专题08 数列（7年真题汇编+1年模拟）2020-2026年高考数学真题分类汇编（北京专用）

高考真题分类解析PAGEPAGE1专题08数列7年真题1年模拟考点分类北京考情（2020-2026）命题规律等差等比数列2020项的最值、2022充要条件、2024多结论判断、2025等差等比综合、2026公差与前n项和，共5题基础核心考点，通项、求和、性质为基础；2024起多结论正误判断题增多，抽象推理要求提升数列递推公式2023递推数列单调性与有界性，共1道选择压轴侧重函数视角分析数列，结合单调性、有界性判断；难度大，区分度高，常作为选择压轴数列的应用2021党旗规格、2023环权、2024铜嘉量，共3题传统文化实景载体为特色；等差等比公式应用为主，阅读量较大，建模能力是关键数列性质2021项数最大值、2022前n项和性质，共2道填空多结论判断题型固定；考查单调性、项的范围、存在性问题，综合性强数列新定义2020无穷数列性质、2021P数列、2022连续可表数列、2023差数列、2024数列变换，共5道压轴大题北京卷特色难点，每年1道创新大题；定义抽象、逻辑推理要求极高，是全卷区分度天花板小结：基础题考性质应用；新定义大题逐年加强抽象推理，是北京卷数列最核心的命题变化。考点01等差、等比数列1．（2026·北京·高考真题）已知等差数列的前项和为，且，则公差________，若恒成立，则符合条件的的一个取值为________．2．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（

）A． B． C．16 D．183．（2024·北京·高考真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论：①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素；②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素；③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素；④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素.其中正确结论的序号是.4．（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．（2020·北京·高考真题）在等差数列中，，．记，则数列（）．A.有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项考点02数列的递推公式1．（2023·北京·高考真题）已知数列满足，则（

）A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立考点03数列的应用1．（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为，且斛量器的高为，则斗量器的高为，升量器的高为．2．（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则；数列所有项的和为．3．（2021·北京·高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位:cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则A．64 B．96 C．128 D．160考点04数列的相关性质1．（2022·北京·高考真题）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：①的第2项小于3；

②为等比数列；③为递减数列；

④中存在小于的项．其中所有正确结论的序号是．2.（2021·北京·高考真题）已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（

）A．9 B．10 C．11 D．12考点05数列新定义1.（2024·北京·高考真题）已知集合．给定数列，和序列，其中，对数列进行如下变换：将的第项均加1，其余项不变，得到的数列记作；将的第项均加1，其余项不变，得到数列记作；……；以此类推，得到，简记为．(1)给定数列和序列，写出；(2)是否存在序列，使得为，若存在，写出一个符合条件的；若不存在，请说明理由；(3)若数列的各项均为正整数，且为偶数，求证：“存在序列，使得的各项都相等”的充要条件为“”．2．（2023·北京·高考真题）已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数.(1)若，求的值；(2)若，且，求；(3)证明：存在，满足使得．3．（2022·北京·高考真题）已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列．(1)判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；(2)若为连续可表数列，求证：k的最小值为4；(3)若为连续可表数列，且，求证：．4．（2021·北京·高考真题）设p为实数.若无穷数列满足如下三个性质，则称为数列：①，且；②；③，．（1）如果数列的前4项为2，-2，-2，-1，那么是否可能为数列？说明理由；（2）若数列是数列，求；（3）设数列的前项和为.是否存在数列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，说明理由．5．（2020·北京·高考真题）已知是无穷数列．给出两个性质：①对于中任意两项，在中都存在一项，使；②对于中任意项，在中都存在两项．使得．(Ⅰ)若，判断数列是否满足性质①，说明理由；(Ⅱ)若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；(Ⅲ)若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列.一、单选题1．（北京市朝阳区2026届高三年级第二学期质量检测一数学试卷）已知等差数列的前项和为，，则（

）A．10 B．15 C．20 D．252．（北京市房山区2026届高三第一次综合练习数学试题）若是以为公差的等差数列，，则等差数列的公差为（

）A． B．C． D．3．（北京市东城区2026届高三上学期期末统一检测数学试题）已知为等差数列，为等比数列，，则（

）A．4 B．7 C．8 D．154．（北京市通州区2026届高三上学期摸底考试数学试题）设为等差数列的前项和.若，，则（

）A． B． C．32 D．505．（北京密云区2025-2026学年第二学期阶段练习高三数学试卷）已知数列的前项和为，则（

）A．35 B．11 C． D．6．（北京市海淀区2025—2026学年第二学期期中练习高三数学）已知等差数列，，，则（

）A．13 B．15 C．17 D．187．（北京市丰台区2025-2026学年高三上学期期末统一检测数学试题）已知是公比不为1的等比数列，，若，，成等差数列，则（

