专题2.1 不等式和不等式的性质（知识解读）(含解析)（人教A版2019必修一）-【考点精练】2022-2023学年高一数学同步考点解读+专题训练

专题2.1不等式和不等式的性质（知识解读）【学习目标】理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的根底。掌握不等式的根本性质，并能加以证明；会用不等式的根本性质判断不等关系和用比拟法，反证法证明简单的不等式。【知识点梳理】考点1等式的基本性质1．如果a＝b，那么b＝a.2．如果a＝b，b＝c，那么a＝c.3．如果a＝b，那么a±c＝b±c.4．如果a＝b，那么ac＝bc.5．如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c)考点2不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔b<a⇔2传递性a>b，b>c⇒a>c不可逆3可加性a>b⇔a＋c>b＋c可逆4可乘性a>b，c>0⇒ac>bca>b，c<0⇒ac<bcc的符号5同向可加性a>b，c>d⇒a＋c>b＋d同向6正数同向可乘性a>b>0，c>d>0⇒ac>bd同向7正数乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)同正考点3比较两个实数（或代数式）大小1、作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法．①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论．②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论．2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值，此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值．【注意】（1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止。【解题思路】【典例分析】【考点1不等式（组）表示实际问题】【典例1】（2021·山东潍坊市）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），这个规定用数学关系式表示为（）．A． B．C． D．【变式1（2021·安庆市）某高速公路要求行驶的车辆的速度的最大值为，同一车道上的车间距不得小于，用不等式表示为（）A．且 B．或C． D．【考点2利用不等式性质判断真假】【典例2】（2022春•海淀区期末）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A． B．a2＜b2 C． D．ab＞b2【变式2-1】（2021秋•贺州期末）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A． B．ab＜b2 C．ab＞a2 D．【变式2-2】（2021秋•玉林期末）如果ac＞bc，那么下列不等式中，一定成立的是（）A．ac2＞bc2 B．a＞b C．a+c＞b+c D．【变式2-3】（2021秋•阎良区期末）若a＜0，﹣1＜b＜0，则下列各式中正确的是（）A．a＞ab＞ab2 B．ab＞a＞ab2 C．ab2＞ab＞a D．ab＞ab2＞a【变式2-4】（2021秋•临渭区期末）已知b＜0＜a，则下列不等式正确的是（）A．b²＜a² B． C．﹣b＜﹣a D．a﹣b＜a+b【考点3比较大小】【典例3】（2021秋•徐汇区校级期中）已知0＜a1＜1，0＜a2＜1，记M＝a1a2，N＝a1+a2﹣1，则M与N的大小关系是（）A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．无法确定【变式3-1】（2021秋•湖南月考）已知P＝a2+b2+2，Q＝2a+2b，则（）A．P＞Q B．P＜Q C．P≥Q D．P≤Q【变式3-2】（2021秋•张掖期末）若a＝（x+1）（x+3），b＝2（x+2）2，则下列结论正确的是（）A．a＞b B．a＜b C．a≥b D．a，b大小不确定【变式3-3】（2020秋•沧州期中）已知a，b∈（0，+∞），x＝a5+b5，y＝a4b+ab4，z＝a3b2+a2b3，则（）A．x≤y≤z B．y≤z≤x C．z≤x≤y D．z≤y≤x【变式3-4】（2021秋•江阴市期末）设x＝2a（a+2）﹣2，y＝（a﹣1）（a+3），则有（）A．