15综合与实践 最短路径问题 教学课件 -2026-2027学年人教版数学八年级上册

15综合与实践最短路径问题专项练习一、核心知识点梳理1.核心原理：两点之间，线段最短。这是最短路径问题的根本依据，所有轴对称最短路径模型均以此为基础推导。2.轴对称最短路径模型（将军饮马模型）：直线l同侧有A、B两点，在直线l上找一点P，使PA+PB最小。解题方法：作点A（或B）关于直线l的对称点A'，连接A'B，与直线l的交点即为所求点P，此时PA+PB=A'B，为最短路径。3.核心结论：利用轴对称的性质，对称点与直线上任意一点的连线长度相等，即PA=PA'，将折线PA+PB转化为直线线段A'B，依据线段最短定理求解。4.常见拓展模型：两定点一定直线、两定点两平行线、动点在线段上的最短路径，解题核心均为化折为直。5.易错要点：必须区分点在直线同侧与异侧的情况；同侧需作对称点化折为直，异侧直接连接两点即可；切勿忽略动点的取值范围（线段、射线限制）。二、基础专项练习（一）选择题（每题5分，共20分）1.将军饮马问题的核心数学原理是（）A.垂线段最短B.两点之间，线段最短C.三角形两边之和大于第三边D.轴对称性质2.直线l同侧有A、B两个定点，P为直线l上一动点，要使PA+PB最小，下列做法正确的是（）A.连接AB，与直线l交点即为PB.作A关于l的对称点A'，连接A'B交l于PC.过A作l的垂线，垂足为PD.过B作l的垂线，垂足为P3.已知点A、B在直线MN异侧，P是MN上一动点，最短路径PA+PB对应的线段是（）A.ABB.A'MB（A'为对称点）C.AM+MBD.AN+NB4.下列关于最短路径问题说法错误的是（）A.轴对称可将折线距离转化为直线距离B.同侧两点必须作对称点求解最短路径C.所有最短路径都可用垂线段最短求解D.异侧两点直接连线即为最短路径（二）填空题（每题5分，共20分）1.解决将军饮马最短路径问题的核心方法是________。2.直线l同侧两点A、B，作A关于l的对称点A'，则PA与PA'的数量关系是________。3.两点在直线异侧时，两点与直线上动点形成的最短路径为________。4.最短路径问题的核心解题思想是将________转化为________。（三）解答题（共60分）1.（20分）如图，直线l表示一条公路，公路同侧有A、B两个村庄，现要在公路l上建一个加油站P，使加油站到两个村庄的距离之和PA+PB最小，请画出P点的位置并说明理由。2.（20分）已知△ABC为等边三角形，边长为6，AD是BC边上的高，E是AB的中点，P是AD上一动点，求PB+PE的最小值。3.（20分）如图，∠AOB=30°，点M、N分别在OA、OB上，点P在∠AOB内部，分别作P关于OA、OB的对称点P₁、P₂，连接P₁P₂，若P₁P₂=8，求∠P₁OP₂的度数及△PMN的最小周长。三、参考答案及详细解析（一）选择题解析1.B解析：最短路径问题的根本原理是两点之间，线段最短，轴对称只是转化方法。2.B解析：同侧两点需通过轴对称化折为直，作对称点连线与直线交点即为最短路径动点位置。3.A解析：两点在直线异侧，直接连接AB，与直线交点即为P，此时PA+PB=AB最短。4.C解析：最短路径核心原理是线段最短，垂线段最短仅用于点到直线的距离，无法解决折线最短问题。（二）填空题解析1.轴对称变换（化折为直）2.PA=PA'解析：轴对称的性质：对称轴上的点到对称点的距离相等。3.两点线段的长度解析：异侧两点无需转化，连线即为最短路径。4.折线距离、直线线段距离（三）解答题解析1.解：作图步骤：①作点A关于直线l的对称点A'；②连接A'B，交直线l于点P，点P即为所求加油站位置。理由：由轴对称性质得PA=PA'，则PA+PB=PA'+PB=A'B，根据两点之间线段最短，A'B为最短距离，故P点满足要求。2.解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线，点B、C关于AD对称。连接CE，交AD于P，此时PB+PE最小，且PB=PC，PB+PE=CE。∵E是AB中点，等边三角形中CE为高，边长为6，由勾股定理得$$CE=3\sqrt{3}$$，即PB+PE最小值为$$3\sqrt{3}$$。3.解：由轴对称性质得：OP=OP₁=OP₂，∠AOP=∠AOP₁，∠BOP=∠BOP₂。∴∠P₁OP₂=2∠AOB=60°。△PMN周长=PM+PN+MN=P₁M+P₂N+MN=P₁P₂=8，故△PMN的最小周长为8。课堂总结：最短路径问题核心解题思路为“轴对称化折为直”，牢牢依托“两点之间，线段最短”定理，熟练区分同侧、异侧模型，结合轴对称、等边三角形、角平分线等知识综合解题，重点突破折线距离转直线距离的解题思维。（字数：1320）人教版数学（新教材）八年级上册15综合与实践最短路径问题授课教师：.

