大学高等数学《导数与微分》课程讲义课件

高等数学·课程讲义从变化率到导数再到微分高等数学《导数与微分》课程讲义授课时间：2026年课程导览01变化率的直觉从平均速度到瞬时速度02导数的定义用极限刻画瞬时变化率03求导法则体系基本公式与四则复合求导04高阶与隐函数拓展求导能力边界05微分及其应用近似计算与误差估计06综合与展望典型例题串讲与学习指引变化率的直觉变化无处不在，如何精确刻画从平均速度出发，逼近瞬时速度01从平均速度说起某段时间内的平均速度=位移增量

÷

时间增量，只反映整段时间的粗略快慢物体自由下落，位移

s

随时间

t

变化，记为

s=s(t)1平均速度定义位移增量

÷

时间增量2局限只反映整段时间的粗略快慢3时间增量缩小若想知道某一瞬间的速度，需让时间增量不断缩小4瞬间疑问如何刻画瞬间的变化快慢核心疑问：如何刻画“瞬间”的变化快慢？平均变化率与割线斜率平均变化率：函数增量与自变量增量之比

Δy/Δx=[f(x₀+Δx)−f(x₀)]/Δx概念要点2项自变量增量自变量从

x₀

变到

x₀+Δx，函数相应产生增量

Δy变化快慢平均变化率=Δy÷Δx，刻画区间内函数变化的平均快慢几何与直观2项几何意义曲线上两点连线的

割线斜率变化剧烈程度平均变化率越大，函数在该区间变化越

剧烈从割线逼近切线第1步Δx趋近0让Δx不断趋近于

0割线随之绕定点转动。第2步趋于切线割线趋于一条确定的直线即该点处的

切线。第3步刻画变化率斜率刻画变化率切线斜率刻画了函数在该点的

瞬时变化率。第4步平均→瞬时平均变化率过渡为瞬时变化率平均变化率由此过渡为

瞬时变化率。第5步极限严格化用极限把逼近说清楚剩下要做的，是用

极限

把"逼近"严格说清楚。导数的定义极限是导数的灵魂用极限把瞬时变化率说清楚02导数的极限定义导数的本质：平均变化率的极限，即瞬时变化率导数定义前提条件设函数

y=f(x)

在点

x₀

的某邻域内有定义极限存在若lim(Δx→0)[f(x₀+Δx)−f(x₀)]÷Δx存在可导判定则称f(x)在x₀处可导，该极限值即为导数

f′(x₀)等价形式lim(x→x₀)[f(x)−f(x₀)]÷(x−x₀)核心含义以上极限正是

平均变化率的极限，即瞬时变化率导数的记号与左右导数左导数左侧Δx从左侧趋于

0极限取极限右导数右侧Δx从右侧趋于

0极限取极限导数记为

f′(x₀)，也可记作

dy/dx

在x₀处的值可导的充要条件是左右导数都存在且相等左右导数不等或不存在时，函数在该点不可导可导与连续的关系可导是比连续更强的要求01定理定理内容函数在某点可导，则它在该点必连续。反之不成立，连续不一定可导。02反例典型反例函数

y=|x|

在

x=0

处连续却不可导。左侧斜率

−1，右侧斜率

1，左右导数不等。导数的几何意义切线方程可由点斜式直接写出f′(x₀)

等于曲线y=f(x)在点(x₀,f(x₀))处切线的斜率斜率>0函数在该点附近上升切线自左下向右上几何含义：曲线在此处递增斜率<0函数在该点附近下降切线自左上向右下几何含义：曲线在此处递减斜率=0该点是可能的极值点切线水平几何含义：曲线在此处取峰或谷求导法则体系掌握法则，求导有章可循基本公式与运算法则一网打尽03基本初等函数导数公式五类基本初等函数的导数公式，构成求导运算的工具零件常数函数C′=0幂函数(xⁿ)′=n·xⁿ⁻¹指数函数(eˣ)′=eˣ对数函数(lnx)′=1/x三角函数(sinx)′=cosx(cosx)′=−sinx导数的四则运算法则和差法则(u±v)′=u′±v′两函数和差的导数，等于导数之和差求导基础乘法法则(uv)′=u′v+uv′两函数乘积的导数，前导后不导加前不导后导乘积求导除法法则(u/v)′=(u′v−uv′)/v²两函数商的导数，分子为

u′v减uv′，分母为v的平方商的求导复合函数与链式法则由外向内逐层求导，再连乘起来法则要点若

y

是

u

的函数，u

是

x

的函数则复合函数对

x

的导数，等于外层导数乘以内层导数链式法则是处理复合结构的核心工具典型示例对

sin(x²)

