2027年高考数学一轮复习专题2.7 指数与指数函数（解析版）

专题2.7指数与指数函数（举一反三复习讲义）

【全国通用】

(1)了解根式的概念及性质，了解分数指数幂的含义，掌握指数幂的运算性质

考点要求

(2)熟练掌握指数函数的图象与性质

考点2024年2025年2026年

高考真题

上海卷（秋考）：第

指数与指数天津卷：第2题，5分北京卷：第4题，4分

统计13题，4分

函数天津卷：第5题，5分天津卷：第7题，5分

天津卷：第6题，5分

1、指数与指数函数

指数函数是常见的重要函数，指数与指数函数是高考常考的热点内容，

命题规律从近三年的高考情况来看，主要考查指数幂的运算、指数函数的性质，指数

函数较少单读考查，常结合幂函数与对数函数的图象与性质解决具体的问

分析

题，包括：比较指对幂数的大小、解不等式等题型，主要以单选题的形式考

察，难度较易。

知识点1指数运算的解题策略

1．根式与分数指数幂

(1)根式的定义：式子叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数.

(2)分数指数幂

①正数的正分数指数幂：；

②正数的负分数指数幂：；

规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.

2．指数幂运算的一般原则

(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底

数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.

(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.

(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.

知识点2指数函数的常见问题及解题思路

1．比较指数式的大小

比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；

(2)不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小.

2．指数方程(不等式)的求解思路

指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.

3．指数型函数的解题策略

涉及指数型函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单

调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.

【题型1指数幂的运算】

【例1】（2026·北京大兴·三模）已知，则的值为（）

��−�

2

A．15B．2=3,loCg．5=�2D．

53

35−2

【答案】C

【解题思路】结合指数与对数的转化及指数运算性质即可求解.

【解答过程】因为，所以，

�

2

又，所以log5=�2=5

�.

23

��−��

225

故选2：=C3.==

【变式1-1】（2026·四川自贡·一模）已知，若，，则（）

5��

�>�>1log��+log��=2�=���=

A．8B．6C．4D．2

【答案】A

【解题思路】根据给定条件，利用对数运算性质及指数运算求解.

【解答过程】由，得，由，得，

515

�>�>1log��>log��=1log��+log��=2log��+log��=2

则，即，又，因此，即，解得，

22

2��2��2��2

所以log��=2�.=��=�(�)=��=��=2�,�=2

3

故选：��A=.�=8

【变式1-2】（2026·北京房山·一模）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不

断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增

长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量.当

��

00

时，种群个体�数�量=是�起e始个体数�量的2倍.若，�则（��）��=3

A．300B．450�C4．6=00150�10=D．750

【答案】C

【解题思路】根据已知函数模型计算得出，再结合指数运算计算求解.

3�

【解答过程】因为模型：，其e中=2为种群起始个体数量，为增长系数，

��

因为当时，种群个体�数�量=是�0起e始个体数�量0的2倍.�

所以�=3，所以，

3�3�

若�3=�0e=2�，0则e=2.

4�10�4�6�2

故选�：4C=.�0e=150�10=�0e=�0e×e=150×2=600

【变式1-3】（2026·浙江嘉兴·二模）若实数满足，则的最大值为（）

�2�−1

A．B．�,�C．ee=1�D�．

1111

16248

【答案】D

【解题思路】由指数运算可得，再由二次函数可得的最大值.

【解答过程】因为�，+所2以�=1，即��，

�2�−1�+2�−10

故ee=1e，即=e，当�+且2仅�当=1时等号成立，

121111

��=�1−2�=−2�−4+8≤8��≤8�=4

故的最大值为，

1

��8

故选：D.

【题型2指数函数的图象及应用】

【例】（安徽合肥三模）当时，函数的图象大致是（）

22026··�

e

2

�<0��=�−��

A．B．

C．D．

【答案】B

【解题思路】求出函数的定义域，结合时，的符号，结合排除法可得出合适的选项.

【解答过程】对于函数��，因为，由�<���可得且，

2

故函数的定义域为���<0�−�，�≠排0除AC，�≠��≠0

当�时�，−∞,�，∪排除�,0∪0,+∞

�D.

e

�<���=��−�>0

故选：B.