x＞y B．x≥y C．x＜y D．x≤y【考点4求代数式的取值范围】【典例4】（2021·江苏省）已知，，则的取值范围是（）A． B． C． D．【变式4-1】（202··四川雅安市）已知，，则的取值范围是（）.A． B． C． D．以上都不对【变式4-2】（2021·辽宁葫芦岛市）（多选）已知实数满足，则（）A． B．C． D．【变式4-3】（2021·浙江）（多选）设x，y为实数，满足，，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．【变式4-4】已知，则的取值范围是____________.【考点5不等式的证明】【典例5】（2021·平潭县新世纪学校高一月考）（1）已知，求证：；（2）已知，求证：；（3）已知，求证：.【变式5-1】（2021·全国高一课时练习）已知，，，求证：．【变式5-2】（2020·上海）设，求证：．【变式5-3】（2020秋•徐汇区校级月考）已知a＜b＜0，比较与的大小．专题2.1不等式和不等式的性质（知识解读）【学习目标】理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的根底。掌握不等式的根本性质，并能加以证明；会用不等式的根本性质判断不等关系和用比拟法，反证法证明简单的不等式。【知识点梳理】考点1等式的基本性质1．如果a＝b，那么b＝a.2．如果a＝b，b＝c，那么a＝c.3．如果a＝b，那么a±c＝b±c.4．如果a＝b，那么ac＝bc.5．如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c)考点2不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔b<a⇔2传递性a>b，b>c⇒a>c不可逆3可加性a>b⇔a＋c>b＋c可逆4可乘性a>b，c>0⇒ac>bca>b，c<0⇒ac<bcc的符号5同向可加性a>b，c>d⇒a＋c>b＋d同向6正数同向可乘性a>b>0，c>d>0⇒ac>bd同向7正数乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)同正考点3比较两个实数（或代数式）大小1、作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法．①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论．②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论．2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值，此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值．【注意】（1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止。【解题思路】【典例分析】【考点1不等式（组）表示实际问题】【典例1】（2021·山东潍坊市）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），这个规定用数学关系式表示为（）．A． B．C． D．【答案】C【解答】长、宽、高之和不超过，.故选：.【变式1（2021·安庆市）某高速公路要求行驶的车辆的速度的最大值为，同一车道上的车间距不得小于，用不等式表示为（）A．且 B．或C． D．【答案】A【解答】因为高速公路要求行驶的车辆的速度的最大值为，所以；因为同一车道上的车间距不得小于，所以，【考点2利用不等式性质判断真假】【典例2】（2022春•海淀区期末）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A． B．a2＜b2 C． D．ab＞b2【答案】D【解答】解：选项A，∵a＜b＜0，∴，选项A错误；选项B，∵a＜b＜0，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＞0，a2＞b2，选项B错误；选项C，∵a＜b＜0，∴，选项C错误；选项D，∵a＜b＜0，∴ab＞b2，选项D正确．故：选D．答案为：D．【变式2-1】（2021秋•贺州期末）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A． B．ab＜b2 C．ab＞a2 D．