）A． B． C．8 D．168．（北京市房山区2025-2026学年高三上学期学业水平调研（二）数学试题）等差数列的首项为1．若成等比数列，则所成等比数列的公比为（）A．1 B．2 C． D．9．（北京市丰台区2025-2026学年度高三第二学期综合练习（一）数学试题）已知是公比为的无穷等比数列，则“”是“任取无穷等差数列，对于任意，存在正整数，使”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件10．（北京市顺义区2026届高三统一测试试卷数学试卷）已知等差数列的前项和为，若，，，成等比数列，则（

）A．28 B．42 C．56 D．11211．（北京市东城区2025-2026学年第二学期高三综合练习（一）数学试题）已知等差数列和的前10项均为正整数，且公差均不为0．若，则的最小值为（

）A．15 B．10 C．9 D．5二、填空题12．（北京市昌平区2024-2025学年高三上学期期末质量抽测数学试卷）已知数列的前项和为，，则______.13．（北京市昌平区2026届高三年级第一次统一练习数学试卷）已知为等差数列，为其前项和．若，则______．14．（北京市海淀区2025—2026学年第二学期期中练习高三数学）设等比数列的前n项和为，若，则公比______.15．（北京市丰台区2025-2026学年度高三第二学期综合练习（一）数学试题）西汉海昏侯墓出土的两千多年前的“权”（砝码），是与“衡”（天平）配合使用的称量工具．已知五枚权的质量（单位：克）从小到大构成项数为5的等比数列，其中，，则___________；在称量物体时所用的权的质量之和叫称量值，则从这五枚权中取一枚或多枚，可组合出的不同称量值共有___________种．16．（北京市通州区2026届高三下学期4月模拟考试数学试卷）“垛积术”是我国古代数学的重要成就之一．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中记载了关于“方垛”的描述及计算方法：如图1所示“方垛”，自上而下每层每边物体数依次递增1个，第1层放1个物体，第2层放4个物体，…，第层放个物体，则这层方垛所放的物体总数为．现有某“三角垛”如图2所示，自上而下每层每边物体数依次递增1个，第1层放1个物体，第2层放3个，第3层放6个，第4层放10个，第5层放15个物体，…，则第8层放________个物体，若该三角垛共有层，利用“方垛”的结论，计算该“三角垛”所放物体的总数为________．17．（北京市房山区2025-2026学年高三上学期学业水平调研（二）数学试题）数学家杨辉在《详解九章算法》中将堆垛与相应立体图做类比，推导的求和公式与现代数学形式高度统一．例如，三角垛指的是顶层放1枚，第二层放3枚，第三层放6枚……依此类推，从第二层开始，每一层比上面一层多放的棋子数构成等差数列，则前7层棋子数总和_____；第层的棋子数_____18．（北京市西城区2026届高三4月统一测试试卷数学）《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术著作，是中国古代建筑发展到了较高阶段的标志．书中根据不同等级房屋建筑的需要，将建筑中的木方（断面为矩形的木料）的尺寸分为8个等级．记这8个等级木方断面的长与宽分别为与，若对任意，且与都是公差为的等差数列，是公差为的等差数列．已知，，则_________，_________．19．（北京市海淀区2026届高三上学期期末练习数学试题）已知等比数列的前项和为，且，则__________.20．（北京市平谷区2025-2026学年高三下学期一模质量监控数学试卷）无人机表演团队把飞在空中的无人机设计成在垂直于地面的同一平面内，已知10架无人机飞行的高度（单位：米）从低到高构成项数为10的数列，该数列的前4项成等比数列，后7项成等差数列，且，，，则______，数列所有项的和为______．21．（北京市石景山区2026届高三下学期第一次统一练习数学试题）已知为数列的前项和，记，且满足.给出下列四个结论：①的第2项小于0；②为等比数列；③为递减数列；④当时，存在.其中所有正确结论的序号是__________.22．（北京市东城区2025-2026学年第二学期高三综合练习（一）数学试题）在乐律学中，将一个纯五度音程分成7份得到8个音级，这8个音级的频率构成公比为的等比数列，则________；为研究纯五度音程与纯四度音程的关系，从该等比数列中寻找两项，，使得最小，则________．（参考数据：）23．