2025-2026年四川省人教版高三数学第七十七章概率统计与数列综合练习题

2025-2026年四川省人教版高三数学第七十七章概率统计与数列综合练习题一、单选题（总共10题，每题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=11，则该数列的前10项和S_10等于多少？A.150B.180C.210D.240解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=11可得3+4d=11，解得d=2。前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入n=10，a_1=3，d=2计算得S_10=10/2[6+9×2]=210。2.某校高三年级进行数学测试，成绩服从正态分布N(85,16)，若成绩在70分至90分之间的学生占比为68%，则成绩在70分以下的学生占比是多少？A.13%B.34%C.50%D.84%解析：正态分布曲线关于均值对称，70分与90分关于85分对称，故P(70≤X≤90)=68%。根据对称性，P(X<70)=P(X>90)=1-68%/2=16%。3.从装有3个红球、2个白球的袋中不放回抽取3个球，则抽到2个红球、1个白球的概率是多少？A.1/10B.3/10C.1/5D.3/5解析：总事件数C(5,3)=10，抽到2红1白的事件数为C(3,2)×C(2,1)=3×2=6，概率为6/10=3/5。4.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，则该数列的前n项和S_n的表达式为？A.n^2B.n^2-1C.2^n-1D.2n-1解析：递推式变形为a_n+1+1=2(a_n+1)，即{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，a_n+1=2^n，a_n=2^n-1，S_n=n×1+(n-1)×2+(n-2)×4+…+1×2^(n-1)=2^n-n-1。5.某班级随机抽取10名学生测量身高，数据如下（单位：cm）：165,170,168,172,165,169,174,166,170,168，则这组数据的样本方差s^2约等于？A.9.7B.12.3C.15.8D.18.4解析：样本均值x̄=168.4，s^2=[Σ(x_i-x̄)^2]/(n-1)≈(21.16+2.56+1.96+27.56+21.16+1.96+30.25+3.24+2.56+1.96)/9≈12.3。6.在等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_4=54，则该数列的前6项积T_6等于多少？A.1296B.7776C.46656D.279936解析：由b_4=b_2×q^2得q=3，b_1=b_2/q=2，T_6=b_1b_2…b_6=(b_1b_6)^3=(b_2^2×q^6)^3=6^6=46656。7.已知随机变量X～B(10,0.6)，则P(X≥7)的值最接近？A.0.17B.0.25C.0.41D.0.55解析：P(X≥7)=Σ[C(10,k)×0.6^k×0.4^(10-k)](k=7to10)≈0.624≈0.6。8.在直方图中，各小长方形的面积之和等于多少？A.总体容量B.总体频率C.1D.样本容量解析：直方图表示频率分布，各小长方形面积之和等于1。9.若数列{c_n}的前n项和S_n=2n^2-3n+1，则c_5的值为？A.19B.20C.21D.22解析：c_n=S_n-S_{n-1}=(2n^2-3n+1)-[2(n-1)^2-3(n-1)+1]=4n-5，c_5=4×5-5=15。10.已知一组数据的中位数是70，众数是65，则这组数据的平均数一定小于70吗？A.是B.否C.取决于数据个数D.无法确定解析：若数据集中出现较多65，平均数可能小于70，如数据为65,65,70,80，平均数为70。二、填空题（总共10题，每题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_9=26，则a_6+a_10的值为______。解：a_3+a_9=2a_1+10d=26，a_6+a_10=2a_1+16d=2(a_3+a_9)/2=26。2.若随机变量X～N(μ,σ^2)，且P(X<μ-σ)=0.2，则P(μ+σ<X<μ+2σ)的值约为______。解：正态分布对称性，P(X<μ-σ)=0.2，故P(X>μ+σ)=0.2，P(μ+σ<X<μ+2σ)=0.5-0.2-0.2=0.1。3.从6名男生、4名女生中随机选出3人参加比赛，则恰好有2名男生的概率为______。解：事件数为C(10,3)=120，2男1女事件数为C(6,2)×C(4,1)=60，概率为60/120=1/2。4.已知数列{a_n}满足a_n=a_{n-1}+n，且a_1=1，则a_10的值为______。解：a_n=a_1+(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+…+(a_n-a_{n-1})=1+2+3+…+n=55。5.某班级随机抽取20名学生测量体重，数据如下（单位：kg）：55,58,60,62,65,58,60,63,62,59,60,61,64,58,60,57,62,63,60,61，则这组数据的样本标准差s约等于______。解：x̄=60.4，s≈[Σ(x_i-x̄)^2]/(n-1)≈[244.8]/19≈12.9，s≈3.6。6.在等比数列{b_n}中，若b_3=12，b_5=96，则该数列的公比q等于______。解：q^2=b_5/b_3=96/12=8，q=2√2。7.若随机变量X～B(12,0.7)，则P(X=8)的值等于______。