26年山东省临沂市临沂第一中学期末学业水平质量调研数学试卷【附答案】

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求.1.命题“”的否定是（）A. B.C. D.2.设集合，，则（）A. B. C. D.3.已知是函数的极值点，则的极大值为（）A.0 B. C. D.24.已知曲线，把C上各点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，相当于把C（）A.向下平移4个单位长度 B.向上平移4个单位长度C.向下平移1个单位长度 D.向上平移1个单位长度5.已知实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.某高中安排6名学生到3个志愿服务地点参加实践活动，每个地点至少1人，且学生不能去甲地点，则不同的安排方案的方法种数是（）A.540 B.360 C.240 D.1807.高考是全国性统一考试，因考生体量很大，故高考成绩近似服从正态分布一般正态分布可以转化为标准正态分布，即若，令，则，且．已知选考物理考生总分的全省平均分为460分，该次考试的标准差为40，现从选考物理的考生中随机抽取30名考生成绩作进一步调研，记为这30名考生分数超过520分的人数，则（）参考数据：若，则，．A.0.8743 B.0.1257 C.0.9332 D.0.06688.已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（）A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.以去拟合一组数据，令，若线性回归方程为，则，B.已知是概率均不为的随机事件，若，则C.若随机变量，且，则D.用决定系数来比较两个不同模型对同一组数据的拟合效果时，越大，表示残差平方和越小，模型的拟合效果越好10.已知a，b为不相等的正实数，满足，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.11.已知函数的定义域为R，对于正实数a，定义集合，则（）A.若，则不是中的元素B.若，且，均为偶函数，则对于，C.若，，则D.若为偶函数，当时，，且对任意，均有，则对任意实数c，函数在上至多有6079个零点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知的展开式中的系数是，则a的值为_______________．13.小鑫在一场篮球比赛中投了3个三分球，他的三分球命中率为，且每球是否命中均相互独立，设他的三分球得分为X，则X的方差是_______________；在已知他至少命中1个的条件下，他恰好命中1个的概率为_______________．14.设曲线（e为自然对数的底数）上任意一点的切线为，若对于任意的，总存在曲线上某点处的切线，使得，则a的取值范围为_______________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的样本数据，如下表：x（年龄/岁）26273941495356586061y（脂肪含量/%）14.517.821.225.926.329.631.433.535.234.6数据经初步处理得，，，．（1）计算样本相关系数r（精确到0.01），并说明该成对样本数据的线性相关程度；（2）若y关于x的线性回归方程为，求y关于x的线性回归方程（精确到0.01），并计算当年龄为60岁时的残差．附：（1）参考公式：相关系数，一组数据的回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；（2）参考数据：，．16.已知函数是偶函数．（1）求实数的值；（2）若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围．17.某种疾病可分为Ⅰ、Ⅱ两种类型，为了解该疾病类型与性别的关系，在某地区随机抽取了患该疾病的病人进行调查，其中男性人数为，女性人数为，男性患Ⅰ型病的人数占男性病人的，女性患Ⅰ型病的人数占女性病人的.（1）完成联表若在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，求男性患者至少有多少人？Ⅰ型病Ⅱ型病合计男女合计（2）某药品研发公司欲安排甲乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物，两个团队各至多安排2个接种周期进行试验.每人每次接种花费元.甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为，根据以往试验统计，甲团队平均花费为；乙团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为，每个周期必须完成3次接种，若一个周期内至少出现2次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个接种周期.假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立.若，从两个团队试验的平均花费考虑，该公司应选择哪个团队进行药品研发？附：.0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82818.