统单位阶跃响应1.二阶系统的数学模型标准化二阶系统的结构图为：闭环传递函数为

二阶系统有两个结构参数

(阻尼比)和

n(无阻尼振荡频率)

。二阶系统的性能分析和描述，都是用这两个参数表示的。s(s+2

n)R(s)C(s)

n2

﹣+微分方程式为：90

对于不同的二阶系统，阻尼比和无阻尼振荡频率的含义是不同的。

例如RLC电路RCr(t)c(t)L91

j

05.3.2

二阶系统的闭环极点二阶系统的闭环特征方程，即

s2+2

ns+

n2=0其两个特征根为：

上述二阶系统的特征根表达式中，随着阻尼比

的不同取值，特征根有不同类型的值，或者说在s平面上有不同的分布规律。分述如下：s1s2(1)

>1时，特征根为一对不等值的负实根，位于s平面的负实轴上，使得系统的响应表现为过阻尼的。(2)

=1时，特征根为一对等值的负实根，位于s平面的负实轴上，使得系统的响应表现为临界阻尼的。92(3)

0<

<1

时，特征根为一对具有负实部的共轭复根，位于s平面的左半平面上，使得系统的响应表现为欠阻尼的。

j

0s1=s2=

n

ns1s2

j

d

n

j

0

(4)=0时，特征根为一对幅值相等的虚根，位于s平面的虚轴上，使得系统的响应表现为无阻尼的等幅振荡过程。93

j

0

j

n

j

0(5)

<0时，特征根位于s平面的右半平面，使得系统的响应表现为幅值随时间增加而发散。-j

n

94

j

0s1s2

j

0s1=s2

ns1s2

j

d

n

j

0

j

0

j

n

阻尼比取不同值时，二阶系统根的分布955.3.3单位阶跃响应由式，其输出的拉氏变换为式中s1，s2是系统的两个闭环特征根。

对上式两端取拉氏反变换，可以求出系统的单位阶跃响应表达式。阻尼比在不同的范围内取值时，二阶系统的特征根在s平面上的位置不同，二阶系统的时间响应对应有不同的运动规律。下面分别加以讨论。（1）欠阻尼情况96

j

ns1s2

j

d

n0

97

欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应由两部分组成：稳态分量为1，表明系统在1(t)作用下不存在稳态位置误差；瞬态响应是阻尼正弦项，其振荡频率为阻尼振荡频率，而其幅值则按指数曲线衰减，两者均由参数

和

n决定。

c(t)t0c(t)t0（2）无阻尼情况c(t)=1cos

nt(t>0

)（3）临界阻尼情况98

此时响应是稳态值为1的非周期上升过程，其变化率t=0，变化率为0；t>0变化率为正，c(t)单调上升；

t→∞

，变化率趋于0。整个过程不出现振荡。tc(t)01

s1,2=-n（4）过阻尼情况99

响应特性包含两个单调衰减的指数项，且它们的代数和不会超过1，因而响应是非振荡的。（不同于一阶系统）100tc(t)01101横坐标

nt

，曲线只是

的函数。

=0,0.1,0.2,0.4,0.6,0.8,1,2102

p5.3.4欠阻尼二阶系统的动态性能指标

用tr

,

tp

,

p

,

ts

四个性能指标来衡量瞬态响应的好坏。c(t)t010.50.05或0.02tr

tp

tstd(1)上升时间tr

：从零上升至第一次到达稳态值所需的时间，是系统响应速度的一种度量。tr越小，响应越快。103(2)峰值时间tp：响应超过稳态值，到达第一个峰值所需的时间。104(3)超调量

p

：响应曲线偏离阶跃曲线最大值，用百分比表示。105

p只是

的函数，其大小与自然频率

n无关。

=0.2

p=52.7%=0.4

p=25.4%=0.6

p=9.5%

=0.707

p=4.3%

p

(4)调节时间ts

：响应曲线衰减到与稳态值之差不超过5%所需要的时间。

c(t)c()c()(t

ts)106

工程上，当0.1<

<0.9

时，通常用下列二式近似计算调节时间。△=5%△=2%107总结：各性能指标之间是有矛盾的。(1)ωn

一定，使trtp

使ts

(

一定范围)必须必须必须(2)

一定，使

trtpts

ωn

(3)

p

只由

决定必须108例5-2单位负反馈随动系统如图所示

与典型二阶系统比较可得：K=

n21+KA=2

n

s(s+1)R(s)C(s)K﹣+1+As解:

系统的闭环传递函数为109(2)求

K和A的值

(=0.05)