（北京市丰台区2025-2026学年高三上学期期末统一检测数学试题）已知是各项均为正数的无穷数列，其前项和满足.给出下列四个结论：①；②、、成等比数列；③数列是等差数列；④数列中存在无穷多项小于.其中所有正确结论的序号是______.24．（北京市西城区2026届高三上学期期末考试数学试题）已知数列是单调递增的无穷数列，是单调递减的无穷数列．有以下四个结论：①存在数列和，使得；②存在数列和，使得；③对于任意无穷等差数列，总存在和使得；④对于任意无穷等比数列，总存在和使得．其中，所有正确结论的序号是__________．25．（顺义区20025-2026学年第一学期期末质量监测高三数学试卷）已知无穷数列前项和为，若存在，当时，，则称为“平衡数列”.给出下列四个结论：①已知数列，则数列为“平衡数列”；②若等比数列为“平衡数列”，则公比为；③若数列和均为“平衡数列”，则为“平衡数列”；④存在两个公差均不为的等差数列和，其中数列，，和均为“平衡数列”；其中所有正确结论的序号是________.26．（北京市朝阳区2026届高三年级第二学期质量检测一数学试卷）设无穷数列的前项和为，且对于任意，（且），给出下列四个结论：①存在，使得是常数列；②任意，不是递增数列；③存在，使得是周期数列（即存在，对任意，）；④任意，既有最大值，又有最小值.其中正确结论的序号是______.27．（专题07数列7考点）已知等差数列与等比数列是两个无穷数列，且都不是常数列．给出下列四个结论：①数列不是等比数列；②若与都是递增数列，则数列是递增数列；③对任意的，、、不是等差数列；④存在数列，对任意的、、，且，使得、、不能构成等比数列．其中所有正确结论的序号是__．28．（北京延庆区2025-2026学年第二学期试卷高三数学）若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m，记．①已知，，且，则；②已知，，则存在实数a，使得；③已知，若，则对任意，都有；④已知是等比数列的前n项和，，则存在等比数列，使得．其中所有不正确的命题是______．三、解答题29．（北京延庆区2025-2026学年第二学期试卷高三数学）设m为正整数，数列，，…，是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列，，…，是可分等差数列．(1)说明数列，，…，是不是、、、可分等差数列；(2)当，时，证明：数列，，…，是可分等差数列；(3)当时，数列，，…，是可分等差数列，证明：满足条件的个数不少于个．30．（北京市平谷区2025-2026学年高三下学期一模质量监控数学试卷）设数阵，其中．设，其中且．定义变换为“对于数阵的每一行，若其中有或，则将这一行中每个数都乘以；若其中没有且没有，则这一行中所有数均保持不变．表示“将经过变换得到，再将经过变换得到，…，以此类推，最后将经过变换得到”，记数阵中四个数的和为．(1)若，写出经过变换后得到的数阵；(2)若，求的值；(3)对任意确定的一个数阵，证明：对所有可能的非空子集，对应的的值的总和不超过．31．（北京市顺义区2026届高三统一测试试卷数学试卷）已知项数列：满足.数列：，满足，，其中.记，.其中，表示数集中最大的数.(1)已知：，求，的值；(2)若为奇数，且，求证：；(3)求证：.32．（北京市朝阳区2026届高三年级第二学期质量检测一数学试卷）若数列：，，…，（）满足如下两个性质，则称为数列：①，，…，是1，2，…，的一个排列；②，，…，是1，2，…，的一个排列.(1)判断数列：1，4，3，2和数列：5，1，4，2，3是否为数列？说明理由；(2)若数列：，，…，满足，，求证：数列：，，…，不是数列；(3)若数列：，，…，（）为数列，求的最小值.33．（北京市昌平区2026届高三年级第一次统一练习数学试卷）设数列，若存在公比为的等比数列，使得，其中，则称数列为数列的“等比分割数列”．(1)写出数列的一个“等比分割数列”；(2)若数列的通项公式为，其“等比分割数列”的首项为1，求数列的公比的取值范围；(3)若数列的通项公式为，且数列存在“等比分割数列”，求的最大值．34．（北京市丰台区2025-2026学年度高三第二学期综合练习（一）数学试题）对于有穷正数数列，若满足对任意的，都有（是常数，且），则称数列具有性质．对数列定义“分拆”将中的第项拆分为两项，并得到数列，其中，且；特别地，当时，；当时，．对有穷正数数列，令数列．若数列均具有性质，则称为数列的阶完美分拆数列．(1)若，判断以下数列是否为的1阶完美拆分数列（结论不要求证明）：①②2，0.5，0.5．(2)当时，若为数列的1阶完美拆分数列，证明