大学概率论与数理统计《随机变量的数字特征》专题课件

随机变量的数字特征数学期望·方差·协方差·相关系数·矩概率论与数理统计专题课件课程导览01期望与方差数字特征的基本概念与计算方法02协方差与相关系数刻画随机变量之间的线性关联03矩与综合应用拓展矩的概念并综合演练典型例题期望与方差把握随机变量的集中趋势与离散程度从期望到方差，认识随机变量的基本特征01数学期望的定义期望刻画随机变量取值的平均水平期望是以概率为权的加权平均，反映随机变量取值的集中位置定义3项离散型随机变量各取值与对应概率乘积的总和连续型随机变量取值与密度函数乘积的积分绝对收敛条件级数或积分须绝对收敛，否则称期望不存在理解要点2项加权平均以概率为权的加权平均，反映取值的集中位置由分布唯一确定期望由分布唯一确定，与具体试验结果无关例题掷一枚均匀骰子，点数X的期望为1至6的算术平均3.5期望的运算性质基本性质常数的期望等于该常数本身常数与随机变量乘积的期望，等于常数乘以该变量的期望期望具有线性性，随机变量之和的期望等于期望之和独立条件下的性质若X与Y相互独立，则乘积的期望等于期望的乘积该性质是后续协方差简化的关键依据应用提示复杂随机变量常拆解为简单变量之和，再逐项求期望常见分布的期望记住常见分布的期望，可显著提升解题效率常见分布的期望速查分布名称记号期望两点分布B(1,p)p二项分布B(n,p)np泊松分布P(λ)λ均匀分布U(a,b)(a+b)除以2指数分布E(λ)1除以λ正态分布N(μ,σ²)μ方差的定义与计算方差刻画随机变量取值相对于期望的离散程度标准差为方差的算术平方根，与随机变量同量纲，便于直观比较离散程度。方差以平方的期望为度量尺度，其值越大，随机变量取值越分散。定义2项平方期望随机变量与期望之差平方后的期望，记为D(X)。非负性方差非负，等于零当且仅当随机变量几乎处处取常数。简化计算公式1项平方的期望减去期望的平方可大幅减少运算量，是解题中最常用的计算路径。方差的性质与标准差基本性质3项常数的方差为零常数倍的方差等于常数平方乘以原方差平移不改变方差方差对位置变化不敏感加法规则一般情形和的方差等于方差之和再加两倍协方差相互独立若

X与Y相互独立，协方差为零，和的方差等于方差之和常见分布的方差方差与期望配套记忆，构成分布的基本参数体系分布名称记号方差两点分布B(1,p)p(1−p)二项分布B(n,p)np(1−p)泊松分布P(λ)λ均匀分布U(a,b)(b−a)²除以12指数分布E(λ)1除以λ²正态分布N(μ,σ²)σ²方差与期望配套记忆，构成分布的基本参数体系二项分布的期望与方差计算5期望参数乘积2.5方差期望乘以失败概率1.581标准差对2.5开平方所得量纲一致：标准差与取值次数同量纲。1第一步代入期望公式代入二项分布期望公式，参数乘积为

52第二步代入方差公式期望乘以失败概率，结果为

2.53第三步开平方得标准差对2.5开平方，得标准差约为

1.581协方差与相关系数度量变量之间的线性关联强度协方差与相关系数，揭示变量间的内在联系02协方差的定义与意义协方差度量两个随机变量同向或反向变动的趋势协方差为两变量各自偏离期望之积的期望。—协方差的定义定义协方差为两变量各自偏离期望之积的期望简化公式：乘积的期望减去期望的乘积符号解读取

正值

表示两变量同向变动取负值表示两变量反向变动取零表示两变量无线性关联协方差的性质协方差取值受量纲影响，数值大小不便直接比较对称与自身协方差具有对称性，交换两个变量位置结果不变变量与自身的协方差等于该变量的方差线性运算常数倍的变量与其他变量的协方差，等于常数乘以原协方差和变量的协方差可逐项拆分计算相关系数的定义与性质相关系数是消除了量纲影响的标准化协方差“绝对值越接近一，线性关联越强”相关系数是消除了量纲影响的标准化协方差定义相关系数等于协方差除以两个标准差之积结果为无量纲数值，便于跨场景比较关键性质取值范围在负一与正一之间取正一或负一时，两变量之间存在严格的线性关系取零时称两变量不相关-1≤r≤+1相关系数取值区间无量纲协方差除以标准差之积后消除量纲，数值便于跨场景比较不相关与相互独立独立一定不相关，不相关却未必独立独立与不相关：充分而非必要的逻辑关系相逻辑关系相互独立没有任何关联，包括非线性关联不逻辑关系不相关仅说明不存在线性关联充逻辑关系充分而非必要独立是不相关的充分条件，而非必要条件设条件设定X设X服从标准正态分布YY取X的平方结结论阐释协方差二者协方差为零但不相互独立依赖存在明显的非线性依赖相关系数计算例题设X与Y的方差分别为

4

和

9，相关系数为

0.5，求协方差及和变量的方差1第一步求标准差标准差分别为

2

和

32第二步反解协方差由相关系数定义反解协方差，得

33第三步代入和方差公式加上两倍协方差，得

19结果整理协方差为3和的方差为19，大于方差之和

13矩与综合应用从矩的统一视角俯瞰数字特征综合演练，融会贯通数字特征的应用03原点矩与中心矩矩是随机变量数字特征的统一表达框架矩是随机变量数字特征的统一表达框架原点矩中心矩低阶矩是高阶矩的特例，期望与方差被统一纳入矩的体系原点矩随机变量

k次幂的期望称为k阶原点矩一阶原点矩即为数学期望中心矩随机变量减去期望后k次幂的期望称为k阶中心矩二阶中心矩即为方差混合矩的概念矩体系将单变量特征与多变量关联特征统一描述单变量特征多变量关联特征协方差，正是矩体系中的一阶加一阶混合中心矩混合原点矩两变量幂次乘积的期望称为混合原点矩混合中心矩两变量各自减去期望后幂次乘积的期望称为混合中心矩数字特征综合应用数字特征是分布信息最精炼的概括以期望、方差、相关系数与矩的框架，把握分布特征的精炼刻画。典型应用方向以期望衡量平均水平，用方差衡量风险与波动以相关系数刻画多个变量之间的关联强度