大学概率论与数理统计《多维随机变量》课堂讲授课件

概率论与数理统计多维随机变量：联合、边缘、条件与独立性联合分布·边缘分布·条件分布·独立性2026年本章导览01从一维到二维实际背景引入，建立二维随机变量概念02联合分布联合分布函数与联合概率密度03边缘与条件由联合剥离边缘分布，聚焦条件分布04独立与常见分布独立性判定与二维均匀、正态分布05函数分布二维随机变量函数的分布求法01从一维到二维一个变量不够用，两个一起看打靶弹着点、飞机空间位置，都需要多个随机变量共同刻画一维不够用，二维随机变量的由来一个随机变量只能描述一个指标，复杂随机现象需要多个变量共同刻画一个指标用一个随机变量来描述，多个相关指标则需要多个随机变量乃至随机向量来共同刻画。01二维随机向量实际背景打靶时，弹着点的确切位置由水平、垂直两个方向的有向距离

X

和

Y

共同确定。飞机在空中飞行时，其位置需要

三个随机变量

确定，即三个坐标。02随机向量二维随机变量由二维推广到

n维

没有实质性困难设

E

是随机试验，样本空间为

Ω，X

与

Y

是定义在同一样本空间

Ω

上的两个随机变量，称向量

(X,Y)

为二维随机变量，也称二维随机向量。本章重点研究二维随机变量。联合分布函数与几何意义对任意实数

x,y，二元函数

F(x,y)

等于事件

X不超过x且Y不超过y01几何意义随机点的矩形域落点把

(X,Y)

看作平面上随机点的坐标。F(x,y)

即随机点落在以点

(x,y)

为顶点、向左下方无限延伸的无穷矩形域内的概率。02地位完整刻画统计规律联合分布函数完整描述二维随机变量的统计规律。相当于一维情形下的分布函数。联合分布函数的四条性质上述四条性质构成联合分布函数的充要条件，缺一不可非负规范性对任意x，y，0不大于F(x,y)不大于1；x或y趋于负无穷时F趋于0，两者同时趋于正无穷时F趋于1。单调不减性F(x,y)关于x和关于y均单调不减。右连续性F(x,y)关于x和关于y均右连续。矩形区域概率随机点落在矩形区域内的概率，等于四个角的分布函数值按对角线相加减。02联合分布整体规律，一网打尽联合分布函数与联合概率密度，完整描述二维随机变量的统计规律二维离散型随机变量与分布律若二维随机变量

(X,Y)

所有可能的取值是

有限个或可列个，则称为

二维离散型随机变量联合分布律p_ij

等于事件X取xi且Y取yj的概率，i与j从1起依次取值常用列表法给出所有取值与对应概率两条基本性质非负性：每个p_ij都不小于

0归一性：所有p_ij之和等于

1非负性与归一性构成联合分布律的充要条件掷两骰子看联合分布律最简单的二维分布，藏在两枚骰子里掷两枚骰子，用

X、Y

记录点数，即可得到最简单的二维分布36种等可能组合01实例设定两枚骰子的随机变量设

X

表示第一个骰子的点数，Y

表示第二个骰子的点数X与Y均可取1到6，共有

36种

等可能的取值组合02联合分布律36格等概率表格联合分布律是一个

6行6列

的表格，每一格的概率均为

三十六分之一，共36格对每一行求和即得

X的边缘分布律，对每一列求和即得

Y的边缘分布律，两者均为离散均匀分布离散型联合分布函数求法例：设(X,Y)的联合分布律为P(X=0,Y=0)=0.1P(X=0,Y=1)=0.3P(X=1,Y=0)=0.2P(X=1,Y=1)=0.4求其联合分布函数。区域范围F(x,y)取值x小于0或y小于000≤x＜1且0≤y＜10.1x≥1且0≤y＜10.40≤x＜1且y≥10.3x≥1且y≥11按

分区域累加

的方式求得的分段函数，即为所求联合分布函数。二维连续型随机变量与概率密度若存在非负可积函数f(x,y)，使得联合分布函数F(x,y)等于f在

(−∞,x]×(−∞,y]

上的二重积分，则称(X,Y)为二维连续型随机变量，f(x,y)称为

联合概率密度非负性f(x,y)≥0f(x,y)在定义域上取值不小于0，是概率密度的基本约束。归一性∬=1f(x,y)在整个平面上的二重积分等于

1，常用于确定待定参数。概率计算P{(X,Y)∈G}随机点落在平面区域

G

内的概率等于f在G上的二重积分。偏导关系∂²F/∂x∂y在f的连续点处，F先对

x

再对

y

求二阶混合偏导即得f(x,y)。联合密度求参数与概率例题设定设(X,Y)的概率密度为

f(x,y)=ke^(-(2x+y))，x>0，y>0；其余为0。1第一问·求常数k由归一性，密度在整个平面上的二重积分等于1，解得

k=2。2第二问·求分布函数F(x,y)=(1-e^(-2x))(1-e^(-y))，x>0，y>0。3第三问·求概率P(Y≤X)把(X,Y)看作平面上随机点，事件Y≤X对应区域G，计算二重积分得