【答案】D【解答】解：因为a＜b＜0，所以ab＞0，所以＜＜0，即＞，选项A错误；因为a＜b＜0，所以ab＞b2＞0，选项B错误；因为a＜b＜0，所以a2＞ab＞0，即ab＜a2，选项C错误；因为a＜b＜0，所以＜＜0，所以﹣＞﹣，即﹣＜﹣，选项D正确．故选：D．【变式2-2】（2021秋•玉林期末）如果ac＞bc，那么下列不等式中，一定成立的是（）A．ac2＞bc2 B．a＞b C．a+c＞b+c D．【答案】D【解答】解：对于ac＞bc，则：对于A和B：当c＜0，则a＜b，故ac2＜bc2，a＜b，故A、B错误；对于C：当c＜0时，a+c＜b+c，对于D：由于ac＞bc等价于，故D正确．故选：D．【变式2-3】（2021秋•阎良区期末）若a＜0，﹣1＜b＜0，则下列各式中正确的是（）A．a＞ab＞ab2 B．ab＞a＞ab2 C．ab2＞ab＞a D．ab＞ab2＞a【答案】D【解答】解∵a＜0，﹣1＜b＜0，∴ab＞0，ab2＜0，又﹣1＜b＜0，∴0＜b2＜1，两边同乘以负数a，可知ab2＞a，∴ab＞0＞ab2＞a．故选：D．【变式2-4】（2021秋•临渭区期末）已知b＜0＜a，则下列不等式正确的是（）A．b²＜a² B． C．﹣b＜﹣a D．a﹣b＜a+b【答案】B【解答】解：当a＝2，b＝﹣3时，满足b＜0＜a，但b2＞a2，﹣b＞﹣a，a﹣b＞a+b，∴A，C，D错误，∵b＜0＜a，∴＜0，＞0，∴＜，∴B正确，故选：B．【考点3比较大小】【典例3】（2021秋•徐汇区校级期中）已知0＜a1＜1，0＜a2＜1，记M＝a1a2，N＝a1+a2﹣1，则M与N的大小关系是（）A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．无法确定【答案】B【解答】解：M﹣N＝a1a2﹣（a1+a2﹣1）＝（a1﹣1）（a2﹣1），∵0＜a1＜1，0＜a2＜1，∴a1﹣1＜0，a2﹣1＜0，∴（a1﹣1）（a2﹣1）＞0，∴M＞N，故选：B．【变式3-1】（2021秋•湖南月考）已知P＝a2+b2+2，Q＝2a+2b，则（）A．P＞Q B．P＜Q C．P≥Q D．P≤Q【答案】C【解答】解：∵P﹣Q＝a2+b2+2﹣2a﹣2b＝（a﹣1）2+（b﹣1）2≥0，∴P≥Q，故选：C．【变式3-2】（2021秋•张掖期末）若a＝（x+1）（x+3），b＝2（x+2）2，则下列结论正确的是（）A．a＞b B．a＜b C．a≥b D．a，b大小不确定【答案】B【解答】解：∵a＝（x+1）（x+3），b＝2（x+2）2，∴a﹣b＝（x+1）（x+3）﹣2（x+2）2＝﹣x2﹣4x﹣5＝﹣[（x+2）2+1]＜0，∴a＜b，故选：B．【变式3-3】（2020秋•沧州期中）已知a，b∈（0，+∞），x＝a5+b5，y＝a4b+ab4，z＝a3b2+a2b3，则（）A．x≤y≤z B．y≤z≤x C．z≤x≤y D．z≤y≤x【答案】D【解答】解：已知a，b∈（0，+∞），因为x﹣y＝a5+b5﹣a4b﹣ab4＝a4（a﹣b）+b4（b﹣a）＝（a﹣b）（a4﹣b4）＝（a+b）（a﹣b）2（a2+b2）≥0，所以x≥y．因为z﹣y＝a3b2+a2b3﹣a4b﹣ab4＝a3b（b﹣a）+ab3（a﹣b）＝﹣ab（a+b）（a﹣b）2≤0，所以z≤y，所以z≤y≤x．故选：D．【变式3-4】（2021秋•江阴市期末）设x＝2a（a+2）﹣2，y＝（a﹣1）（a+3），则有（）A．x＞y B．x≥y C．x＜y D．x≤y【答案】B【解答】解：x﹣y＝2a（a+2）﹣2﹣（a﹣1）（a+3）＝2a2+4a﹣2﹣（a2+2a﹣3）＝a2+2a+1＝（a+1）2≥0，∴x≥y．故选：B．【考点4求代数式的取值范围】【典例4】（2021·江苏省）已知，，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】，，故选：C【变式4-1】（202··四川雅安市）已知，，则的取值范围是（）.A． B． C． D．以上都不对【答案】A【解答】设，可得，解得，，即，因为，，所以，所以.故选：A.【变式4-2】（2021·辽宁葫芦岛市）（多选）已知实数满足，则（）A． B．C． D．【答案】AC【解答】因为，所以，A正确；因为，所以，解得，B错误；因为，，所以，C正确；，，所以，D错误.故选：AC.【变式4-3】（2021·浙江）（多选）设x，y为实数，满足，，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】AC【解答】，，，A正确；，，，B错误；，，，C正确；，，，D错误；故选：AC【变式4-4】已知，则的取值范围是____________.【答案】【解答】令，则，解得，所以，因为，所以，因为，所以