2026年山西省专升本高等数学备考元极限与连续专项练习题

2026年山西省专升本高等数学备考元极限与连续专项练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。请将正确选项的字母填在题后的括号内。）1.在高等数学中，极限的定义通常采用ε-δ语言形式，该定义的核心思想是（）。A.通过无限逼近的方式描述函数在某点附近的变化趋势B.利用数列的收敛性刻画函数的整体行为C.基于函数的连续性判断极限的存在性D.通过代数运算求解函数的极限值解析：ε-δ语言是极限的严格定义，其核心思想是通过任意小的正数ε，总能找到足够小的正数δ，使得函数在点x₀附近的变化满足特定条件，这本质上描述了函数值无限逼近某个确定值的动态过程。选项A准确反映了ε-δ定义的本质，即通过动态逼近刻画局部变化趋势；选项B描述的是数列极限，与ε-δ定义的函数极限不同；选项C涉及连续性，而连续性是极限存在的一种充分条件而非定义；选项D是极限计算方法，而非定义本身。因此正确答案是A。2.若函数f(x)在点x₀处有定义，且lim(x→x₀)f(x)=L，但f(x₀)≠L，则称函数在x₀处（）。A.连续B.可导C.存在极限但不连续D.极限不存在解析：根据函数极限与函数值的定义，当函数在某点存在极限但函数值不等于该极限时，该函数在该点不连续。具体来说，连续性要求lim(x→x₀)f(x)=f(x₀)，而题目条件给出极限存在但函数值与极限不等，因此函数不连续。选项A错误，因为连续性要求极限值等于函数值；选项B错误，可导性要求导数存在，与极限存在无直接关系；选项D错误，因为题目明确说明极限存在；选项C准确描述了题目所述情况。正确答案是C。3.对于分段函数f(x)={x²,x<1;2x+1,x≥1}，下列关于其在x=1处性质的判断中正确的是（）。A.极限存在且等于2B.极限存在但函数不连续C.极限不存在D.函数连续解析：首先计算左极限和右极限：lim(x→1⁻)f(x)=lim(x→1⁻)x²=1²=1lim(x→1⁺)f(x)=lim(x→1⁺)(2x+1)=2×1+1=3由于左极限与右极限不相等，因此极限lim(x→1)f(x)不存在。根据极限不存在的情况，函数在该点不可能连续。选项A错误，因为极限不存在；选项B错误，因为极限不存在；选项C正确，因为左右极限不等导致极限不存在；选项D错误，因为不连续。正确答案是C。4.函数f(x)=sin(1/x)在x=0处（）。A.极限存在且等于0B.极限存在但不连续C.极限不存在D.函数有定义解析：考虑函数f(x)=sin(1/x)在x=0附近的行为。当x→0时，1/x在(-∞,+∞)之间振荡，导致sin(1/x)在-1和1之间无限振荡。由于函数值没有稳定趋势，因此极限lim(x→0)sin(1/x)不存在。选项A错误，因为极限不存在；选项B错误，因为极限不存在；选项C正确，因为函数值无限振荡导致极限不存在；选项D错误，因为题目未定义f(0)的值。正确答案是C。5.若函数f(x)在区间(a,b)内连续，且在该区间内无界，则下列结论中正确的是（）。A.函数在(a,b)内必存在最大值B.函数在(a,b)内必存在最小值C.函数在(a,b)内可能存在极值点D.函数在(a,b)内必无界解析：根据连续函数的性质，闭区间上的连续函数必有界且存在最值。但题目条件是开区间(a,b)，且函数无界。无界函数可能存在极值点，例如f(x)=1/x在(0,1)内无界但在x=1/2处取得极小值。因此选项C正确。选项A和B错误，因为开区间上的连续函数不一定有最值；选项D错误，因为题目已说明函数无界。正确答案是C。6.对于数列{aₙ}，若存在正数M，使得对所有n都有|aₙ|≤M，则称该数列（）。A.收敛B.有界C.单调D.无界解析：数列有界的定义是存在一个正数M，使得数列的所有项的绝对值都不超过M。题目给出的条件正是数列有界的定义。选项A错误，因为有界不必然收敛（如1,-1,1,-1,...）