110例5-3已知单位负反馈系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试求系统的开环传递函数。

解：由系统的单位阶跃响应曲线，直接求出超调量和峰值时间。

p=20%tp=0.1

求解上述二式，得到

=0.456，

n=39.6(rad/s)。于是二阶系统的开环传递函数为

1c(t)t01.20.15.4高阶系统的时域分析G(s)，H(s)一般是复变量s的多项式之比，故上式可记为1115.4.1高阶系统的阶跃响应控制系统的基本结构如图所示。

其闭环传递函数为G(s)R(s)C(s)﹣+H(s)112式中，zj,pi是零点和极点，系统有n个极点和m个零点。设输入为单位阶跃函数，求得C(s)，假设系统的n个极点互不相同，应用部分分式法，取拉氏反变换，并设全部初始条件为零，得到系统单位阶跃响应的时间表达式：

根据能量的有限性，分子多项式的阶次m不高于分母多项式的阶次n。对上式进行因式分解，可以表示为

113

5.4.2闭环零、极点对系统的影响

1）高阶系统动态响应各分量的性质完全取决于极点在s平面上的位置，若极点位于左半平面，对应极点的分量将是衰减的，若极点位于右半平面，对应极点的分量是渐增的，若极点位于实轴上该分量是非振荡的，否则是振荡的，若位于虚轴上则是等幅振荡的。式中，K为稳态值，而Ai是与C(s)在对应闭环极点上的留数有关的常数。上式表明，如果系统的所有闭环极点都具有负实部，系统时间响应的各暂态分量都将随时间的增长而趋近于零，这时称高阶系统是稳定的。114

2）如果所有极点位于s左半平面，则各留数的相对大小决定了各分量的比重，若某一极点附近有零点存在，则该极点留数会较小，对系统的影响就会变小。当某一极点远离零点，越靠近其他极点和原点，则相应系数越大，对系统的影响就会变大；

一个零点和一个极点距离非常近，两者对系统的作用将会抵消，把这一对零极点称为偶极子。

3）位于s左半平面的且远离虚轴的极点，不仅其留数小，衰减速度也快，持续时间短，因此，对系统的动态行为影响小。在工程上常忽略这种极点。4）如果所有闭环极点都位于s的左半平面，则系统响应中所有指数项和阻尼振荡项都将随时间t的增大而趋近于0，于是系统单位阶跃稳态输出c(∞)为K。115

5.4.3闭环主导极点

在稳定的高阶系统里，对系统瞬态响应起主导作用的极点，称为主导极点。闭环主导极点应满足以下两个条件：1、在s平面距离虚轴比较近，且周围没有其他零极点；2、其实部的绝对值比其他极点实部的绝对值小5倍以上。一般情况，高阶系统具有振荡性，所以主导极点常常是一对共轭复数极点。找到了一对共轭复数极点，高阶系统的动态性能就可以应用二阶系统的性能指标来近似估计。应用闭环主导极点的概念，可以把一些高阶系统近似为一阶或二阶系统，以实现对高阶系统动态性能的近似评估。116试求阶跃响应。解：

c(t)=1

1.1e

t+0.11e

10t

≈

1

1.1e

t主导极点是s=1

，这时系统传递函数近似为tc(t)01例5-4已知闭环传递函数为

117

118

例5-5已知闭环传递函数为试求阶跃响应。解：

j

0

1

10

1.25

c(t)=1

0.22e

t

0.78e

10t119tc(t)01

0.22

0.78

0.78e

10t

0.22e

t

（1）零点不影响系统动态响应分量的个数，也不影响系统的稳定性；（2）零点改变了系统动态响应的形状；（3）过渡过程变快。零点起微分加快作用。偶极子影响下的曲线示意图120

弯曲部分121结束第七章控制系统频域校正（I）第七章主要内容7.1校正的基本概念7.2典型校正装置及其特性7.3频域法串联校正串联超前、串联滞后、PID频域校正7.4频域法反馈校正7.5控制系统的复合校正按扰动输入的复合校正、按参考输入的复合校正1237.1校正的基本概念124

7.1.1校正的定义

1.被控对象被控对象和控制装置同时进行设计是比较合理的。相当多的场合先给定受控对象，再进行系统设计。

系统设计的前提：①了解被控对象的工作原理和特点，如哪些参数需要控制，哪些参数能够测量，可通过哪几个机构进行调整，对象的工作环境和干扰等；②准确掌握被控对象的动态数学模型，性能要求等。125

校正：在原系统的基础上增加辅助装置，改变系统的结构，从而改善系统的性能，这就是“校正”