已知函数的定义域是D．对于，定义集合．（1）若，求；（2）对于集合A，若对任意都有，则称A是对称集．若D是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”；（3）若函数的定义域为，对任意,．试求b的取值范围，使得对于任意，都有．19.在某地区进行某种疾病调查，需要对该地区居民血液进行抽样化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果为阴性，则未患有该疾病．现有份血液样本，有以下两种检验方案：方案一：逐份检验，则需要检验k次；方案二：混合检验，将k份血液样本分别取样混合在一起，进行一次检验，若检验结果为阴性，则k份血液样本均为阴性，若检验结果为阳性，为了确定k份血液中的阳性血液样本，则对k份血液样本再逐一检验．假设在接受检验的血液样本中，每份样本是否为阳性是相互独立的，且据统计每份血液样本是阳性的概率为．（1）若k份血液样本采用混合检验方案，需要检验的总次数为X，求X的分布列及数学期望；（2）若采用逐份检验的方案，记第一次检测出阳性样本时共检测的次数为X，且s，t均为自然数，当时，求证：；（3）若逐份检验和混合检验中的每一次检验费用都是元，且k份血液样本混合检验一次需要额外收元的材料费和服务费．（i）若，，以检验总费用为决策依据，试分析说明该单位选择哪种方案更为合理；（ii）若，采用方案二总费用的数学期望低于方案一，求k的最大值．参考数据：，，，．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求.1.命题“”的否定是（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：通过否定命题的定义可知，的否定为.2.设集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先对集合内的元素进行化简，后利用集合交集的定义求解.解答过程：对于集合中的元素进行化简：，，，所以.因为，时，时，又无法取到，所以.3.已知是函数的极值点，则的极大值为（）A.0 B. C. D.2答案：B解析：思路：利用给定极值点求出，再利用导数求出极大值.解答过程：函数，求导得，由是函数的极值点，得，解得，函数，，由，得或；由，得，因此函数在处取得极大值.4.已知曲线，把C上各点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，相当于把C（）A.向下平移4个单位长度 B.向上平移4个单位长度C.向下平移1个单位长度 D.向上平移1个单位长度答案：C解析：思路：应用对数运算结合平移计算判断.解答过程：曲线，把C上各点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，即可得出，相当于把C平移1个单位长度,C正确5.已知实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：D解析：思路：化简，对照条件的定义可得答案.解答过程：不等式，等价于，因为，所以，显然，不一定得出；也不一定得出.故选：D6.某高中安排6名学生到3个志愿服务地点参加实践活动，每个地点至少1人，且学生不能去甲地点，则不同的安排方案的方法种数是（）A.540 B.360 C.240 D.180答案：B解析：思路：利用分组分配的方法，结合间接法，即可求解.解答过程：6名学生到3个志愿服务地点参加实践活动，分组情况可以是222或231或411，当分组情况是222时，有种情况，当分组情况是231时，有种情况，当分组情况是411时，有种情况，共种，当学生分在了甲地，且甲地只有时，另外5人的分组情况为23或14，当分组情况是23时，有种方法，当分组情况是14时，有种方法，当学生分在了甲地，且甲地不只有时，另外5人分成3组，分组情况为311或221，当分组情况是311时，有种方法，当分组情况是221时，有种方法，所以学生分在了甲地的方法共有种，所以学生没有分在甲地的方法有种.7.高考是全国性统一考试，因考生体量很大，故高考成绩近似服从正态分布一般正态分布可以转化为标准正态分布，即若，令，则，且．已知选考物理考生总分的全省平均分为460分，该次考试的标准差为40，现从选考物理的考生中随机抽取30名考生成绩作进一步调研，记为这30名考生分数超过520分的人数，则（）参考数据：若，则，．A.0.8743 B.0.1257 C.0.9332 D.0.0668答案：A解析：思路：根据题意结合公式可得，即，且，代入数据计算．解答过程：根据题意则考生分数超过520分的概率根据题意可得，则故选：A．8.已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（）A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b答案：A解析：思路：由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系.解答过程：由题意可知、、，，；由，得，由，得，，可得；由，得，由，得，，可得.综上所述，.故选：A.方法提示：本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.