大学统计学《相关与回归分析》教学课件

相关与回归分析从相关判断到回归预测2026年课程导览01变量间的统计关系相关关系与函数关系的概念辨析02相关关系的测定散点图与相关系数的计算判定03一元线性回归最小二乘法与回归方程的建立04回归的检验与诊断显著性检验与残差分析01变量间的统计关系从函数关系到相关关系，理解统计研究的起点函数关系是确定的对应存款本息给定本金x，对应的到期本息y被唯一确定。同一本金只对应一个到期本息，一一对应、毫无例外。知道存入的本金，即可精确算出到期能取回的金额。给定自变量唯一确定股票成交额关键公式成交额成交量

×

成交价格给定自变量确定对应核心特征确定性自变量值给定，因变量值唯一确定。不存在随机波动，结果可精确预测。函数关系在数学上表现为严格的对应法则。相关关系是不确定的依存相关关系：现象间确实存在、但数量上不严格对应的依存关系。—本章核心概念一个确定的取值，对应另一现象的若干可能数值非唯一对应成本与利润：成本确定，利润仍不确定——还受价格、供求、消费偏好影响生育率与人均GDP：人均GDP高的国家生育率往往较低，但无唯一对应——还受教育水平、城市化程度影响关系确实存在，对应并不唯一相关关系的常见分类相关关系范围比因果关系更广：并非所有相关都表现为因果。因果关系可区分自变量与因变量，如资金投入是原因、产值是结果并非所有相关都表现为因果按方向正相关两变量同向变化负相关两变量反向变化按形态线性相关散点大致沿直线分布非线性相关散点沿曲线分布按变量数量一元相关仅两个变量多元相关三个及以上变量相关关系与函数关系的联系统计分析的任务，正是从看似不确定的依存中逐步逼近确定的数量规律。从函数关系到相关关系，再到回归预测——统计分析正是从不确定的依存中逼近确定的数量规律。01误差干扰→函数转相关→在测量误差、随机因素干扰下，变量间确定的函数关系，常以相关关系的形式表现出来。02规律深入→相关转函数→对变量间数量规律了解越深入，相关关系越可能转化为函数关系，或借助函数关系来表现。理想规律被误差掩盖，函数变成相关观察到的数据点不再精确落在同一曲线上规律越清楚，相关越趋近确定回归预测就是用函数表达相关关系识别相关关系的两条路径“定性判断与散点图观察需相互印证，才能为后续定量测定奠定可靠基础。”两条路径相互印证，才能为后续定量测定奠定可靠基础。定性判断先行预判：依据理论知识与工作经验先行预判。理论例证：经济学理论可预判收入与消费应当正相关。散点图观察绘制图形：根据实际观察资料绘制散点图。图形判断：从图形上大致判断是否存在相关、正相关还是负相关、直线相关还是曲线相关。02相关关系的测定用散点图看方向，用相关系数量强度散点图：关系的直观呈现Q

如何判断两个变量的关系？A·右上走向为正相关A·右下走向为负相关A·贴近直线则线性关系越强Q

散点图的价值是什么？A·先定性判断关系，避免在关系不存在或呈曲线形态时误用直线相关方法。Pearson相关系数的公式样本Pearson相关系数r=Σ(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ)√[Σ(xᵢ−x̄)²·Σ(yᵢ−ȳ)²]分子两个变量各自离均差的乘积之和，反映协同变化趋势分母离均差平方和平方根的乘积，将分子标准化作用使r的取值范围限定在

−1到1

之间公式结构解读3项分子离均差乘积之和，反映协同变化趋势分母离均差平方和平方根，使r限定在−1到1总体参数总体相关系数记作

ρ，样本相关系数

r

是它的估计值相关系数的取值与方向符号看方向，绝对值看强度01符号定方向→r＞0

为正相关，两变量同向变动；r＜0

为负相关，两变量反向变动。02绝对值定强度→r=1

完全正相关，所有点落在一条上升直线上；r=−1

完全负相关；r=0

表示不存在线性关系。r=0

时不排除存在非线性关联的可能。相关系数的强度判定标准按|r|绝对值大小，相关强度分为五级。相关强度等级|r|取值范围强度描述0.8–1.0极强相关变量间存在非常紧密的线性联系，散点几乎落在一条直线上0.6–0.8强相关变量间呈现明显的线性趋势，散点较集中于直线附近0.4–0.6中等程度相关变量间存在一定的线性关系，散点分布较为分散0.2–0.4弱相关变量间仅存在微弱的线性趋势，散点较为离散0.2以下极弱相关或无相关变量间几乎没有线性联系，散点呈现随机分布状态分界并非绝对标准，不同学科和研究目的下可适当调整。总体原则不变：绝对值越接近1，线性相关越强；越接近0，线性相关越弱。相关系数的使用前提Pearson相关系数的四大适用条件。连续变量两个变量均须为等距或等比量表数据。线性关系先绘散点图检查；强曲线关系下

r可能接近0，产生误导。正态性严格假设要求双变量正态分布，大样本可适当放宽。无极端异常值Pearson系数对异常值敏感，少数极端点即可严重扭曲结果。几何视角：系数的余弦解释中心化后的数据视为n维向量，相关系数即两向量夹角的余弦：r=cosθ。把每一组中心化后的数据看作