；选项C错误，单调性要求数列单调递增或递减；选项D错误，题目明确数列有界。正确答案是B。7.若函数f(x)在点x₀处可导，且f'(x₀)=0，则称函数在x₀处（）。A.连续B.极值点C.函数值最大D.函数值最小解析：根据微分学基本定理，可导函数的极值点一定是驻点，即导数为0的点。但驻点不一定是极值点（如f(x)=x³在x=0处导数为0但不是极值点）。因此驻点可能是极值点。选项A错误，因为可导性不保证连续性；选项C和D错误，因为驻点不一定是极值点；选项B正确，驻点可能是极值点。正确答案是B。8.对于函数f(x)=|x|，在x=0处（）。A.极限存在且等于0B.极限存在但函数不可导C.极限不存在D.函数连续解析：计算左右极限：lim(x→0⁻)|x|=lim(x→0⁻)(-x)=0lim(x→0⁺)|x|=lim(x→0⁺)x=0由于左右极限相等，因此极限lim(x→0)|x|=0存在。但函数在x=0处不可导，因为左右导数不相等：f'(0⁻)=lim(h→0⁻)(-h)/h=-1f'(0⁺)=lim(h→0⁺)h/h=1由于左右导数不相等，函数在x=0处不可导。选项A正确，因为极限存在且等于0；选项B正确，因为极限存在但不可导；选项C错误，因为极限存在；选项D错误，因为函数不可导。正确答案是B。9.若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)内可导，则根据罗尔定理，下列条件中必须满足的是（）。A.f(a)=f(b)B.f(a)≠f(b)C.f(x)在(a,b)内单调D.f(x)在(a,b)内存在极值解析：罗尔定理的三个条件是：①函数在闭区间[a,b]上连续；②函数在开区间(a,b)内可导；③f(a)=f(b)。只有同时满足这三个条件，罗尔定理才成立。因此正确条件是f(a)=f(b)。选项A正确；选项B错误，因为罗尔定理要求f(a)=f(b)；选项C错误，因为单调性不是罗尔定理的条件；选项D错误，因为罗尔定理不要求函数存在极值。正确答案是A。10.对于函数f(x)=x²-4x+3，下列关于其在x=2处性质的判断中正确的是（）。A.极限存在且等于-1B.极限存在但函数不连续C.极限不存在D.函数连续解析：计算函数在x=2处的值：f(2)=2²-4×2+3=-1由于函数在x=2处有定义且函数值等于该点的极限值（因为多项式函数处处连续），因此函数在x=2处连续。选项A错误，因为极限等于函数值1；选项B错误，因为函数连续；选项C错误，因为极限存在；选项D正确，因为函数连续。正确答案是D。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请将答案填在题中横线上。）1.若lim(x→2)(x²-ax+3)/(x-2)=3，则实数a=________。解析：由于分母(x-2)在x=2时为0，要使极限存在且等于3，分子也必须在x=2时为0。因此：2²-2a+3=04-2a+3=07-2a=02a=7a=7/2因此a=7/2。2.函数f(x)=√(x-1)的定义域是________。解析：根号下的表达式必须非负，因此：x-1≥0x≥1因此定义域是[1,+∞)。3.若函数f(x)在点x₀处可导，且f'(x₀)=5，则根据导数定义，lim(h→0)[f(x₀+h)-f(x₀)]/h=________。解析：根据导数定义：f'(x₀)=lim(h→0)[f(x₀+h)-f(x₀)]/h题目给出f'(x₀)=5，因此：lim(h→0)[f(x₀+h)-f(x₀)]/h=54.若数列{aₙ}满足aₙ=1/(n+1)，则lim(n→∞)aₙ=________。解析：当n→∞时，分母n+1→∞，因此：lim(n→∞)1/(n+1)=05.函数f(x)=1/x在x=0处________（填"有定义"、"极限存在"或"连续"）。解析：函数f(x)=1/x在x=0处无定义，因为分母为0。但极限lim(x→0)1/x不存在（趋于无穷大）。