2026年重庆皇冠实验中学小升初自主招生数学试卷真题（含答案详解）

试卷第=page11页（共=sectionpages33页）试卷第=page11页（共=sectionpages33页）数学一、填空题（18小空×2分=36分）1．如图，网格中的小正方形的边长是1，那么，阴影部分的面积是______．2．的乘积中有______个数字是奇数．3．阴影部分面积是______平方米．（取）4．一个长方形周长是28厘米，长比宽多2厘米．若长增加2厘米，宽减少2厘米，新长方形面积是______平方厘米．5．一条路长600米，路的两侧都要插彩旗，原来每隔4米插一面彩旗，两端都插．现在改为每隔6米插一面．除了两端的彩旗外，中间还有______面彩旗不需要移动．6．定义，若，则______．7．小明上山速度是3千米时，沿原路下山速度是6千米时．请问他往返的平均速度是______千米时．8．一个蓄水池底部有裂缝，水匀速渗漏．池中的水可供12台抽水机同时抽5小时抽完，也可供8台抽水机同时抽7小时抽完．如果只开3台抽水机，需要______小时抽完．9．在2026年美加墨世界杯小组赛阶段，每个小组由4支球队参加单循环较量，每两队之间只踢一场比赛，获胜球队得3分，落败球队得0分，平局时两队各得1分．若某小组全部6场比赛结束后，4支球队的总积分恰好为16分，那么4支球队的不同得分组合（不考虑顺序）一共有______种．10．请你观察：，，，……，以此类推，求出_____．11．如图所示，正方形内接着一个长方形，正方形的边长是6厘米，长方形的四个点分别是正方形四条边上的三等分点，则长方形的面积为______平方厘米．12．如图，在正十边形的10个顶点中任取4个点，则以这4个点为顶点的四边形为梯形的不同选法有______种．13．这个竖式的计算结果是______．14．小明在手工课上剪制两种不同的凸多边形：长方形和凸六边形．已知他剪出的所有多边形总边数为条，且长方形和凸六边形每种至少剪个．那么小明所剪的所有多边形的内角中，最多有______个是直角．15．斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：0、1、1、2、3、5、8、13、21……这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，那么数列中：（1）前2025项中有______个奇数．（2）第2025个奇数是第______项．16．已知，得数49各位数字之和为13；，得数4489的各位数字之和是25；，得数444889的各位数字之和为37，完全平方数得数的各位数字之和为______．17．“”（中文音译西格玛）是希腊字母，也有“西玛”等各种读法，英文译音是，表示数学中的求和运算，是数学中常用的符号，主要用于多项数列的求和．表示一个数列的第项，例如对于我们熟悉的连续自然数列、、、……，有，现有一个数列：、、、、、、……，叫斐波那契数列，又称黄金分割数列，该数列从第三项起，每一项等于它前面两项之和，即，这个数列有很多有趣的规律，其中有一个是：，那么该数列的与的差（大减小）是______．二、计算题（3分×10题=30分）18．计算：19．计算：20．计算：．21．计算：22．计算：．23．计算：24．计算：25．计算：26．计算：27．计算：三、解答题（本大题6小题，1—4题每题5分，5—6题每题7分，共34分）28．大雪后的一天，大亮和爸爸共同步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和走的方向完全相同，大亮每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后雪地上只留下60个脚印，求花圃的周长．