n维空间中的一个向量，两个向量的夹角就刻画了它们的相关程度。三种夹角对应三种关系θ=0°方向完全一致，r=1，完美正相关θ=90°两向量正交，r=0，线性无关θ=180°方向完全相反，r=−1，完美负相关“相关系数，就是两个向量方向的接近程度。”相关不等于因果强相关≠有因果两个变量相关显著，不代表一个引起另一个，可能由未被观测的第三变量共同驱动。≠典型机制：共同原因冰淇淋销量与溺水人数正相关——两者并非互相导致，而是都受夏季高温这一共同因素影响。解释相关系数时保持谨慎，不可轻率赋予因果含义。相关是统计事实，因果需要设计相关分析与回归分析的区别相关分析与回归分析的核心区别。相关分析关系度量变量关系两者地位对等，不划分自变量与因变量。变量性质所有变量都是随机变量。分析内容只通过相关系数反映关系密切程度与方向，不能给出具体的函数形式。回归分析预测建模变量关系必须依据研究目的划分自变量与因变量。变量性质自变量被视为给定的确定值，因变量才是随机变量。分析内容要建立数学方程式，并据此由已知量推算未知量。相关分析与回归分析的联系相关分析揭示变量间的关联强度，回归分析进而建立预测方程——两者前后衔接，构成完整的统计推断链条。聚焦对比相关分析回答：有没有关系、关系有多强；回归分析回答：如何用方程定量描述并据此预测。分析路径先判断→再刻画→最后预测—本页主线

相关是前提先定性判断现象间确实存在相关关系，回归分析才有实际意义。

回归是深入把相关关系转化为可供预测的具体数学形式，完成从判断到预测的闭环。03一元线性回归从相关到回归，用方程刻画关系并预测回归的由来与一元线性回归模型回归的由来：后代身高向群体均值靠近的趋势回归的由来高尔顿1889高尔顿研究祖先与后代身高关系时发现：高个子父母的子女平均身高低于父母均值，矮个子父母的子女平均身高反而高于父母均值。后代身高向群体均值靠近，即回归现象。一元线性回归模型一个自变量·一个因变量在直线近似下，因变量y与自变量x的关系可表示为：y=β₀+β₁x+εβ₀截距β₁斜率ε随机误差项经验回归方程及其估计问题如何用数学方法刻画“最接近”，成为建立回归方程的核心。总体参数

β₀与β₁

未知，须用成对样本数据估计。估计所得方程

ŷ=b₀+b₁x

称经验回归方程，其图形为经验回归直线。估计的实质：在散点图中找一条直线，使各散点整体上最接近。凭直觉画线因人而异，需要科学统一的准则。最小二乘法的基本思想让所有观测点到拟合直线的垂直偏差平方和达到最小偏差即残差eᵢ=yᵢ−ŷᵢ，观测值yᵢ

与拟合值ŷᵢ

之差eᵢ

是垂直方向上的偏差目标是让所有eᵢ

尽量小目标函数Q=Σ(yᵢ−ŷᵢ)²寻找

b₀、b₁

使Q最小Q越小拟合越好可解性Q是参数的非负二次函数最小值恒存在可用微积分求极值求解参数估计的求解公式掌握两式，即可由成对样本手工计算经验回归方程1第1步求偏导得正规方程对Q分别关于

b₀、b₁

求偏导令偏导为

零，解出最小二乘估计2第2步斜率与截距公式b₁=Σ(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ)/Σ(xᵢ−x̄)²b₀=ȳ−b₁x̄3第3步回归与相关的计算联系斜率分子正是相关系数公式的分子回归与相关在计算上内在相通回归直线必过均值点经验回归直线必过样本均值点(x̄,ȳ)性质经验回归直线必过样本均值点

(x̄,ȳ)。推导几何证明由截距公式

b₀=ȳ−b₁x̄，将

x̄

代入回归方程，得

ŷ=ȳ。两个用途计算校验：均值点不落在直线上，说明计算有误作图辅助：先标均值点，再依斜率画线最小二乘估计的性质后续回归诊断正是围绕这些假设是否成立展开Gauss-Markov定理——经典假设下，最小二乘估计量是最佳线性无偏估计量核心结论最小二乘估计量是最佳线性无偏估计量——所有线性无偏估计量中方差最小优良性依赖三个前提经典假设1误差项均值为零E(εᵢ)=0，回归直线通过数据均值中心2方差齐性Var(εᵢ)=σ²常数，各点离散程度一致3误差项不相关Cov(εᵢ,εⱼ)=0（i≠j），不同观测间无系统性关联回归方程的应用：预测预测思路

：给定自变量取值x₀，代入经验回归方程，得到因变量预测值ŷ₀。理解要点：实际观测值会围绕回归直线上下波动，预测关注的是整体趋势而非单点精确值。01示例应用实例：由胸径推树高胸径易测，树高难测建立经验回归方程后，用胸径数值算出树高估计值关键提醒预测值是平均意义上的估计，不是精确真实值实际观测值会围绕回归直线上下波动回归方程的适用范围限制回归方程只在样本数据覆盖的区间内有效，超出该范围不得任意外推回归前的必要检查先绘制散点图，确认散点分布呈直线趋势，才适宜用直线回归分析检查残差绝对值特别大的异常点，避免个别数据干扰拟合结果外推限制外推的风险样本内拟合出的直线关系，超出范围后变量间未必保持原有线性趋势，盲目外推可能得到严重失真的预测结果。04回归的检验与诊断检验模型是否可靠，诊断拟合是否恰当为什么要检验回归方程经验回归方程算出来，不代表