解：P(X=8)=C(12,8)×0.7^8×0.3^4≈0.2311。8.已知一组数据的中位数是80，众数是75，则这组数据的平均数μ一定大于80吗？______（填"是"或"否"）。解：否，如数据为75,75,80,85，平均数为80。9.若数列{c_n}的前n项和S_n=n^3，则c_5的值为______。解：c_n=S_n-S_{n-1}=3n^2-3(n-1)^2=6n-3，c_5=33。10.已知随机变量X～N(50,9)，则P(X>60)的值等于______。解：P(X>60)=P(Z>10/3)=1-P(Z<10/3)≈1-0.8413=0.1587。三、判断题（总共10题，每题2分，共20分）1.若数列{a_n}是等差数列，则S_n=na_1+n(n-1)d/2也是等差数列。______（正确）解：S_n的导数是a_1+nd，是关于n的一次函数，故是等差数列。2.正态分布N(μ,σ^2)的曲线关于直线x=μ对称。______（正确）解：正态分布曲线的对称轴就是均值μ。3.从不放回的抽样中，事件A与事件B互斥一定意味着它们对立。______（错误）解：互斥指不能同时发生，对立指互斥且和为全集。4.若数列{a_n}满足a_n+1=2a_n+1，则该数列是等比数列。______（错误）解：等比数列要求a_n+1/a_n为常数，此处是线性递推。5.直方图中的小长方形宽度相等时，各小长方形的面积表示对应组的频率。______（正确）解：直方图面积=宽度×频率，宽度相同时面积即频率。6.已知一组数据的中位数是70，则这组数据的平均数一定等于70。______（错误）解：平均数受极端值影响，与中位数无必然关系。7.若数列{c_n}的前n项和S_n=2n^2-3n+1，则该数列是等差数列。______（正确）解：c_n=S_n-S_{n-1}=4n-5，是关于n的一次函数，故是等差数列。8.在等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_4=54，则b_3^2=b_2b_4。______（正确）解：b_3^2=b_2×b_4=6×54。9.若随机变量X～B(n,p)，则E(X)=np，D(X)=np(1-p)。______（正确）解：二项分布期望为np，方差为np(1-p)。10.已知一组数据的平均数是70，则这组数据的众数一定等于70。______（错误）解：众数是出现次数最多的值，与平均数无必然关系。四、简答题（总共4题，每题4分，共16分）1.已知数列{a_n}满足a_1=2，a_n+1=3a_n+1，求该数列的通项公式a_n。解：递推式变形为a_n+1+1/2=3(a_n+1/2)，{a_n+1/2}是首项为5/2，公比为3的等比数列，a_n+1/2=(5/2)×3^(n-1)，a_n=(5×3^(n-1)-1)/2。2.某班级进行数学测试，成绩服从正态分布N(75,16)，若成绩在65分至85分之间的学生占比为0.6826，求成绩在55分以下的学生占比。解：均值μ=75，标准差σ=4，65与85关于75对称，P(65≤X≤85)=0.6826，P(X<65)=P(X>85)=1-0.6826/2=0.1587，Z=(55-75)/4=-5，P(X<55)=P(Z<-5)=0.5-0.5×0.0000=0.5-0.0000=0.5。3.从装有3个红球、2个白球的袋中不放回抽取2个球，求至少抽到1个红球的概率。解：至少1红=2红+1红1白，P(至少1红)=C(3,2)/C(5,2)+C(3,1)×C(2,1)/C(5,2)=3/10+6/10=9/10。4.已知一组数据的中位数是60，众数是55，样本容量为10，求这组数据的平均数μ可能的取值范围。解：若数据对称分布，μ≈60；若数据集中在55附近，μ<60；若数据分散，μ>60，故μ可能的取值范围是(-∞,60]。五、应用题（总共4题，每题6分，共24分）1.某工厂生产一种零件，次品率是0.1，现随机抽取10个零件检验，求恰好有2个次品的概率。解：X～B(10,0.1)，P(X=2)=C(10,2)×0.1^2×0.9^8≈0.1937。2.在等差数列{a_n}中，若a_1=5，a_5=21，求该数列的前10项和S_10。解：d=(21-5)/4=4，S_10=10/2[2×5+(10-1)×4]=350。3.某班级随机抽取15名学生测量身高（单位：cm），数据如下：165,170,168,172,165,169,174,166,170,168,165,169,174,166,170，求这组数据的样本方差s^2。解：x̄=169.3，s^2=[Σ(x_i-x̄)^2]/(n-1)≈[529.5]/14≈37.7。4.从装有4个红球、3个白球的袋中随机抽取3个球，求抽到2个红球、1个白球的概率。解：P(2红1白)=C(4,2)×C(3,1)/C(7,3)=18/35≈0.5143。【标准答案及解析】一、单选题1.C2.B3.D4.B5.B6.C7.C8.C9.A10.B解析：第10题迷惑点在于忽视数据集中众数的影响，需举反例说明。二、填空题1.262.0.13.1/24.555.3.66.2√27.0.23118.否9.3310.0.1587解析：第8题考查对中位数与平均数关系的理解，需注意数据分布的多样性。三、判断题1.√2.√3.×4.×5.√6.×7.√8.√9.√10.×解析：第3题易错点在于混淆互斥与对立的概念。四、简答题1.a_n=(5×3^(n-1)-1)/2解析：关键在于构造等比数列{a_n+c}，需注意变形技巧。2.0.1587解析：利用正态分布对称性，需准确计算Z值对应的概率。3.9/10解析：可使用对立事件简化计算，P(至少1红)=1-P(全白)=1-2/10=9/10。4.(-∞,60]解析：需考虑数据分布的多种可能性，不