【变式】（黑龙江哈尔滨一模）函数的图象大致为（）

2-12026··2

�

|�|

�=e−2

A．B．

C．D．

【答案】D

【解题思路】先求出函数的定义域和奇偶性，再根据指定区间函数值的符号即可求出结果.

【解答过程】，

2

�

|�|

∵，�则=e−2，即定义域为，

|�|

设∴e−2≠0�，≠则±ln2{�|�≠±ln2，}

222

�−��

|�||−�||�|

��=�=e−2�−�=e−2=e−2=��

故为偶函数，图象关于轴对称，排除，

2BC

�

|�|

��=�=e−2�

当时，，，，，排除，

2A

�

|�||�||�|

所以�>选l项n2D正确e.>2e−2>0e−2>0��>0

故选：D.

【变式2-2】（2026·河南·三模）函数的大致图象是（）

−���

��=2−2�

A．B．

C．D．

【答案】B

【解题思路】根据函数的定义域可判排除D，根据图象对称性排除C，根据时函数值的符号排除A，

故可得正确的选项.�>0

【解答过程】的定义域为，排除D；

因为��−∞,0∪0,+∞，所以为偶函数，

�−�−�−���

2−2−�2−2�

图象关�−于�y=轴对称，排除C；=⋅=����

当时，，排除A．

−���−��

�>0�2−2�2−2<0

故选：B.�==

【变式】（高一上湖南常德阶段检测）函数的大致图象为（）

2-325-26··�−�

2−2

2

��=�−1

A．B．

C．D．

【答案】D

【解题思路】利用函数的定义域，奇偶性，特殊值选出答案

【解答过程】由题意知，函数的定义域为，

因为，�所�以为奇函�数∣�，≠排±1除，

−��A

2−2

2

�−�=�−1=−����

，排除B，，排除C，故D正确.

5122

故�2选：=D4.>0�2=−3<0

【题型3比较指数幂的大小】

【例3】（2026·重庆北碚·模拟预测）设，2，1，则（）

21322

A．�=3B�．=2�=3

C．�>�>�D．�>�>�

【答案】�C>�>��>�>�

【解题思路】找中间量、合理构造函数后，利用指数函数、幂函数的单调性求解

【解答过程】构造指数函数，底数，

2�2

��=30<3<1

所以单调递减，即1；

2221

��3>3,�>�

23，即.

33

32831181

�=3=27,�=2=4,27>4⇒�>��>�>�

故选：C.

【变式3-1】（2026·天津河西·三模）设，，，则，，的大小关系是（）

0.72.1

A．B．�=2.1C．�=0.7�=logD2.1．0.7���

【答案】D�<�<��<�<��<�<��<�<�

【解题思路】根据指数函数和对数函数的性质，分别求得，和，即可求解.

【解答过程】由指数函数的性质，可得�>，1即0<�，<1�<0

0.70

且，�即=2.1>2.1，=1�>1

2.102.1

�又=由0对.7数函<数0.的7性=质1，可�得=0.7>00<�<1，即，

�=log2.10.7<log2.11=0�<0

所以.

故选：�<D.�<�

【变式3-2】（2026·河南·模拟预测）已知，，，则（）

0.4

A．B．�=lCog．0.50.4�=0.5�D=．log45

【答案】A�>�>��>�>��>�>��>�>�

【解题思路】利用对数函数、指数函数的单调性，结合换底公式比较大小.

【解答过程】由对数换底公式得：，

−1

0.5222

�，=log0.4=log0.4=−log0.4=log2.5

log251

4log24222

因�=为log5=是增=函l数og，5且=log5，

所以：�=log2�2.5>5>，2即，

指数函数log 22.5>是lo减g 2函5数>，l因og此 22=1�>�>1，即，

�0.40

综上可得�=0.5.0<0.5<0.5=1�<1

故选：A.�>�>�

【变式3-3】（2026·天津东丽·一模）已知则a，b，c的大小关系是（）

−0.3

0.61

4

A．B．�=(C0．.25),�=log0.6,�=D．4

【答案】D�<�<��<�<��<�<��<�<�

【解题思路】根据指数函数、对数函数单调性比较大小

【解答过程】0.6，因为在上单调递减，所以，即，

110.61�10.610

在�=4上单=调递2增，所以�=2�，即，0<2<2=10<�<1

�=log4，�因为0,+∞在上单调递增，所log以40.6<log41=，0所以�<0，

0.3�0.30

�所=以4，�=4�4>4=1�>1

故选：�<D.�<�

【题型4解指数不等式】

【例4】（2026·重庆·模拟预测）已知集合，，则()

�

A．�=B{�．|�≤3}�={�|2>1}�∩�=

C．(1,3]D．(0,3]

【答案】(B0,+∞)(−∞,3]

【解题思路】解不等式求得集合，进而求得.