1/3，符合概率取值范围。连续型的单点概率为零连续型随机变量落在单点或曲线上的概率为

0，必须借助区域积分刻画分布函数连续性二维连续型随机变量的分布函数处处连续任意曲线概率为零对平面上任意曲线L，随机点落在L上的概率均为

0，特别地P(X等于a且Y等于b)等于

0几何体积解释z等于f(x,y)表示空间中的一张曲面，曲面与xOy平面围成的体积等于

1，P(随机点落入区域G)等于以G为底、以曲面为顶的柱体体积03边缘与条件整体看局部，条件看关联边缘分布刻画单个分量，条件分布刻画分量之间的依赖关系由联合分布求边缘分布函数联合分布是整体，边缘分布是投影定义FX(x)=F(x,+∞)与FY(y)=F(+∞,y)分别为(X,Y)关于X和关于Y的

边缘分布函数，即联合分布函数在另一变量趋于正无穷时的极限。定义FX(x)=F(x,+∞)(X,Y)关于X的边缘分布函数FY(y)=F(+∞,y)(X,Y)关于Y的边缘分布函数结论得到边缘分布函数后，二维问题化为两个一维问题，可按一维随机变量的方法处理这一步是无条件刻画，不涉及两个变量之间的关联行求和得X，列求和得Y边缘分布律的两种求法口诀性质边缘分布律仍满足非负性与归一性，仍需验证所有边缘概率之和等于

1X的边缘分布律P(X=xi)=联合分布律表中第

i

行的所有概率之和按行求和，得X的边缘分布Y的边缘分布律P(Y=yj)=联合分布律表中第

j

列的所有概率之和按列求和，得Y的边缘分布边缘密度靠积分消去变量X的边缘密度fX(x)=∫f(x,y)dy对y从

负无穷

到

正无穷

积分Y的边缘密度fY(y)=∫f(x,y)dx对x从

负无穷

到

正无穷

积分物理意义若f(x,y)表示平面上的面密度，则fX(x)是把平面垂直压到x轴后得到的线密度，即压缩后的结果。关键提醒当f(x,y)由分段表达式给出时，不同x对应的y积分限可能不同，必须分段讨论。边缘分布律对比实例核心结论由联合分布律按行、按列求和，可分别得到

X

与

Y

的边缘分布律。同一取值下，两个分量的边缘概率差异明显。取值X的边缘概率Y的边缘概率510.280.18520.280.15530.220.35540.090.12550.130.20联合可确定边缘，反之不成立相同的边缘分布，可以来自不同的联合分布有放回取球袋袋中有

2个白球、3个红球，每次取一个，取后放回律X与Y的边缘分布律完全确定，联合分布律由边缘分布直接相乘得到无放回取球袋同样

2个白球、3个红球，每次取一个，取后不放回变两者的边缘分布律依然相同，但联合分布律已经改变核心警示边缘分布只刻画单个分量，丢失了变量之间的关联信息因此不能反推联合分布条件分布律的引入与求法条件分布律满足分布律的两条特征：非负性

与

归一性求法三步条件分布刻画的是

固定一个分量后另一个分量的规律，与边缘分布的定位不同定义在

Y等于yj

的条件下，X的条件分布律为

pij/P(Y=yj)，要求

P(Y=yj)>0对称形式在

X等于xi

的条件下，Y的条件分布律为

pij/P(X=xi)，要求

P(X=xi)>001联合分布律先求联合分布律，即全部pij02边缘分布律再求边缘分布律，即P(Y=yj)或P(X=xi)03作商最后作商，即pij

除以对应边缘分布律条件分布律例题演练例题条件当

X=51

时，求Y的条件分布律，其中

P(X=51)=0.28。Y取值联合概率条件概率510.060.214520.070.250530.050.179540.050.179550.050.179操作要点条件概率由各联合概率