。校正装置：是在原系统中加入一些参数可以根据需要而改变的机构或装置，使系统整个特性发生变化，从而满足给定的各项性能指标。这一附加的装置称为校正装置。校正的作用：加入校正装置后使未校正系统的缺陷得到补偿，这就是校正的作用。2.几个基本概念126常见的时域指标有：

ess

p%trts系统的无差度N等；常见的频域指标有：

ch20lgh和

r

bMr等。注：性能指标应当根据系统要求有所侧重，不应苛求高性能指标，如调速系统对平稳性和稳态精度要求严格，而随动系统则对快速性期望更高。

7.1.2性能指标的提法1277.1.3常用校正方法常用的校正方法有串联校正、反馈校正、前馈校正和复合校正四种。

串联校正：该装置一般接在系统误差测量点之后和放大器之前，串接于系统前向通道之中；反馈校正：该装置一般是接在系统局部反馈通道之中。串联校正对象控制器反馈校正128

前馈校正或顺馈校正，是在系统主反馈回路之外采用的校正方式。这种校正方式的作用相当于对给定值信号进行整形或滤波后，再送入系统；前馈校正对象控制器另一种前馈校正装置接在系统可测扰动作用点与误差测量点之间，对扰动信号进行直接或间接测量，并经变换后接入系统，形成一条附加的对扰动影响进行补偿的通道。前馈校正对象控制器129

前馈校正可以单独作用于开环控制系统，也可以作为反馈控制系统的附加校正而组成复合控制系统。复合校正是在反馈控制回路中，加入前馈校正通路，组成一个有机整体。复合校正的两种方式：1、按扰动补偿的复合控制形式；2、按输入补偿的复合控制形式。130G2(s)Gn(s)G1(s)G2(s)Gr(s)G1(s)按扰动补偿的复合控制形式按输入补偿的复合控制形式131

在控制系统设计中，常用的校正方式为串联校正和反馈校正两种。究竟选用哪种校正方式，取决于系统中的信号性质、技术实现的方便性、可供选用的元件、抗扰性要求、经济性要求、环境使用条件以及设计者的经验等因素。

串联校正：装置简单，调整灵活，成本低。

反馈校正：其输入信号直接取自输出信号，校正装置费用高，调整不方便，但是可以获得高灵敏度与高稳定度。132

7.1.5设计方法在线性控制系统中，常用的校正装置设计方法有分析法和综合法两种。

分析法又称试探法。对原系统进行分析的基础上，根据系统的性能指标选取校正装置的方法。综合法又称期望特性法。根据系统要求的性能指标，绘制希望的开环对数幅频特性曲线，然后与原系统的开环对数频率特性曲线相减，得到校正装置的对数频率特性曲线，反写出传递函数

综合法的难点是：如何绘制出希望的开环对数幅频特性曲线。注意：两种方法仅适用于最小相位系统133

*7.1.4PID调节方法1）比例（P）控制2）积分（I）控制3）微分（D）控制4）比例-积分（PI）控制5）比例-微分（PD）控制6）比例-积分-微分（PID）控制频域校正的实质：在频域内进行系统设计，是一种间接设计方法。因为设计结果满足的是频域指标，而不是时域指标。在系统中加入校正装置后，达到的效果如下：（1）低频段足够高，以满足稳态精度；（2）中频段斜率-20dB/dec，并占据足够宽的区域，以满足动态性能要求；（3）高频段衰减足够快，以消除高频噪声的影响。注：若低频段和高频段已满足要求，只需改善中频段即可。1347.2典型校正装置1357.2.1典型无源超前校正网络超前校正网络的电路图如下图所示。图中，U1为输入信号，U2为输出信号。135

式中：

CU1

U2

R2

R1

如果输入信号源的内阻为零，而输出端的负载阻抗为无穷大，则无源超前网络的传递函数可写为

为分度系数，

为时间常数。136

采用无源超前网络进行串联校正时，校正后系统的开环放大系数要下降a倍，这样就满足不了稳态误差的要求，因此网络对开环放大系数的衰减需由提高放大器放大系数来补偿。现设网络对开环放大系数的衰减已由提高放大器放大系数所补偿，则无源超前网络的传递函数可写为