求导：先对外层正弦求导，再乘以内层

2x求导综合演练先辨结构，再动手求导典型例题串联法则使用一求(x²+1)eˣ的导数结构识别为乘积结构法则套用乘法法则思路先辨结构再动手二求ln(sinx)的导数结构识别为复合结构法则由外向内逐层求导思路先辨结构再动手高阶与隐函数层层求导，步步深入高阶导数与隐函数求导方法04高阶导数定义：层层求导函数

y=f(x)

的导数仍是x的函数对导数再求导，得到二阶导数，记为

f″(x)类似地可定义三阶导数及

n阶导数物理意义二阶导数是加速度几何意义二阶导数符号判断曲线凹凸性隐函数求导示例由

x²+y²=1，可求出切线斜率“把求导的适用对象从显函数扩展到隐式方程给出的函数关系。”当函数关系由方程

F(x,y)=0

给出、y未显式解出时，需以隐函数方式求导第1步设元设y为x的函数把

y

看作

x

的函数。第2步求导两边对x求导方程两边同时对

x

求导。第3步复合y项按复合处理遇到含

y

的项按

复合函数

处理。第4步解出解出y′的表达式从中解出

y′

的表达式。对数求导法适用对象幂指函数、多个因子连乘除的函数核心思想两边取自然对数，把乘除化为加减第1步取对数两边取自然对数对幂指函数或连乘除的函数两边取

ln第2步化简乘除化为加减利用对数性质把乘除拆成

加减第3步求导两边同时求导对化简后的式子两边求导第4步解出解出导数整理解出

导数表达式典型例题求

y=xˣ

的导数微分及其应用以直代曲，化繁为简用微分解决近似与误差问题05微分的定义由函数增量分解引入微分概念，建立与导数的等价关系››可微与可导等价，且

A=f′(x)于是

dy=f′(x)·Δx，常记为

dy=f′(x)·dxΔy=A·Δx+高阶无穷小，则函数在该点可微1分解Δy分解Δy可分解为线性主部与高阶无穷小2定义可微定义若Δy=A·Δx+高阶无穷小，则称函数在该点可微3记号微分记号A·Δx

称为微分，记为

dy微分的几何意义把微分解释为切线纵坐标增量，点明以直代曲的思想以直代曲：用简单的线性量，去近似复杂的变化量dy：切线纵坐标的增量dy：沿切线方向量出的纵向增量沿切线方向量出的纵向增量，是一个线性量。线性近似：切线是曲线的局部直线替身切线是曲线的局部直线替身，用它作线性近似。切线线性量Δy：曲线纵坐标的实际增量Δy：曲线真实爬升的纵向增量曲线真实爬升的纵向增量，是实际变化量。非线性：曲线在区间内持续弯折曲线在区间内持续弯折，增量并非线性。曲线真实变化量微分的近似计算线性近似公式与常用近似结论，展示微分的计算价值近似精度随Δx的减小而提高f(x₀+Δx)≈f(x₀)+f′(x₀)Δx前提：|Δx|足够小常用近似（当x很小时）sinx≈x近似精度随

Δx的减小而提高常用近似（当x很小时）(1+x)ⁿ≈1+nx近似精度随

Δx的减小而提高误差估计与线性近似应用示例：由半径的测量误差估计圆面积的误差微分是误差分析中简便有力的工具误差传递机制测量误差会通过函数放大为结果的误差绝对误差与相对误差需区分绝对误差与相对误差微分估计原理自变量微小偏差引起的函数偏差，可用微分估计综合与展望融会贯通，学以致用典型例题串讲与后续学习指引06典型例题串讲（一）定义法是判断可导性的根本方法用定义求f(x)=x²在x₀处的导数例题：用定义求f(x)=x²在x₀处的导数例题：讨论分段函数在分界点处是否可导定义法是判断可导性的根本方法1求增量2算比值3取极限左导数右导数典型例题串讲（二）三类工具配合使用，覆盖各类导数问题法则、隐函数与微分三类工具需配合使用多层嵌套复合函数求导求多层嵌套复合函数的导数；由外向内逐层求导并相乘隐函数求导法用隐函数求导法求曲线的切线斜率微分近似计算用微分近似计算某个数的平方根010203常见误区与注意事项集中澄清本课易错点，帮助形成规范运算习惯五大易错点，逐一击破01连续与可导误区误以为连续必可导正确区分可导与连续关系02链式法则误区求复合函数导数时漏乘内层导数正确补乘内层导数03除法法则误区分子中两项顺序写反，导致符号错误正确按法则固定顺序书写04分段函数误区忽略分