《高等数学（经管类）》 下册 第二版 第九章 教案 微分方程

《高等数学（经管类）》教案内容概要第一章函数、极限与连续第二章导数与微分第三章中值定理与导数的应用第四章不定积分第五章定积分及其应用第六章多元函数微分学第七章二重积分第八章无穷级数第九章微分方程第十章差分方程第九章微分方程第一节微分方程概述教学目标了解微分方程的定义。了解微分方程阶的定义。了解线性微分方程与非线性微分方程的定义。了解微分方程解的定义与分类。通过严谨的数学推导，培养学生爱国主义情怀、良好的思想品德、灵活的创新思维。教学重难点微分方程的定义。微分方程阶的定义。线性微分方程与非线性微分方程的定义。微分方程解的定义与分类。教学学时：1个学时教学过程设计内容主线回顾不定积分的内容回顾不定积分的内容介绍微分方程的定义介绍微分方程的定义介绍微分方程阶的定义介绍微分方程阶的定义介绍线性和非线性微分方程的定义介绍线性和非线性微分方程的定义介绍微分方程解的定义与分类介绍微分方程解的定义与分类教学实施流程教学模式具体内容教学策略融合背景以不定积分的内容为背景引出微分方程的定义。随机提问学生，了解学生对知识掌握程度；增加学生互动及思考，保证学生注意力的集中；提供开放性问题让学生思考（比如经济函数所满足的微分方程）。剖析思想（主要内容）1、准备工作：复习不定积分；2、介绍微分方程的定义；3、介绍微分方程阶的定义；4、介绍线性和非线性微分方程的定义；5、介绍微分方程解的定义与分类；6、和学生一起互动、讨论推导微分方程初值问题；7、阐述微分方程作为高等数学课程的“核心扩展”对于后续课程学习的重要意义。多维教学利用板书进行理论推导；利用可视化教学设计帮助学生理解微分方程解的定义与分类；开展翻转课堂教学帮助学生自己完成微分方程初值问题的推导；在线课程中提供开放性思考题以及练习题，帮助学生进一步巩固学习成果；在教学中令学生感受微分方程作为高等数学“核心扩展”所蕴含的数学思想，在学习中增强科技报效祖国的爱国心。多层次训练提供开放性的比如经济函数所满足的微分方程的思考题。课后练习基础训练：《高等数学》习题9-1综合训练：通过在线课程进一步学习掌握微分方程的基本概念。教材、参考书与在线课程1、《高等数学》上海财经大学数学学院编，人民邮电出版社,2025年出版。2、《高等数学学习指导与习题全解》上海财经大学数学学院编，人民邮电出版社,2021年出版。第二节一阶微分方程教学目标掌握可分离变量方程的求解方法。掌握齐次微分方程的求解方法。掌握一阶线性微分方程的求解方法。在推导中感受数学的美丽，培养学生灵活的创新思维。教学重难点可分离变量方程的求解方法。齐次微分方程的求解方法。一阶线性微分方程的求解方法。教学学时：6个学时教学过程设计内容主线可分离变量方程的求解方法可分离变量方程的求解方法齐次微分方程的求解方法齐次微分方程的求解方法一阶线性微分方程的求解方法一阶线性微分方程的求解方法教学实施流程教学模式具体内容教学策略融合背景以不定积分为背景介绍可分离变量方程的求解方法。随机提问学生，了解学生对知识掌握程度；增加学生互动及思考，保证学生注意力的集中；提供开放性问题让学生思考（比如其他可化为一阶线性微分方程的方程）。剖析思想（主要内容）1、准备工作：复习不定积分；2、推导可分离变量方程的求解方法；3、推导齐次微分方程的求解方法；4、推导一阶线性微分方程的求解方法；5、和学生一起互动、讨论推导其他可化为一阶线性微分方程的方程；6、阐述微分方程作为高等数学“核心扩展”对于后续课程学习具有重要意义。多维教学利用板书进行理论推导；利用可视化教学设计帮助学生理解可分离变量方程的求解方法；开展翻转课堂教学帮助学生自己完成其他可化为一阶线性微分方程的方程的推导；在线课程中提供开放性思考题以及练习题，帮助学生进一步巩固学习成果；在教学中令学生感受微分方程作为高等数学“核心扩展”所蕴含的数学思想，在学习中增强科技报效祖国的爱国心。多层次训练提供开放性的比如其他可化为一阶线性微分方程的方程的思考题。