��∩�

【解答过程】由，得，即.

�0

已知2>，1=2�>0�={�|�>0}

因此，�={�|�≤3}.

故选：B�.∩�={�|0<�≤3}=(0,3]

【变式4-1】（2026·广东汕头·一模）“”是“”的（）

��

A．充分不必要条件log3�>Blo．g3必�要不3充>分3条件

C．充要条件D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【解题思路】根据指、对数函数性质解不等式，结合充分、必要条件分析判断.

【解答过程】因为，等价于，

且，等价于log3�>，log3��>�>0

��

又因3为>3可�以>推�出，不能推出，

所以“�>�>0”是“�>�”的充�>分�不必要条件�.>�>0

��

故选：loAg．3�>log3�3>3

【变式4-2】（2026·陕西咸阳·二模）已知集合，，则（）

2�

A．B．�C=．�∈��−2�−3≤D0．�=�2≤4�∩�=

【答案】C1,2−1,0,1,20,1,20,1,2,3

【解题思路】根据一元二次不等式的解法及指数函数的性质求出集合，，再根据交集的概念求解即可.

【解答过程】��，

2

�=�∈��−，2�−3≤0=�∈�−1≤�≤3=0,1,2,3

�

�所=以�2≤4=�，�≤2

故选：�∩C．�=0,1,2

【变式4-3】（2026·江西南昌·一模）已知，则不等式的解集为（）

−�

2,�≤−1

��=2��<1

A．B．−�+4�+1,�>−1

C．−∞,−1D．4,+∞

【答案】D−∞,0∪4,+∞−1,0∪4,+∞

【解题思路】结合指数函数的性质及一元二次不等式的解法分情况解不等式即可.

【解答过程】当时，原不等式可化为，解得，此时解集为.

−�

当时，原�≤不−等1式可化为2<，1即�>0，解得∅或.

22

�>−1−�+4�+1<1�−4�>0�<0�>4

又，所以或.

综上�>，−不1等式−1<�的<解0集为�>4.

故选：D．��<1−1,0∪4,+∞

【题型5指数（型）函数的单调性问题】

【例5】（2026·广东广州·模拟预测）若函数在区间单调递增，则a的取值范围是（）

1��+�

A．B．�C�．=30,D2．

【答案】D−∞,44,+∞−4,+∞−∞,−4

【解题思路】根据指数复合函数的区间单调性，结合二次函数的性质有，即可得.

�

−2≥2

【解答过程】令，又在R上单调递减，

1�

�=�(�+�)�=3

所以要使在区间单调递增，

1��+�

则��=在区3间单调递0减,2，

所以�=由�(�+�)0,2的开口向上且对称轴为得，解得

2.

�2���

故选：D�=.�(�+�)=(�+2)−4�=−2−2≥2�≤−4

【变式5-1】（2026·河南南阳·模拟预测）函数的单调递减区间为（）

2

�−4�−21

A．B．�C(．�)=2D．

【答案】B(−∞,2](−∞,−3][2,+∞)[7,+∞)

【解题思路】根据指数函数单调性结合复合函数单调性规则计算判断即可.

【解答过程】对于函数，令，即，解得或，

2

�−4�−212

�(�)=2�−4�−21≥0�−7�+3≥0�≥7�≤−3

所以函数的定义域为，

2

�−4�−21

又函数�(�)=2在上−单∞调,−递3减∪，在7,+∞上单调递增，

2

在�=定�义域−上4�单−调21递增(，−∞,−3]7,+∞

所�=以函�数在上单调递减，在上单调递增，

2

又在�定=义�域−上4单�调−递21增，(−∞,−3]7,+∞

�

�=2

所以在上单调递减，在上单调递增，

2

�−4�−21

�(�)=2(−∞,−3]7,+∞

即函数的单调递减区间为.

