人教版数学九年级上册 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 教案

2026秋人教九上数学AI赋能完全备课【教案】25.2.4一元二次方程的根与系数的关系1.熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系．2.通过创设一定的问题情境，注重由学生自己探索，让学生参与两根之和与两根之积的规律发现、完成归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程．1.一元二次方程根与系数的关系及其推导过程．（重点）2.一元二次方程根与系数的关系的推导过程及其应用．（难点）知识链接：前面我们学习了公式法解一元二次方程，回顾一下，求根公式得出的两个根在形式上有哪些相同点和不同点？创设情境——见配套课件探究点：一元二次方程的根与系数的关系思考1：观察求根公式x=－b整体上看，两个根分别是“m＋n”和“m－n”的形式，而且式子“n”中含有根号．这种形式的式子相加可以消去“n”，相乘可以去掉“n”中的根号，从而使形式简洁．教师引导学生推导教材P15的证明过程．归纳总结：一元二次方程的根与系数的关系：如果ax2＋bx＋c=0（a≠0）的两个根为x1，x2，那么x1＋x2=－ba，x1•x2=c思考2：我们知道，如果一元二次方程ax2＋bx＋c=0的左边可以分解因式为a（x－x1）（x－x2），那么方程ax2＋bx＋c=0的两个根为x1和x2．反过来，如果一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两个根为x1和x2，那么上面的关系还能通过什么方法得出？ax2＋bx＋c=a（x－x1）（x－x2），即ax2＋bx＋c=ax2－a（x1＋x2）x＋ax1x2．由此可得－a（x1＋x2）=b，ax1x2=c．因此x1＋x2=－ba，x1x2=c 利用一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积．（1）x2－6x－15=0；（2）3x2＋7x－9=0；（3）5x－1=4x2.解：（1）∵a=1，b=－6，c=－15，∴Δ=b2－4ac=（－6）2－4×1×（－15）=96＞0.∴方程有两个实数根．设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1＋x2=－（－6）=6，x1x2=－15.（2）（3）学生自行解答．归纳总结：求两根之和、两根之积的步骤：化为一般式→判断Δ≥0→代入a，b，c．知识拓展：常见的求值式子如下：（1）1x1＋1x（2）x12＋x22=（x1＋x2）2－2x（3）x1x2＋x2x（4）（x1＋1）（x2＋1）=x1x2＋（x1＋x2）＋1；（5）|x1－x2|=（x1－1.（15分）［教材变式］不解方程，求下列方程两个根的和与积．（1）x2＋4x－1=0；解：x1＋x2=－4，x1x2=－1.（2）2x2＋4x＋1=0；解：x1＋x2=－2，x1x2=12（3）6x2－x=2x2＋3.解：原方程化为一般形式得4x2－x－3=0，则x1＋x2=14，x1x2=－32.（15分）［高频易错］已知关于x的方程x2＋（2k＋1）x＋k2－k＋1=0有两个实数根．（1）求k的取值范围；解：∵方程有两个实数根，∴Δ=（2k＋1）2－4（k2－k＋1）≥0，解得k≥38（2）若该方程有两个实数根x1，x2，且（x1＋1）（x2＋1）=11，求k的值．解：∵x1＋x2=－2k－1，x1x2=k2－k＋1，（x1＋1）（x2＋1）=11，∴x1x2＋（x1＋x2）＋1=11，即k2－k＋1－2