29．一个空水池装有甲、乙两个进水管和丙一个排水管．只打开甲、乙两个进水管，18分钟可以注满；开甲进水管并开丙排水管，45分钟可以注满；开乙进水管并开丙排水管，90分钟可以注满．若三管同时打开，多少分钟可以注满水池？30．今年妈妈与的年龄差等于爷爷与妈妈的年龄差．已知三人今年年龄之和是108岁，6年前爷爷的年龄是当时年龄的5倍，那么今年的年龄是多少岁？31．2026年一共有48支球队参加美加墨世界杯足球赛，先进行小组赛，每个小组4支球队进行单循环赛，每支球队与同小组另外三支球队各比赛一场；小组赛结束后选出32支球队进入淘汰赛，淘汰赛每场比赛淘汰一支球队，直至决出冠军．此外还有一场三四名决赛．美加墨世界杯一共进行了多少场比赛？32．一个正整数如果可以写成两个质数的乘积，就称它为半质数．如果一个半质数的所有数字均为偶数，并且任意除去它某个数位上的数字，余下的数字按顺序组成的数仍为半质数，就称它为完美半质数．例如2026除去某位数字后得到202、206、226、26均为半质数，因此2026就是一个完美半质数，那么小于2026的完美半质数共有多少个？33．为了进一步变化城市，某城市计划改建人民广场中心．一块边长为8米的正方形花圃，如图，，点G、H、I分别是、、的中点，计划在内放置“奋进”大型塑像，在阴影部分种植荷花，其余部分种植茉莉．原来种植1平方米荷花和1平方米茉莉的总成本为200元，受季节和气候的影响，经核算荷花的种植成本提高了2成，茉莉的种植成本降低了1成，使每平方米荷花和每平方米茉莉的种植总成本提高了．(1)试求出实际1平方米荷花和1平方米茉莉种植成本分别是多少元？(2)若此花圃实际种植总成本为7956元，请求出的长度．答案第=page11页（共=sectionpages22页）答案第=page11页（共=sectionpages22页）1．3【分析】将阴影部分的面积看作是上下两个三角形的面积之和进行计算即可．【详解】解：由图可知，阴影部分的面积是．2．【分析】通过计算少量个3组成的数相乘的结果，归纳得到规律，再推广到个的情况．【详解】解：先计算较少个数的乘积，找规律：当有个时，，奇数的个数为；当有个时，，奇数的个数为；当有个时，，奇数的个数为；当有个时，，奇数的个数为；归纳可得：个组成的数相乘，乘积中奇数的个数为；本题中，因此乘积中奇数的个数为．3．【分析】观察图形可知，四个圆的圆心连线可以构成一个正方形，这个正方形的边长等于两个圆的半径之和，也就是圆的直径，阴影部分位于正方形内部，且正方形的四个角分别是四个圆的圆心，因此，阴影部分的面积等于正方形的面积减去四个扇形的面积．【详解】解：观察图形可知，四个圆的圆心连线可以构成一个正方形，这个正方形的边长等于两个圆的半径之和，也就是圆的直径，阴影部分位于正方形内部，且正方形的四个角分别是四个圆的圆心，因此，阴影部分的面积等于正方形的面积减去四个扇形的面积，正方形的边长为（米），正方形的面积为（平方米），四个扇形拼在一起正好是一个半径为米的完整的圆，则圆的面积为（平方米），∴阴影部分的面积为（平方米）．4．【分析】先根据原长方形的周长和长、宽的数量关系求出原长和原宽，再计算变化后的长和宽，最后求出新长方形的面积．【详解】解：（厘米），（厘米），（厘米），（厘米）∴原长方形宽为厘米，长为8厘米，变化后新长方形的长为（厘米），宽为（厘米），新长方形面积为（平方厘米）．5．98【分析】不需要移动的彩旗位置是和的公倍数处，先求两个数的最小公倍数，再计算一侧不需要移动的彩旗数量，去掉两端后乘两侧得到最终结果．【详解】解：∵不需要移动的彩旗所在位置是和的公倍数，和的最小公倍数是，∴长米的路，一侧不需要移动的彩旗（含两端）数量为面∵题目要求除两端外的中间彩旗数量，∴一侧中间不需要移动的彩旗数量为面，∵路的两侧都要插彩旗，∴总数量为面．