因此f(x)在x=0处既无定义也不连续。正确答案是"无定义"。6.若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则根据介值定理，对于介于f(a)与f(b)之间的任意实数c，必存在x₀∈(a,b)，使得f(x₀)=c。特别地，若f(a)与f(b)异号，则必存在x₀∈(a,b)，使得f(x₀)=________。解析：根据介值定理的推论（零点定理），若连续函数在区间两端取值异号，则该函数在该区间内必有零点。因此必存在x₀∈(a,b)，使得f(x₀)=0。7.函数f(x)=|x|在x=0处的导数f'(0)=________。解析：计算左右导数：f'(0⁻)=lim(h→0⁻)(-h)/h=-1f'(0⁺)=lim(h→0⁺)h/h=1由于左右导数不相等，因此f'(0)不存在。正确答案是"不存在"。8.若函数f(x)在点x₀处可导，且f'(x₀)=2，则根据微分定义，当Δx足够小时，f(x₀+Δx)≈________。解析：根据微分定义：f(x₀+Δx)≈f(x₀)+f'(x₀)Δx因此f(x₀+Δx)≈f(x₀)+2Δx9.函数f(x)=sin(x)在区间(-∞,+∞)内________（填"有界"、"无界"或"既有界又有界"）。解析：正弦函数的值域是[-1,1]，因此sin(x)在(-∞,+∞)内有界。正确答案是"有界"。10.若函数f(x)在点x₀处连续，且lim(x→x₀)f(x)=L，则根据连续性定义，f(x₀)=________。解析：根据连续性定义：f(x₀)=lim(x→x₀)f(x)因此f(x₀)=L。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请判断下列命题的正误，正确的填"√"，错误的填"×"。）1.若函数f(x)在点x₀处极限存在，则f(x)在该点必有定义。（×）解析：极限存在与函数值有定义是两个独立的概念。函数在某点极限存在，并不意味着该点必须有定义。例如f(x)=1/x在x=0处极限不存在，但f(0)可以定义为任意值。因此该命题错误。2.函数f(x)=x³在(-∞,+∞)内单调递增。（√）解析：计算导数：f'(x)=3x²由于x²≥0对所有实数x成立，因此f'(x)≥0对所有实数x成立。导数恒非负意味着函数单调递增。因此该命题正确。3.若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在(a,b)内必有极值点。（×）解析：连续函数在闭区间上必有最值，但不一定有极值点。例如f(x)=x在[0,1]上连续，在x=0和x=1处取得最值，但在(a,b)内没有极值点。因此该命题错误。4.若数列{aₙ}单调递增且收敛，则其极限必为正数。（×）解析：单调递增且收敛的数列的极限可以是任意实数。例如数列{(-1/2)^n}单调递增且收敛于0（虽然该数列不收敛，但作为反例说明单调递增数列的极限不一定是正数）。更准确的反例是数列{1-1/n}单调递增且收敛于1。因此该命题错误。5.若函数f(x)在点x₀处可导，则f(x)在该点必连续。（√）解析：根据可导与连续的关系，可导性是连续性的充分条件。因此可导函数必连续。该命题正确。6.函数f(x)=1/x在x=0处极限存在。（×）解析：当x→0时，1/x在正负无穷之间振荡，因此极限不存在。该命题错误。7.若函数f(x)在点x₀处不连续，则f(x)在该点必不可导。（×）解析：不连续不一定不可导。例如f(x)=|x|在x=0处不连续，但可导。因此该命题错误。8.函数f(x)=x²在(-∞,+∞)内处处可导。（√）解析：计算导数：f'(x)=2x导数在所有实数x处都存在，因此函数处处可导。该命题正确。9.若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在(a,b)内必有驻点。（×）解析：连续函数在闭区间上必有最值，但不一定有驻点。