以去拟合一组数据，令，若线性回归方程为，则，B.已知是概率均不为的随机事件，若，则C.若随机变量，且，则D.用决定系数来比较两个不同模型对同一组数据的拟合效果时，越大，表示残差平方和越小，模型的拟合效果越好答案：CD解析：思路：对四个选项分别分析，A通过指数型回归模型对数变换对比系数判断；B利用条件概率公式分是否为讨论；C借助正态分布的对称轴性质计算均值；D根据决定系数公式判断残差平方和与拟合效果的关系，最终选出正确选项．解答过程：对于A，由，变形得，两边取自然对数得，即。对比，可得，，所以，不是，A错误；对于B，条件概率公式，，由，得，且，若，两边约去得，若，此时等式对任意成立，无法推出，题目只说概率均不为0，没说，因此不能必然推出，B错误；对于C，正态分布满足对称性，且，已知，即，由正态对称性，和关于对称，，C正确；对于D，决定系数，总偏差平方和对同一组数据是定值，所以越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好，D正确．10.已知a，b为不相等的正实数，满足，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.答案：ABC解析：思路：对于A，由已知可得，然后结合基本不等式判断，对于B，对不等式变形后，结合基本不等式判断，对于C，，再利用基本不等式判断，对于D，，然后构造函数，利用导数可求得其最小值.解答过程：对于A，由可知，所以，，所以A正确；对于B，等价于，即，因为，当且仅当时取等号，所以B正确；对于C，（当且仅当，时或，时取“＝”），C选项正确；对于D，，令，有，由，得，则，得，所以的减区间为，增区间为，所以．故，所以D错误．故选：ABC．11.已知函数的定义域为R，对于正实数a，定义集合，则（）A.若，则不是中的元素B.若，且，均为偶函数，则对于，C.若，，则D.若为偶函数，当时，，且对任意，均有，则对任意实数c，函数在上至多有6079个零点答案：ABCD解析：思路：A项直接代入集合定义判断；B项由两个偶函数分别得到函数图象的对称性，进而推出导函数及原函数的周期性；C项分类讨论与所在的区间，并利用配方法判断；D项先利用逐段确定非整数点处的函数取值，再分类统计水平线与函数图象的交点个数．解答过程：A．当时，所以，A正确．B．因为为偶函数，所以对任意实数，两边关于求导，得又因为为偶函数，所以于是对任意实数，将换成，得，从而．令，则所以为常数．由，得．因此对任意实数成立，即，B正确．C．设，则．因为，而函数与在各自的定义区间内均为严格增函数，所以与不可能位于同一分段内，只能有令则，，且．所以C正确．D．当时，由偶函数的性质，又且，所以，从而因此，当时，．下面用递推确定其余非整数点处的函数值．已知相邻区间与上的图象关于直线对称．若相邻区间与上的图象关于直线对称，则对任意，令则，且．于是，所以．这就确定了区间上的函数值，并使区间与上的图象关于直线对称．由数学归纳法可得上述结论在非负半轴上成立，再由偶函数的性质可得其在负半轴上也成立．因此，对任意整数，所以在每个相邻整数之间的开区间内，严格单调，且函数值均属于．若，则函数的非整数零点不存在，在内至多有个整数零点．若，则每个相邻整数之间的开区间内至多有一个零点，共至多有个非整数零点．下面说明奇数点不可能是零点．若某个奇数满足，由上式知，所以，从而．当时，反复使用该结论可得；当时，先由偶函数的性质得，再反复使用该结论，同样可得．由已知，且为偶函数，得，矛盾．因此整数零点只能出现在偶数点，而区间内共有个偶数．综上，零点个数至多为.故D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知的展开式中的系数是，则a的值为_______________．答案：2解析：解答过程：的展开式的通项为：，得到，则，解得，故系数为：，则，解得．13.小鑫在一场篮球比赛中投了3个三分球，他的三分球命中率为，且每球是否命中均相互独立，设他的三分球得分为X，则X的方差是_______________；在已知他至少命中1个的条件下，他恰好命中1个的概率为_______________．答案：①.②.解析：解答过程：设命中三分球的个数为，则，得分为，则，故，设事件为“恰好命中1个”，事件为“至少命中1个”，则，，由条件概率公式．14.设曲线（e为自然对数的底数）上任意一点的切线为，若对于任意的，总存在曲线上某点处的切线，使得，则a的取值范围为_______________．答案：解析：思路：利用导数的几何意义求出切线斜率的取值范围，再利用垂直关系，结合集合的包含关系列式求解.解答过程：曲线的定义域为R，求导得，则切线的斜率，函数的定义域为R，求导得，则切线的斜率，对于任意的，总存在，使得，则，使得，而，因此，即，解得，所以a的取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的样本数据，如下表：x（年龄/岁）26273941495356586061y（脂肪含量/%）14.517.821.225.926.329.631.433.535.234.6数据经初步处理得，，，．（1）计算样本相关系数r（精确到0.01），并说明该成对样本数据的线性相关程度；（2）若y关于x的线性回归方程为，求y关于x的线性回归方程（精确到0.01），并计算当年龄为60岁时的残差．