6．【分析】先根据新定义计算内层运算，再代入外层运算得到关于的一元一次方程，求解方程即可得到结果．【详解】解：由题意得，，将代入原等式得，解得．7．【分析】平均速度等于往返总路程除以往返总时间，设出单程路程，分别求出上山和下山的时间，即可计算得到结果．【详解】解：设单程路程为千米，由题意得，上山时间为小时，下山时间为小时，往返总路程为千米，∴往返总时间为（小时），∴往返平均速度为（千米时）．8．14【分析】设每份抽水量、原有水量和渗漏速度，根据两个已知条件列方程求出参数，再计算3台抽水机的抽水时间．【详解】解：设每台抽水机每小时抽水量为1份，每小时渗漏水量为份，水池原有水量为份，设3台抽水机小时可以抽完∵12台抽水机5小时抽完，抽水量加渗漏总量等于原有总水量，可得整理得①∵8台抽水机7小时抽完，同理可得整理得②联立①②得解得将代入①得对3台抽水机抽水的情况，根据总水量关系可得代入，得解得即需要14小时抽完．9．11【分析】先根据总积分算出平局场数，再按最大积分从小到大枚举所有不考虑顺序的不同得分组合，验证组合是否符合比赛规则，统计得到总数．【详解】解：支球队单循环共有场比赛，设平局共场，则分出胜负的场次为场，由题意得，，解得，即全组共场平局，4场分出胜负的场次，接下来找不考虑顺序的四个非负整数和为，验证符合比赛规则的组合：由题意得，每个队最多比赛3场，当最大得分为时：即某队三战全胜，此时剩余三队和为，仅存在组合，符合规则，共种；当最大得分为时：某队三场比赛不全胜，则最多是两胜一平，得到分，不可能是分，共种；当最大得分为时：即某队两胜一平，剩余三队和为，符合规则的组合有：，，，，，，共6种；当最大得分为时：即某队两胜一负，剩余三队和为，符合规则的组合有：，，共种；当最大得分为时：即某队一胜两平，剩余三队和为，符合规则的组合有：，共1种；当最大得分为4时：即每队都一胜一平一负得4分，符合规则的组合有：，共1种；当最大得分小于或等于3时：则总分小于16分，不符合题意；综上所述，总共有种．10．【分析】所求的等于的和减去的和，代入平方和公式计算即可．【详解】解：平方和公式为，所求式子可变形为，先计算，再计算，原式．11．【分析】长方形的面积等于边长为6厘米正方形的面积减去四个直角三角形的面积即可．【详解】解：长方形的面积为：（平方厘米）．12．60【分析】根据梯形的定义，分三种情况求解即可．【详解】解：以为底边的梯形有，，共3个；同理可得，以为底的梯形也各有3个，此时一共有30个；以为底边的梯形有，共2个；同理可得，以为底的梯形也各有2个，此时一共有20个；以为底边的梯形有共1个；同理可得，以为底的梯形也各有1个，此时一共有10个；综上所述，一共有（个）．13．【分析】先确定第一层积的数字，即可得出第一个乘数，再讨论第二个乘数的个位，并结合第二层积的特点得出答案．【详解】解：观察竖式可知第一层积结果是一个三位数，且十位数是0，因为被乘数是两位数，最大是99，则，所以第一层积的百位数只能是1，即第一层积为．由竖式的最下方结果的个位数是6，所以第一层积的个位是6，即第一层积是106．由，得第一个乘数为53．当第二个乘数的十位是1时，（两位数，不符合题意）；当第二个乘数的十位是2时，（十位数是0，不符合题意）；当第二个乘数的十位是3时，（十位数是5，不符合题意）；当第二个乘数的十位是4时，（十位数是1，不符合题意）；当第二个乘数的十位是5时，（十位数是6，不符合题意）；当第二个乘数的十位是6时，（十位数是1，不符合题意）；当第二个乘数的十位是7时，（十位数是7，不符合题意）；当第二个乘数的十位是8时，（十位数是2，符合题意）；当第二个乘数的十位是9时，（十位数是7，不符合题意），所以第二个乘数的十位数是8，第二个乘数是82，则．