2

�−4�−21

�(�)=2(−∞,−3]

故选：B.

【变式5-2】（2026·江西·二模）若函数在区间上单调递增，则a的取值范围为

∣�−�∣

（）��=2025[2026,+∞)

A．B．C．D．

【答案】D[2026,+∞)(0,2026](−∞,2026)(−∞,2026]

【解题思路】根据指数复合函数单调性计算求参即可.

【解答过程】根据函数在区间上单调递增，且单调递增，

∣�−�∣�

可得在区间��=2025上单调递增，[2所02以6,+∞).�=2025

故选:�D=.|�−�|[2026,+∞)�≤2026

【变式5-3】（2026·陕西西安·模拟预测）若函数在上单调，则的取值范围是（）

2

�+��−3

A．B．C．��=21,D+．∞�

【答案】A−2,+∞−1,+∞−∞,−2−∞,−1

【解题思路】根据指数函数、二次函数以及复合函数的单调性求解即可.

【解答过程】因为函数在上为增函数，在上为减函数，在上为

�2��

增函数，�=2R�=�+��−3−∞,−2−2,+∞

且函数在上单调，

2

�+��−3

根据复合��函数=的2单调性，可1,得+∞，即，

�

−2≤1�≥−2

所以的取值范围是.

故选：�A.−2,+∞

【题型6指数（型）函数的最值（值域）问题】

【例6】（2026·云南昆明·二模）已知函数，则的最大值与最小值之差为（）

�

A．2B．3��=C．24+�,�∈−1,2D．�5�

【答案】D

【解题思路】根据分段函数结合指数函数单调性计算得出最值即可求解.

【解答过程】函数，

�

�2+�,�∈0,2

��=2+�=−�

因为单调递增，2所−以�,�∈[−1,0)；

�

因为�∈0,2,��=2+�单调递减，所1以≤��≤6；

−�

所以当�∈[−1时,0)，,��=2−；�当时，1<��；≤3

�=0��min=1�=2��max=6

则的最大值与最小值之差为.

故选��：D.6−1=5

【变式】（海南一模）若函数且在区间上的值域为，则（）

6-12026··�

2

A．B．��=�C−．13(�>0�≠1)D．50,40,4�=

【答案】B35

【解题思路】利用指数函数性质计算即可得.

【解答过程】由指数函数的性质知必是单调函数，

又，��

0

因为�0值域=为�−1，=所1以−函1=数0在上单调递增，故，

即[0，,4解]得�，(�又)[0,4]，故.�(4)=4

2

故选�：−B1.=4�=±5�>0�=5

【变式6-2】（2026·湖南岳阳·模拟预测）若函数在上的最小值与最大值的和等于24，则

�

（）�=3+�0,2�=

A．5B．6C．7D．8

【答案】C

【解题思路】根据指数函数的单调性求出最值即可得解.

【解答过程】因为函数在上是增函数，

�

所以�=3+�[0,2]，

02

则�min=3+�=1，+所�,以�max=3.+�=9+�

故选1+：C�.+9+�=24�=7

【变式6-3】（2026·安徽六安·模拟预测）若是定义在上的偶函数，当时，，则

�

函数在上的值域为（）�(�)R�≤0�(�)=|2−4|

A�．(�)[−1,1]B．

7

[3,2][−3,0]∪[3,+∞)

C．D．

7

[−2,2][−3,2]

【答案】A

【解题思路】根据给定条件，结合指数函数单调性求出在上的值域，再利用偶函数的性质求出指

定区间上的值域.�(�)[−1,0]

【解答过程】当时，，，函数在上单调递减，

��

�≤00<2≤1�(�)=4−2�(�)(−∞,0]

当时，，又函数是上的偶函数，

7

−1≤�≤0�(�)∈[3,2]�(�)R

则当时，，所以函数在上的值域为.

77

0≤�≤1�(�)∈[3,2]�(�)[−1,1][3,2]

故选：A.

一、单选题

1．（2026·重庆·模拟预测）已知集合，则（）

2�

A．�=�∈B�．�−�−12<0,�C=．�2<D8．�∩�=

【答案】B−2, −1, 0, 1, 20, 1, 21, 2−3, 3

【解题思路】解不等式求得集合，进而求得.