（1）超前特性∵a1∴故为超前网络。137

（2）对数频率特性曲线：

L(

)/dB0

(

)020lga20dB/dec

m

m138显然，超前网络对频率在1/aT至1/T之间的输入信号有明显的微分作用，在该频率范围内，输出信号相角比输入信号相角超前，超前网络的名称由此而得。当频率

等于最大超前角频率

m时，相角超前量最大，以

m表示，而

m又正好是

1

=1/aT和

2

=1/T的几何中点。现证明如下：将上式求导并令其等于零，得最大超前角频率

139或可见，

m出现在

1=1/aT和

2=1/T的几何中点。

上式表明，

m仅与a有关。a值选得越大，则超前网络的微分作用越强。但为了保持较高的系统信噪比，实际选用的a值一般不大于20。此外，

m处的对数幅频值为140Lc(

m)=10lga

L(

)/dB0

(

)020lga20dB/dec

m

m10lga超前网络的校正原理利用超前网络进行串联校正的基本原理，是利用超前网络的相角超前特性。将超前网络的交接频率1/aT和1/T选在待校正系统截止频率的两旁，并适当选择参数a和T，使已校正系统的截止频率和相角裕度满足性能指标的要求，从而改善闭环系统的动态性能。1411427.2.3典型无源滞后校正网络迟后校正网络的电路如图所示。图中，U1为输入信号，U2为输出信号。如果输入信号源的内阻为零，负载阻抗为无穷大，则无源迟后校正网络的传递函数可写为

CU1

R2

R1

U2143

（1）滞后特性：∵b<1∴相角总为负值，故为滞后网络

(2)对数频率特性曲线：

L(

)/dB0

(

)020lgb

20dB/dec

m

m1/T1/bT144

迟后网络对低频信号不产生衰减，而对高频信号有削弱作用。相频特性呈迟后特性，出现最大迟后角

m时的频率为

m，

m在

1=1/T及

2=1/bT的几何中点处。

采用无源迟后网络进行串联校正时，主要是利用其高频幅值衰减的特性，以降低系统的开环截止频率，提高系统的相角裕度。因此，力求避免最大迟后角发生在已校正系统开环截止频率

c

附近。选择迟后网络参数时，通常使网络的交接频率

2=1/bT远小于

c

，一般取此时，迟后网络在

c

处产生的相角迟后角为

6

。145

L(

)/dB0

(

)020lgb

20dB/dec

m

m

c

2=1/bT1/T

6

c

7.3频率法串联校正146

7.3.1串联超前校正利用超前网络进行串联校正的基本原理，是利用超前网络的相角超前特性。将超前网络的交接频率1/aT和1/T选在待校正系统截止频率的两旁，并适当选择参数a和T，使已校正系统的截止频率和相角裕度满足性能指标的要求，从而改善闭环系统的动态性能。闭环系统的稳态性能要求，可通过选择已校正系统的开环增益来保证。

用频域法设计无源超前网络的步骤如下：根据稳态误差要求，确定开环增益K；利用已确定的开环增益，计算未校正系统的截止频率和相角裕度；147

(3)计算校正后

c

和校正装置参数a。

如果对校正后系统的截止频率

c

已提出要求，则可选定

c

。在伯德图上查得未校正系统的L(

c

)值。取

m

=

c

，充分利用网络的相角超前特性，则从而求出超前网络的a。

L(

)/dB0

(

)020lga20dB/dec

m

m10lga

c

148

如果对校正后系统的零分贝频率

c

未提出要求，可从希望的相角裕度

*出发，通过下式求得

m

：式中，

m

—

超前校正装置产生的最大超前角；

*

—

系统要求的相角裕度；

—

未校正系统的相角裕度；

—考虑

(

c

c)所减的角度，(5º

10º)取值。求出校正装置的最大超前角

m以后，根据式149求得a。

在未校正系统的对数幅频特性上计算其幅值等于（

10lga）所对应的频率就是校正后系统的零分贝频率

c

，且

c

=

m。

(4)确定校正装置的传递函数。校正装置的两转折频率

1和

2可由下式确定：则150并以此写出校正装置应具有的传递函数为

(5)校验校正后系统是否满足给出指标的要求。因在步骤(3)中选定的

c

(或

m

)具有试探性，所以需要校验。

(6)根据超前网络的参数，确定超前网络的元件值。151

例7-1

某车辆跟驰系统，其开环传递函数为

画出未校正系统的伯德图。152

153

②求

c

在校正前系统的L(

)曲线上，算出L(

)=

3.92dB所对应的频率，就是校正后系统的幅值穿越频率

c

40(lg

c

lg17.89)=

3.92dB

c

=22.40(rad/s)154

155校正后对系统性能的影响：（1）低频段重合，校正后对系统的稳态误差没有影响。（2）中频段：

c

>

c

，

>

，校正后系统平稳性好，响应速度快。（3）高频段抬高，校正后高频滤波性能差。1567.3.2

串联滞后校正串联迟后网络的校正原理是利用其高频衰减特性

L(

)/dB04020

(

)/(

)180

901101001221L

(

)

(

)Lc(

)

c

157

(1)根据稳态误差要求，确定开环增益K;(2)利用已确定的开环增益，画出未校正系统的对数频率特性，确定未校正系统的

c

，

和h(dB);(3)期望的相角裕度

*，选择已校正系统的截止频率

c

；考虑到迟后网络在新的截止频率

c

处会产生一定的相角滞后

c(

c