14．【分析】设长方形个数为，凸六边形个数为，根据总边数列出方程，结合凸多边形外角和得到单个凸六边形最多直角数，将总直角数表示为的函数，找最小符合条件的得到最大直角数．【详解】解：设小明剪了个长方形，个凸六边形，均为正整数，满足，每个长方形有条边，每个凸六边形有条边，总边数为，，化简得，即．每个长方形有个直角，分析凸六边形最多直角个数：凸多边形外角和为，若内角是直角，对应外角为，设凸六边形有个直角，其余外角和大于，可得，即，单个凸六边形最多有个直角，要使总直角数最多，每个凸六边形都取最多个直角，设总直角数为，则，将代入得：，要使最大，需取最小的符合条件的正整数．是正整数，是偶数，是偶数，可得为偶数，又，最小符合条件的，此时，是正整数，符合要求，代入得．15．【分析】找出数列奇偶性的周期规律，结合周期分别计算两小问．【详解】解：∵斐波那契数列从第3项起每一项等于前两项之和，∴数列各项奇偶性依次为偶、奇、奇、偶、奇、奇、……，周期为3，每个周期内有2个奇数、1个偶数．（1）∵，∴前2025项共有675个完整周期，奇数个数为；（2）∵每个周期含2个奇数，，即1012个完整周期后还需1个奇数，1012个周期的总项数为，第2025个奇数是第1013个周期的第2项，∴第2025个奇数对应项数为．综上所述，（1）前2025项中有1350个奇数；（2）第2025个奇数是第3038项．16．【分析】根据给出的例子归纳数字规律，得到个时各位数字和的表达式，代入计算．【详解】解：整理已知条件得：当有个时，，各位数字和为，当有个时，，各位数字和为，当有个时，，各位数字和为，归纳得规律：若原数含个，则平方结果的各位数字和为，本题中，代入得：．17．【分析】将转化为，利用题目给出的求和公式化简后计算差值．【详解】解：由题意得，，，，可表示前项的和减去前项的和，即，代入公式得：，，因此，∴，根据斐波那契数列规律计算得：，，，，即．18．【详解】解：．19．【分析】本题考查有理数混合运算，发现规律进行简便运算是解题关键．先得到，由此进行简便运算原式，再用求和公式得到答案即可．【详解】解：

由此可知原式20．【分析】先计算几个简单的例子，发现规律，两个连续自然数，大的平方减小的平方，结果就是这两个数的和，然后再计算化简后的式子．【详解】解：，而，，而，，而，发现规律，两个连续自然数，大的平方减小的平方，结果就是这两个数的和，故．21．（或）【分析】观察到式子具有规律性，可将每项进行拆解，由于，，拆分到最后一项时，已分解出个，如此拆分后按照规律将各项相加即可求解．【详解】解：．22．373【详解】解

因，故．23．【分析】本题主要考查平方差公式，分母可通过高斯求和公式进行巧算，分子可根据平方差公式进行巧算．【详解】24．【详解】解：∵∴∴．25．【分析】先推导每一项的裂项形式，通过裂项相消抵消中间项，简化计算.【详解】解：对于任意正整数，有，则，故原式.26．【详解】解：∵，，，∴．27．【分析】采用裂项相消法计算，中间项相互抵消后仅需计算首尾项即可．【详解】解：原式．28．花圃的周长为2160厘米【分析】先求54与72的最小公倍数得到脚印重合的间隔长度，计算单间隔内的实际脚印数，结合总脚印数求出间隔数，进而算出花圃周长．【详解】解：根据题意，两人同起点沿圆形花圃同向行走，重合脚印仅算1个，大亮步长54厘米，爸爸步长72厘米，走完一圈共留下60个脚印，54和72的最小公倍数为，即每走216厘米两人脚印重合1次，每216厘米内，大亮的脚印数为（个），爸爸的脚印数为（个），减去重合的1个脚印，每216厘米实际留下（个）脚印，总脚印数为60个，所以这样的长度间隔共有（个），所以花圃的周长为（厘米）．