课后练习基础训练：《高等数学》习题9-2综合训练：通过在线课程进一步学习掌握各种一阶微分方程的求解方法。教材、参考书与在线课程1、《高等数学》上海财经大学数学学院编，人民邮电出版社,2025年出版。2、《高等数学学习指导与习题全解》上海财经大学数学学院编，人民邮电出版社,2021年出版。第三节可降阶的二阶微分方程教学目标掌握型微分方程的降阶求解方法。掌握型微分方程的降阶求解方法。掌握型微分方程的降阶求解方法。通过严谨的数学推导，培养学生爱国主义情怀、良好的思想品德、灵活的创新思维。教学重难点型微分方程的降阶求解方法。型微分方程的降阶求解方法。型微分方程的降阶求解方法。教学学时：2个学时教学过程设计内容主线回顾回顾各种一阶微分方程的求解方法型微分方程的降阶求解方法型微分方程的降阶求解方法型微分方程的降阶求解方法型微分方程的降阶求解方法型微分方程的降阶求解方法型微分方程的降阶求解方法教学实施流程教学模式具体内容教学策略融合背景以各种一阶微分方程的求解方法为背景介绍特殊的高阶微分方程降阶求解方法。随机提问学生，了解学生对知识掌握程度；增加学生互动及思考，保证学生注意力的集中；提供开放性问题让学生思考（比如其他高阶微分方程的降阶技巧）。剖析思想（主要内容）1、准备工作：复习各种一阶微分方程的求解方法；2、推导型微分方程的降阶求解方法；3、推导型微分方程的降阶求解方法；4、推导型微分方程的降阶求解方法；5、和学生一起互动、讨论推导型微分方程的降阶求解方法；6、阐述微分方程作为高等数学“核心扩展”对于后续课程学习具有重要意义。多维教学利用板书进行理论推导；利用可视化教学设计帮助学生理解型微分方程的降阶求解方法；开展翻转课堂教学帮助学生自己完成型微分方程的降阶求解方法的推导；在线课程中提供开放性思考题以及练习题，帮助学生进一步巩固学习成果；在教学中令学生感受微分方程作为高等数学“核心扩展”所蕴含的数学思想，在学习中增强科技报效祖国的爱国心。多层次训练提供开放性的比如其他高阶微分方程的降阶技巧的思考题。课后练习基础训练：《高等数学》习题9-3综合训练：通过在线课程进一步学习掌握几类特殊的高阶微分方程降阶求解方法。教材、参考书与在线课程1、《高等数学》上海财经大学数学学院编，人民邮电出版社,2025年出版。2、《高等数学学习指导与习题全解》上海财经大学数学学院编，人民邮电出版社,2021年出版。第四节线性微分方程解的结构(1)线性微分方程解的结构教学目标掌握齐次线性微分方程解的叠加原理。掌握齐次线性微分方程通解形式。掌握非齐次线性微分方程通解形式。掌握非齐次线性微分方程解的叠加原理。通过严谨的数学推导，培养学生爱国主义情怀、良好的思想品德、灵活的创新思维。教学重难点齐次线性微分方程解的叠加原理。齐次线性微分方程通解形式。非齐次线性微分方程通解形式。非齐次线性微分方程解的叠加原理。教学学时：2个学时教学过程设计内容主线齐次线性微分方程解的叠加原理齐次线性微分方程解的叠加原理函数组线性函数组线性无关的定义和判别方法齐次线性微分方程通解形式齐次线性微分方程通解形式非齐次线性微分方程通解形式非齐次线性微分方程通解形式非齐次线性微分方程解的叠加原理非齐次线性微分方程解的叠加原理教学实施流程教学模式具体内容教学策略融合背景以向量组线性无关定义和判别方法为背景推导函数组线性无关的定义和判别方法。随机提问学生，了解学生对知识掌握程度；增加学生互动及思考，保证学生注意力的集中；提供开放性问题让学生思考（比如非线性微分方程解的结构的思考题）。剖析思想（主要内容）1、准备工作：复习特殊的可降阶的高阶微分方程；2、推导齐次线性微分方程解的叠加原理；3、和学生一起互动、讨论推导函数组线性无关的定义和判别方法；4、推导齐次线性微分方程通解形式；5、推导非齐次线性微分方程通解形式；6、推导非齐次线性微分方程解的叠加原理；7、阐述微分方程对于后续课程学习具有重要意义。多维教学利用板书进行理论推导；利用可视化教学设计帮助学生理解齐次线性微分方程解的叠加原理；开展翻转课堂教学帮助学生自己完成函数组线性无关的定义和判别方法的推导；在线课程中提供开放性思考题以及练习题，帮助学生进一步巩固学习成果；在教学中让学生感受微分方程蕴含的数学思想，增强科技报效祖国的爱国心。