例如f(x)=x在[0,1]上连续，在x=0和x=1处取得最值，但在(a,b)内没有驻点。因此该命题错误。10.若数列{aₙ}收敛，则其子数列必收敛且极限相同。（√）解析：根据收敛数列的性质，收敛数列的任意子数列必收敛且极限与原数列相同。该命题正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。请简要回答下列问题。）1.简述函数极限ε-δ定义的核心思想。答：函数极限ε-δ定义的核心思想是：对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当自变量x与x₀的距离小于δ时（即x∈(x₀-δ,x₀+δ)且x≠x₀），函数值f(x)与极限值L的距离小于ε（即|f(x)-L|<ε）。该定义通过动态逼近刻画函数值无限接近极限值的精确过程。2.判断函数f(x)=x²在x=2处是否连续，并说明理由。答：函数f(x)=x²在x=2处连续。理由如下：①函数在x=2处有定义，且f(2)=2²=4；②函数在x=2处的极限存在：lim(x→2)x²=4；③极限值等于函数值：lim(x→2)x²=f(2)=4。根据连续性定义，该函数在x=2处连续。3.简述数列极限与函数极限的区别。答：数列极限是函数极限的特殊情况。数列是定义在自然数集上的函数，其极限描述的是当项数n无限增大时数列项aₙ的变化趋势。函数极限描述的是当自变量x无限接近某个定点x₀（或无限远离原点）时函数值f(x)的变化趋势。数列极限是单变量极限，而函数极限可以是单变量极限也可以是多变量极限。4.解释什么是函数的驻点，并举例说明。答：函数的驻点是指导数为0的点。即若f'(x₀)=0，则称x₀是函数f(x)的驻点。驻点可能是极值点，也可能是拐点。例如f(x)=x³在x=0处导数为f'(0)=3×0²=0，因此x=0是驻点，但不是极值点。5.简述介值定理的几何意义。答：介值定理的几何意义是：若连续函数在区间两端取值异号，则该函数在该区间内必有零点。具体来说，若连续函数f(x)在区间[a,b]上f(a)与f(b)异号，则必存在x₀∈(a,b)，使得f(x₀)=0。几何上表现为连续曲线必与x轴相交。6.解释什么是函数的极值点，并说明极值点与驻点的关系。答：函数的极值点是指函数在该点附近取得最大值或最小值的点。具体来说，若存在δ>0，使得对所有x∈(x₀-δ,x₀+δ)，有f(x₀)≥f(x)（或f(x₀)≤f(x)），则称x₀是函数f(x)的极大值点（或极小值点）。极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。例如f(x)=x³在x=0处导数为0，但x=0不是极值点。7.简述罗尔定理的条件和结论。答：罗尔定理的条件是：①函数在闭区间[a,b]上连续；②函数在开区间(a,b)内可导；③f(a)=f(b)。罗尔定理的结论是：若函数满足上述三个条件，则必存在至少一个点c∈(a,b)，使得f'(c)=0。8.解释什么是函数的无界，并举例说明。答：函数的无界是指函数值可以无限增大或无限减小。具体来说，若对于任意大的正数M，总存在x₀，使得|f(x₀)|>M，则称函数f(x)无界。例如f(x)=1/x在x=0附近无界，因为当x→0时，1/x在正负无穷之间振荡。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分。请根据题目要求完成下列问题。）1.讨论函数f(x)=|x-1|在x=1处的连续性和可导性。解：首先计算函数在x=1处的值：f(1)=|1-1|=0然后计算左右极限：lim(x→1⁻)f(x)=lim(x→1⁻)|x-1|=lim(x→1⁻)-(x-1)=0lim(x→1⁺)f(x)=lim(x→1⁺)|x-1|=lim(x→1⁺)(x-1)=0由于左右极限相等且等于函数值，因此函数在x=1处连续。