附：（1）参考公式：相关系数，一组数据的回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；（2）参考数据：，．答案：（1）0.98，推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强（2），1.24解析：思路：（1）先求出，然后根据相关系数公式求出，再根据的值即可对该成对样本数据的线性相关程度做出判断；（2）根据回归直线过样本点的中心求出，进而得到回归直线方程，将代入回归直线方程求出，即可求出残差.（1），，，由相关系数，推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强；（2）由回归方程可知，因为回归直线过样本点的中心，即，解得，所以y关于x的线性回归方程为，将代入上式可得，所以年龄为60岁时的残差为．16.已知函数是偶函数．（1）求实数的值；（2）若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）通过偶函数的性质代入化简，求出实数的值，再检验实数是否使为偶函数；（2）对函数表达式进行化简为，再使用换元法设，把问题转化为二次函数零点问题求解.（1）由于是偶函数，所以即，即化简，得所以，要使等式恒成立，则，经检验，当时，函数是偶函数.（2）由于所以，，设，则因为函数在上只有一个零点，那么由可得即上只有一个零点所以，关于的方程在上只有一个实根，那么，由函数在上单调递减，在上单调递增，当时，；当时，；当时，根据函数图象可知，要使关于的方程在上只有一个实根，则或，即或故实数的取值范围为.17.某种疾病可分为Ⅰ、Ⅱ两种类型，为了解该疾病类型与性别的关系，在某地区随机抽取了患该疾病的病人进行调查，其中男性人数为，女性人数为，男性患Ⅰ型病的人数占男性病人的，女性患Ⅰ型病的人数占女性病人的.（1）完成联表若在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，求男性患者至少有多少人？Ⅰ型病Ⅱ型病合计男女合计（2）某药品研发公司欲安排甲乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物，两个团队各至多安排2个接种周期进行试验.每人每次接种花费元.甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为，根据以往试验统计，甲团队平均花费为；乙团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为，每个周期必须完成3次接种，若一个周期内至少出现2次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个接种周期.假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立.若，从两个团队试验的平均花费考虑，该公司应选择哪个团队进行药品研发？附：.0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828答案：（1）列联表见解析，12人；（2）答案见解析.解析：思路：（1）根据题中数据即可补全列联表，计算出卡方值，令，即可求出的取值范围，结合条件可得结果；（2）设甲研发团队试验总花费为，,设乙研发团队试验总花费为元，则的可能取值为，，分别计算出的概率，然后计算出均值进行比较即可判断.解答过程：（1）列联表如下：Ⅰ型病Ⅱ型病合计男女合计要使在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，则，，解得，因为，，所以的最小整数值为12，所以男性患者至少有12人；（2）设甲研发团队试验总花费为，,设乙研发团队试验总花费为元，则的可能取值为，，所以，，所以，因为，所以，①当时，，因为，所以，所以，乙团队试验的平均花费较少，所以选择乙团队进行研发；②当时，，因为，所以，所以，甲团队试验的平均花费较少，所以选择甲团队进行研发；③当时，，所以，甲团队试验的平均花费和乙团队试验的平均花费相同，从两个团队试验的平均花费考虑，该公司应选择甲团队或乙团队进行研发均可.方法提示：本题考查独立性检验，考查了卡方值的计算，考查离散型随机变量的概率分布即均值的求法，考查利用均值进行决策的问题.18.已知函数的定义域是D．对于，定义集合．（1）若，求；（2）对于集合A，若对任意都有，则称A是对称集．若D是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”；（3）若函数的定义域为，对任意,．试求b的取值范围，使得对于任意，都有．答案：（1）（2）证明：必要性：因为是偶函数，所以任意，，对任意，若，即，则，所以，所以对任意，是对称集.充分性：若对任意，是对称集，因为对任意，，所以，即①，又，所以，即②.由①②得，对任意，，所以函数是偶函数.综上，“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”，得证.（3）解析：思路：（1）根据的定义，代入数值，解不等式；（2）分必要性和充分性，结合偶函数的定义，以及“对称集”的定义，即可证明；（3）由定义可知，，所以在上单调不减，利用导数分析函数的单调性，求的取值范围.（1）由定义得，（2）略（3）因为对于任意，都有，所以若，则，即若，则，所以，所以在上单调不减，所以恒成立.所以.当时