多层次训练提供开放性的比如非线性微分方程解的结构的思考题。课后练习基础训练：《高等数学》习题9-4综合训练：通过在线课程进一步学习，并熟练掌握线性微分方程解的结构。教材、参考书与在线课程1、《高等数学》上海财经大学数学学院编，人民邮电出版社,2025年出版。2、《高等数学学习指导与习题全解》上海财经大学数学学院编，人民邮电出版社,2021年出版。(2)二阶常系数线性微分方程教学目标掌握二阶常系数齐次线性微分方程的通解的求法。掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的通解的求法。掌握更高阶常系数非齐次线性微分方程的通解的求法。通过严谨的数学推导，培养学生爱国主义情怀、良好的思想品德、灵活的创新思维。教学重难点二阶常系数齐次线性微分方程的通解的求法。二阶常系数非齐次线性微分方程的通解的求法-待定系数法。教学学时：5个学时教学过程设计内容主线回顾线性微分方程解的结构回顾线性微分方程解的结构二阶常系数齐次线性微分方程的通解二阶常系数齐次线性微分方程的通解二阶常系数非齐次线性微分方程的通解二阶常系数非齐次线性微分方程的通解高阶常系数非齐次线性微分方程的通解高阶常系数非齐次线性微分方程的通解教学实施流程教学模式具体内容教学策略融合背景以线性微分方程解的结构为背景推导二阶常系数非齐次线性微分方程的通解的求法。随机提问学生，了解学生对知识掌握程度；增加学生互动及思考，保证学生注意力的集中；提供开放性问题让学生思考（比如更高阶常系数非齐次线性微分方程的通解的求法的思考题）。剖析思想（主要内容）1、准备工作：复习线性微分方程解的结构；2、推导二阶常系数齐次线性微分方程的通解；3、推导二阶常系数非齐次线性微分方程的通解；4、和学生一起互动、讨论推导更高阶常系数齐次线性微分方程的通解的求法；5、阐述微分方程作为高等数学课程的“核心扩展”对于后续课程学习的重要意义。多维教学利用板书进行理论推导；利用可视化教学设计帮助学生理解泰勒级数和泰勒展开的不同；开展翻转课堂教学帮助学生自己完成更高阶常系数齐次线性微分方程的通解的求法的推导；在线课程中提供开放性思考题以及练习题，帮助学生进一步巩固学习成果；在教学中令学生感受微分方程作为高等数学“核心扩展”所蕴含的数学思想，在学习中增强科技报效祖国的爱国心。多层次训练提供开放性的比如更高阶常系数非齐次线性微分方程的通解的求法的思考题。课后练习基础训练：《高等数学》习题9-4综合训练：通过在线课程进一步学习掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的通解的求法。教材、参考书与在线课程1、《高等数学》上海财经大学数学学院编，人民邮电出版社,2025年出版。2、《高等数学学习指导与习题全解》上海财经大学数学学院编，人民邮电出版社,2021年出版。第五节微分方程的经济应用教学目标掌握微分方程在经济学中的应用。在推导中感受数学的美丽，培养学生灵活的创新思维。教学重难点微分方程在经济学中的应用。教学学时：1个学时教学过程设计内容主线回顾微分方程的求解方法回顾微分方程的求解方法微分方程在经济学中的应用微分方程在经济学中的应用教学实施流程教学模式具体内容教学策略融合背景以微分方程求解方法为背景推导微分方程在经济学中的应用。随机提问学生，了解学生对知识掌握程度；增加学生互动及思考，保证学生注意力的集中；提供开放性问题让学生思考（比如微分方程在其他领域中的应用）。剖析思想（主要内容）1、准备工作：复习微分方程求解方法；2、推导微分方程在经济学中的应用；3、和学生一起互动、讨论推导将经济学问题建模成微分方程的问题；5、阐述微分方程作为高等数学“核心扩展”对于后续课程学习具有重要意义。多维教学利用板书进行理论推导；利用可视化教学设计帮助学生理解微分方程在经济学中的应用；开展翻转课堂教学帮助学生自己完成