接下来计算左右导数：f'(1⁻)=lim(h→0⁻)[f(1+h)-f(1)]/h=lim(h→0⁻)|h|/h=-1f'(1⁺)=lim(h→0⁺)[f(1+h)-f(1)]/h=lim(h→0⁺)|h|/h=1由于左右导数不相等，因此函数在x=1处不可导。结论：函数在x=1处连续但不可导。2.求函数f(x)=x³-3x+2的极值点。解：首先计算导数：f'(x)=3x²-3=3(x²-1)=3(x-1)(x+1)令f'(x)=0，解得x₁=-1，x₂=1。然后计算二阶导数：f''(x)=6x在x₁=-1处，f''(-1)=-6<0，因此x₁=-1是极大值点；在x₂=1处，f''(1)=6>0，因此x₂=1是极小值点。结论：函数在x=-1处取得极大值，在x=1处取得极小值。3.讨论函数f(x)=√(x²+1)在x=0处的连续性和可导性。解：首先计算函数在x=0处的值：f(0)=√(0²+1)=1然后计算极限：lim(x→0)√(x²+1)=√(0²+1)=1由于极限等于函数值，因此函数在x=0处连续。接下来计算导数：f'(x)=(x²+1)^(1/2)'=(1/2)(x²+1)^(-1/2)×2x=x/(√(x²+1))因此f'(0)=0/√(0²+1)=0结论：函数在x=0处连续且可导，导数为0。4.求函数f(x)=x/(x²+1)在(-∞,+∞)内的单调区间。解：首先计算导数：f'(x)=[(x²+1)×1-x×2x]/(x²+1)²=(x²+1-2x²)/(x²+1)²=(1-x²)/(x²+1)²令f'(x)=0，解得x₁=-1，x₂=1。然后分析导数符号：当x∈(-∞,-1)时，1-x²<0，f'(x)<0，函数单调递减；当x∈(-1,1)时，1-x²>0，f'(x)>0，函数单调递增；当x∈(1,+∞)时，1-x²<0，f'(x)<0，函数单调递减。结论：函数在(-∞,-1)和(1,+∞)内单调递减，在(-1,1)内单调递增。5.讨论函数f(x)=e^(-x²)在x=0处的连续性和可导性。解：首先计算函数在x=0处的值：f(0)=e^(-0²)=e⁰=1然后计算极限：lim(x→0)e^(-x²)=e^(-0²)=1由于极限等于函数值，因此函数在x=0处连续。接下来计算导数：f'(x)=(e^(-x²))'=e^(-x²)×(-2x)=-2xe^(-x²)因此f'(0)=-2×0×e^(-0²)=0结论：函数在x=0处连续且可导，导数为0。6.求函数f(x)=sin(x)+cos(x)在[0,π/2]上的最值。解：首先计算导数：f'(x)=cos(x)-sin(x)令f'(x)=0，解得cos(x)=sin(x)，即tan(x)=1，得x=π/4。然后计算函数在端点和驻点的值：f(0)=sin(0)+cos(0)=0+1=1f(π/4)=sin(π/4)+cos(π/4)=√2/2+√2/2=√2f(π/2)=sin(π/2)+cos(π/2)=1+0=1比较可得：最大值为√2，最小值为1。结论：函数在[0,π/2]上的最大值为√2，最小值为1。7.讨论函数f(x)=|x|在(-∞,+∞)内的连续性和可导性。解：首先分析函数在各段的表现：当x>0时，f(x)=x，连续且可导，f'(x)=1；当x<0时，f(x)=-x，连续且可导，f'(x)=-1；当x=0时，f(0)=0，且左右极限相等：lim(x→0⁻)f(x)=lim(x→0⁻)(-x)=0lim(x→0⁺)f(x)=lim(x→0⁺)x=0因此函数在x=0处连续。但左右导数不相等：f'(0⁻)=lim(h→0⁻)(-h)/h=-1f'(0⁺)=lim(h→0⁺)h/h=1因此函数在x=0处不可导。结论：函数在(-∞,+∞)内处处连续，但在x=0处不可导。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.C3.C4.C5.C6.B7.B8.B9.A10.D二、填空题1.7/212.[1,+∞)13.514.015.