【解答过程】�,��∩�，则.

2

�−�，−所1以2=�−4�+，3<0,−3<�<4�=0,1,2,3

�3

2所以<8=2,�<3.�=�|�<3

故选：�∩B.�=0, 1, 2

2．（2026·山西忻州·模拟预测）设，，，则a，b，c的大小关系为（）

0.10.3

A．B．�=4�C=．2�=log43D．

【答案】�B>�>��>�>��>�>��>�>�

【解题思路】根据，利用指数函数的单调性比较a，b，再与“1”比较即可.

0.10.2�

【解答过程】�=4=，2．�=2

0.10.20.3

因为指数函数�=4单=调2递增�，=且2，

�

所以．�=20.3>0.2

又�>�，．

0.2

所以�=2>1．�=log43<log44=1

故选：�>B.�>�

3．（2026·安徽合肥·模拟预测）函数4�的值域为（）

3

4,−1≤�≤0

�=3

A．B．�C,．0<�≤1D．

33

(0,1]4,1(4,1]0,1

【答案】A

【解题思路】分别求出在上的值域以及在上的值域可得答案.

�4

43

�=3−1,0�=�0,1

【解答过程】因在上单调递增，则时，，

4�4�3

�=3−1,0�∈−1,03∈4,1

又在上单调递增，则时，，

44

33

�=�0,1�∈(0,1]�∈(0,1]

则4�的值域为，故A正确．

3,−1≤�≤03

44

�=3(0,1]∪,1=(0,1]

故选：A.�,0<�≤1

4．（2026·天津滨海新区·三模）已知实数满足，1，，则的大小关系为（）

��2

A．B．�,�,�C．�=0.5�=0.5D．�=ln��,�,�

【答案】�D<�<��<�<��<�<��<�<�

【解题思路】先构造函数确定的取值范围，再利用指数函数单调性比较与的大小，结合对数函数性质判

断的符号，最终得到三者大小�关系．��

【解�答过程】令，因为是上的增函数，是R上的减函数，

��

所以��为=�上−的0.5单调递增�函=数�，��=0.5

�

计算得��=�−0.5�，，

0.521

由零点存�0在.5性=定0理.5可−得0方.5程=0.5−得2解<0�1=，1−0.5=0.5>0

�

由，得�=，0所.5以�∈0.5，,1

1

22

又�∈0.5,为1上的�单∈调0递.2减5,函1数，�>1在>�上单调递增，

�

�=0.5��=ln�0,+∞

所以1，，

�2�

所以�=0.5<．0.5=��=ln�<ln1=0

故选：�<D.�<�

5．（2026·甘肃张掖·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（）

2

��−2�

A．B．��=3C．−1,+∞D．�

【答案】C−1,+∞−∞,−1−1,0−1,0

【解题思路】利用复合函数的单调性求解即可.

【解答过程】因为为上的增函数，

�

所以由复合函数的�单=调3性知R在上单调递减，

2

当时，在�=��上−单2调�递减−，1,满+足∞题意；

�=0�=−2�−1,+∞

当时，在上单调递减，则，

21�<0

�≠0�=��−2�−1,+∞

解得.�≤−1

综上，−1≤�<0.

故选：C−.1≤�≤0

6．（2026·北京·三模）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，

0

后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期．现有一杯的咖啡放在�的�房mi间n

�

�

�−�−ℎ∘∘

��0−��=2��ℎ88C24C

中，如果咖啡降温到大约需要20min，那么降温到大约需要（）（参考数据；

∘∘

）40C30Clg2≈0.301,lg3≈

0.47A7．B．C．D．

【答案】3B3min34min35min36min

【解题思路】先求出半衰期，再根据指数，对数的运算性质及换底公式计算即可.

ℎ

【解答过程】由题意可得20，即20，解得

20.

ℎ2ℎ

40−24−ℎ116111

88−24=2=264=4=2=2ℎ=10

设降温到大约需要，则�，即�，

1010

∘30−241631

30C�min88−24=264=32=2

所以3，

�3lg32lg3−5lg2lg30.477

11

10=log232=lg2=−lg2=5−lg2≈5−0.301≈5−1.585≈3.415

解得，所以大约需要.

故选：�≈B.34.1534min

7．（2026·天津·模拟预测）已知