班

级：8年级（

）班.

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间：.

2026/9/24

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第十五章轴对称1.掌握直线同侧两点到线上一点的距离和最小问题，了解运用平移法解决造桥问题，在解决实际问题的过程中强化应用意识.(重点、难点)2.通过轴对称变换、平移变换体会转化思想. 情境引入QINGJINGYINRU如图，一位将军从

A地出发，到一条笔直的河边

l饮马，然后到

B地，将军到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？思考：复习回顾FUXIHUIGU1.如图，连接

A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？AB①②③②最短，因为两点之间，线段最短.2.

如图，点

P是直线

l外一点，点

P与该直线

l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？PlABCDPC最短，因为垂线段最短.3.三角形的三边关系是？三角形三边关系：两边之和大于第三边.新知探究XINZHITANJIU思考ABl数学问题C？如何把前面我们提到的“将军饮马”问题抽象成我们熟知的数学问题？将A，B两地抽象为两个点

将河l抽象为一条直线

问题转化为：在直线l上确定一点C，使得AC+BC最短.新知探究XINZHITANJIU思考现在假设点

A，B分别是直线

l异侧的两个点，如何在

l上找到一个点，使得这个点到点

A、点

B的距离的和最短？AlBC根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点

C

即为所求.连接

AB，与直线

l相交于点

C.新知探究XINZHITANJIU思考如果点

A，B分别是直线

l

同侧的两个点，又应该如何解决？如果将点B“移”到

l

的另一侧

B′处，满足直线

l上的任意一点

C，都保持

CB与

CB′的长度相等，就可以了！ABl利用轴对称，作出点

B关于直线

l的对称点

B′.B′能够借助异侧两点的思路来解决同侧问题？新知探究XINZHITANJIU“将军饮马”问题解决思路(1)作点

B

关于直线

l的对称点

B′；(2)连接

AB′，与直线

l

相交于点

C．

则点

C即为所求．ABlB′C如何证明？新知探究XINZHITANJIU“将军饮马”问题证明方法证明：如图，在直线

l上任取一点

C′

(与点

C

不重合)，连接

AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知

BC=B′C，BC′=B′C′．∴

AC+BC=AC+B′C=AB′，

AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴

AC+BC＜AC′+BC′，

即

AC+BC

最短．ABlB′CC′新知探究XINZHITANJIU思考“将军饮马”问题解决过程中为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC+BC＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小．B·lA·B′CC′你还有其他的方法吗？(1)作点

A

关于直线

l的对称点

A′；(2)连接

A′B，与直线

l相交于点

C．则点

C即为所求．ABlA′C

BA.

B.

C.

D.

返回

7返回

4．如图，一个人从C点骑马出发到D点，但他必须先到河岸边l1的P点让马饮水，然后再到河岸边l2的Q点，再次让马饮水，最后骑马到D点．他应如何选择饮水点P，Q，才能使所走的路程CP＋PQ＋QD最短？请说明理由．解：如图，作点C关于l1的对称点C′，作点D关于l2的对称点D′，连接C′D′，分别交l1，l2于点P、点Q，连接CP，QD，此时所走的路程CP＋PQ＋QD最短．返回理由：因为C和C′关于直线l1对称，所以对于直线l1上任意一点P′，都有CP′＝C′P′.因为D和D′关于直线l2对称，所以对于直线l2上任意一点Q′，都有DQ′＝D′Q′，所以所走路程为CP′＋P′Q′＋Q′D＝C′P′＋P′Q′＋Q′D′≥C′D′，故当C′，P′，Q′，D′四点共线，即点P′在点P处，点Q′在点Q处时，所走路程CP＋PQ＋QD最短．

典例精析DIANLIJINGXI例1

利用角的平分线构造全等三角形典例精析DIANLIJINGXI例2

等面积法求直角三角形斜边上的高典例精析DIANLIJINGXI例2

典例精析DIANLIJINGXI例3转化为共线的情况.

典例精析DIANLIJINGXI例3转化为共线的情况.

新知探究XINZHITANJIU思考如图，A和

B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥

MN.桥造在何处可使从

A到

B的路径

AMNB最短(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)？ABNM造桥选址问题新知探究XINZHITANJIU思考如何把“造桥选址”问题抽象成我们熟知的数学问题？如图所示：将河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M.当点N在什么位置的时候，AM+MN+NB的值最小？ABab∙∙MN新知探究XINZHITANJIU思考BA●●

?NMNMNM如图，假定任选位置造桥

MN，连接

AM和

BN，从

A到

B的路径是

AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？桥的宽度是不变的...新知探究XINZHITANJIUABab∙∙MN对的，其实我们只需要将桥的长度减出来，再进行计算就可以了.假设桥的位置可以改变，比如将桥平移到A或者B.新知探究XINZHITANJIU由平移的性质知

AM＝A1N，AA1＝MN＝M1N1，AM1＝A1N1.如图，平移

A到

A1，使AA1等于河宽，连接

A1B交河岸于N，作桥

MN，此时路径

AM+MN+BN最短.BAA1MN理由：另任作桥

M