无定义16.017.不存在18.f(x₀)+2Δx19.有界20.L三、判断题1.×22.√23.×24.×25.√26.×27.×28.√29.×30.√四、简答题1.答：函数极限ε-δ定义的核心思想是：对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当自变量x与x₀的距离小于δ时（即x∈(x₀-δ,x₀+δ)且x≠x₀），函数值f(x)与极限值L的距离小于ε（即|f(x)-L|<ε）。该定义通过动态逼近刻画函数值无限接近极限值的精确过程。2.答：函数f(x)=x²在x=2处连续。理由如下：①函数在x=2处有定义，且f(2)=2²=4；②函数在x=2处的极限存在：lim(x→2)x²=4；③极限值等于函数值：lim(x→2)x²=f(2)=4。根据连续性定义，该函数在x=2处连续。3.答：数列极限是函数极限的特殊情况。数列是定义在自然数集上的函数，其极限描述的是当项数n无限增大时数列项aₙ的变化趋势。函数极限描述的是当自变量x无限接近某个定点x₀（或无限远离原点）时函数值f(x)的变化趋势。数列极限是单变量极限，而函数极限可以是单变量极限也可以是多变量极限。4.答：函数的驻点是指导数为0的点。即若f'(x₀)=0，则称x₀是函数f(x)的驻点。驻点可能是极值点，也可能是拐点。例如f(x)=x³在x=0处导数为f'(0)=3×0²=0，因此x=0是驻点，但不是极值点。5.答：介值定理的几何意义是：若连续函数在区间两端取值异号，则该函数在该区间内必有零点。具体来说，若连续函数f(x)在区间[a,b]上f(a)与f(b)异号，则必存在x₀∈(a,b)，使得f(x₀)=0。几何上表现为连续曲线必与x轴相交。6.答：函数的极值点是指函数在该点附近取得最大值或最小值的点。具体来说，若存在δ>0，使得对所有x∈(x₀-δ,x₀+δ)，有f(x₀)≥f(x)（或f(x₀)≤f(x)），则称x₀是函数f(x)的极大值点（或极小值点）。极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。例如f(x)=x³在x=0处导数为0，但x=0不是极值点。7.答：罗尔定理的条件是：①函数在闭区间[a,b]上连续；②函数在开区间(a,b)内可导；③f(a)=f(b)。罗尔定理的结论是：若函数满足上述三个条件，则必存在至少一个点c∈(a,b)，使得f'(c)=0。8.答：函数的无界是指函数值可以无限增大或无限减小。具体来说，若对于任意大的正数M，总存在x₀，使得|f(x₀)|>M，则称函数f(x)无界。例如f(x)=1/x在x=0附近无界，因为当x→0时，1/x在正负无穷之间振荡。五、应用题1.答：首先计算函数在x=1处的值：f(1)=|1-1|=0然后计算左右极限：lim(x→1⁻)f(x)=lim(x→1⁻)|x-1|=lim(x→1⁻)-(x-1)=0lim(x→1⁺)f(x)=lim(x→1⁺)|x-1|=lim(x→1⁺)(x-1)=0由于左右极限相等且等于函数值，因此函数在x=1处连续。接下来计算左右导数：f'(1⁻)=lim(h→0⁻)[f(1+h)-f(1)]/h=lim(h→0⁻)|h|/h=-1f'(1⁺)=lim(h→0⁺)[f(1+h)-f(1)]/h=lim(h→0⁺)|h|/h=1由于左右导数不相等，因此函数在x=1处不可导。结论：函数在x=1处连续但不可导。2.答：首先计算导数：f'(x)=3x²-3=3(x²-1)=3(x-1)(x+1)令f'(x)=0，解得x₁=-1，x₂=1。然后计算二阶导数：f''(x)=6x在x₁=-1处，f''(-1)=-6<0，因此x₁=-1是极大值点；在x₂=1处，f''(1)=6>0，因此x₂=1是极小值点。结论：函数在x=-1处取得极大值，在x=1处取得极小值。3.答：首先计算函数在x=0处的值：f(0)=√(0²+1)=1然后计算极限：lim(x→0)√(x