除以X=51的边缘概率

得到，所有条件概率之和近似为

1。连续型的条件概率密度连续型条件密度定义与关键要点Y=y条件下X的条件密度f(x|y)=f(x,y)f_Y(y)要求

f_Y(y)>0X=x条件下Y的条件密度f(y|x)=f(x,y)f_X(x)要求

f_X(x)>0关键要点分母是另一变量的边缘密度，且必须大于0哪个是随机变量，就写出哪个的取值范围易错提醒连续型随机变量单点处概率为

0，不能直接套用条件概率公式必须先求边缘密度再作商，不能直接套公式04独立与常见分布互不影响，就是独立独立性判定与二维均匀分布、二维正态分布相互独立的定义与直观含义一个变量取什么值，不影响另一个变量独立性是简化多维概率计算的最重要手段正式定义若对任意实数

x,y，都有

F(x,y)=F_X(x)×F_Y(y)，则称

X

与

Y

相互独立，也称两者互不影响。要求分布函数对所有实数成立，而非仅在部分区域成立。直观含义与价值直观含义：一个变量的取值不改变另一个变量的分布规律。独立性是简化多维概率计算的最重要手段。独立性的充要条件与判定离散型判定对任意i,j均满足

pij=P(X=xi)·P(Y=yj)，则X与Y相互独立连续型判定联合密度可分解为两个边缘密度之积，几乎处处成立，则X与Y相互独立判反例法只要存在某一对i,j使联合概率不等于边缘概率之积，即可判定X与Y不独立，无需逐点验证独立时联合分布等于边缘分布之积，条件分布与条件无关独立性判定实例有放回时每格都等于边缘概率之积，相互独立；无放回时不相等，不独立。联合概率对照(0,0)有放回

0.36无放回

0.30(0,1)有放回

0.24无放回

0.30(1,0)有放回

0.24无放回

0.30(1,1)有放回

0.16无放回

0.10有放回时每格都等于边缘概率之积，相互独立；无放回时不相等，不独立。二维均匀分布区域D上均匀分布的定义、特点与典型区域均匀分布设区域D的面积为

S_D，若联合密度在(x,y)属于D时等于

S_D分之一，在D外等于

0，则称(X,Y)服从D上的均匀分布特点与典型区域2项特点随机点落在D内各处的概率密度相同，即等可能分布典型区域直线

y=x

与抛物线

y=x²

所围成的区域例题例题设(X,Y)在以原点为中心的圆域上服从均匀分布，可先写出联合密度，再分别求出两个边缘密度，并进一步判断X与Y是否独立二维正态分布及其参数二维正态分布由五个参数完全确定参数构成与分布记号2项参数构成两个均值

μ1、μ2，两个方差

σ1²、σ2²，以及相关系数

ρ分布记号(X,Y)服从以这五个量为参数的二维正态分布密度结构与参数含义2项密度结构分母含

√(1−ρ²)，指数部分为关于x与y的二次型参数含义ρ

刻画X与Y之间的线性相关程度二维正态分布的三大性质📊二维正态分布的三条关键性质注意：ρ=0则独立这一结论只对二维正态分布成立，对一般随机变量并不成立边缘分布两个边缘分布均为一维正态分布，但反之不成立独立与不相关X与Y独立等价于

ρ=0，即不相关线性组合相互独立的正态随机变量的线性组合仍服从正态分布05函数分布已知分布，推出新分布二维随机变量函数的分布，离散型穷举法与连续型卷积公式离散型随机变量函数的分布若Z是X与Y的函数，如何由(X,Y)的分布求出Z的分布穷举法三步骤核心方法是

合并同类项，典型函数形式包括

和·积·最大值

与

最小值由(X,Y)的联合分布推导Z=g(X,Y)的分布01第一步列出(X,Y)所有可能的取值组合›02第二步计算函数值Z等于g(X,Y)的映射结果›03第三步合并相同结果，把对应概率累加离散型函数分布的核心是

合并同类项，典型函数形式包括

和、积、最大值

与

最小值两骰子点数和的分布两骰子点数和的分布呈中间高两端低的对称形态，7

点概率最高

0.167穷举法连续型函数分布的一般公式先求分布函数，再对

z

求导得密度，两步走密度公式一对x积分fZ(z)等于f(x,z减x)对

x

从负无穷到正无穷的积分密度公式二对y积分fZ(z)等于f(z减y,y)对

y

从负无穷到正无穷的积分求解步骤三步法求FZ(z)求Z等于X加Y的分布，FZ(z)等于P(Z不大于z)二重积分转化为(X,Y)落在半平面上的二重积分变量代换作变量代换后可得密度公式独立条件下的卷积公式卷积公式把二维问题化为一维积分，是求独立随机变量之和分布的利器。卷积公式是独立情形下最常用的形式例例题两台记录仪接替工作两台记录仪的无故障工作时间均服从同一指数分布先开动一台、故障后另一台接替可用卷积公式求总时间的密度函数正态分布的可加性设X与Y相互独立，且分别服从正态分布，则Z=X+Y仍服从正态