答：花圃的周长为2160厘米．29．若三管同时打开，22.5分钟可以注满水池【分析】先求出甲、乙进水效率和，甲、丙效率差，乙、丙效率差，进而求出丙的排水效率，再用甲乙效率和减去丙效率得到净进水效率，最后用总量“1”除以净效率即可得到时间．【详解】解：只打开甲、乙两个进水管，18分钟可以注满，故甲、乙进水效率和为，开甲进水管并开丙排水管，45分钟可以注满，故甲、丙效率差为，开乙进水管并开丙排水管，90分钟可以注满，故乙、丙效率差为，丙的排水效率为，若三管同时打开，净进水效率为，注满水池时间为（分钟）．答：三管同时打开，22.5分钟可以注满水池．30．今年的年龄是16岁【分析】由年龄差相等推出妈妈年龄为三人年龄的平均值，先求妈妈年龄，再结合6年前的年龄倍数关系求解．【详解】解：今年妈妈的年龄为：（岁），6年前爷爷和年龄之和为：（岁），6年前的年龄为：（岁），今年的年龄为：（岁）．答：今年的年龄是16岁．31．美加墨世界杯一共进行了104场比赛.【分析】将赛事分为小组赛、淘汰赛、三四名决赛三个部分，分别计算各部分场数后求和得到总场数.【详解】解：（组），循环赛总共有（场）；淘汰赛共有（场）；（场）；答：美加墨世界杯一共进行了104场比赛.32．小于2026的完美半质数共有5个【分析】根据半质数和完美半质数的定义，利用全偶数字的半质数必为2乘质数的性质，按位数从少到多枚举验证，先找出符合条件的两位数、三位数，再结合小于2026的限制分析四位数的情况．【详解】解：当这个数为一位数时，去掉一个数字后则无数字，不满足题意；当这个数为两位数时，由题意得，这个两位数十位和个位上的数字都是半质数且是偶数，∵一位偶数中是质数，，，，∴一位偶数中，半质数有4，6，∴两位完美半质数的十位和个位只能是4或6，∵在两位数中，十位和个位是4或6的有44，46，64，66，且，，，，∴两位完美半质数有46；当这个数为三位数时，由题意得，这个数去掉它某个数位上的数字，余下的数字按顺序组成的数仍为半质数，且每个数位上数字都是偶数，∵两位数中，十位或个位数字都是偶数的有20，22，24，26，28，40，42，44，46，48，60，62，64，66，68，80，82，84，86，88，且，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，∴两位全偶数字的半质数有22，26，46，62，82，86，∴三位全偶数字的完美半质数，任意除去它某个数位上的数字，余下的数字按顺序组成的数是22或26或46或62或82或86，设这个三位数为，由题意可得或或或8，或或或或，当去掉十位上的数字时，得到两位数为，当时，当这个三位数是完美半质数时，则为22或26，即或，∵，，，，，，，，，，∴其中半质数有202，262，206，226，∵202去掉个位上的2得20，而20不是半质数，则202不是完美半质数，262去掉某个数位上的数字得62，22或26，而62，22，26都是半质数，则262是完美半质数，206去掉个位上的6得20，而20不是半质数，则206不是完美半质数，226去掉某个数位上的数字得22或26，而22，26都是半质数，则226是完美半质数，∴当，时，完美半质数有262，226；当时，当这个三位数是完美半质数时，则为46，即，∵，，，，，∴其中半质数有446，466，∵446去掉个位上的6得44，而44不是半质数，则446不是完美半质数，466去掉百位上的4得66，而66不是半质数，则466不是完美半质数，∴当，时，没有完美半质数；当时，当这个三位数是完美半质数时，则为62，即，∵，，，，，∴其中半质数有622，662，∵622去掉某个数位上的数字得62或