【新教材】人教版（2024）七年级上册数学2.1 有理数的加法与减法 教案

第第页【新教材】人教版（2024）七年级上册数学\o"2.1有理数的加法与减法"2.1有理数的加法与减法教案课题：2.1.1有理数的加法（1）教学目标1.结合数轴理解有理数加法的意义，初步掌握有理数加法法则，并能准确地进行有理数的简单加法运算，提高抽象能力与运算能力；2.能运用有理数加法法则解决简单问题，增强应用意识；3.体会用归纳、类比的思想方法探索有理数加法法则.重点难点了解有理数加法的意义，会根据有理数加法法则进行有理数的简单加法运算；掌握有理数的加法中异号两数的加法运算.教学方法讲练结合教学手段多媒体教学过程（组内集体备课）课堂导入【情境导入】（教材P24引言）李明同学经常对家里的生活垃圾分类，并卖出积攒的可回收物.这样既保护了环境，又增加了零花钱.下表是他某个月零花钱的部分收支情况.这里，“结余12.0”和“结余－3.2”是怎么得到的？分别计算18.5＋（－6.5），12.0＋（－15.2）.我们发现里面有负数，这节课我们就来学习有理数的加法.探究新课探究点有理数加法法则小学学过的加法运算涉及正数与正数相加、正数与0相加以及0与0相加.引入负数后，在有理数范围内，加法有哪几种情况？共三种类型，（1）同号两个数相加；（2）异号两个数相加；（3）一个数与0相加.接下来我们来学习这三种类型的加法.首先看下面的问题：一个物体沿着一条直线做左右方向的运动，我们规定向右为正，向左为负.例如，将向右运动5m记作5m，向左运动5m记作－5m.1.同号两数相加（1）如果物体沿着一条直线先向右运动5m，再向右运动3m，那么两次运动的最后结果是什么？可以用怎样的算式表示？两次运动后，物体从起点向右运动了8m.写成算式就是5＋3＝8.①若将物体的运动起点放在原点O，则这个算式可以用数轴表示如下：（2）如果物体沿着一条直线先向左运动5m，再向左运动3m，那么两次运动的最后结果是什么？可以用怎样的算式表示？两次运动后，物体从起点向左运动了8m.写成算式就是（－5）＋（－3）＝－8.②这个算式也可以用数轴表示如下，其中假设原点O为物体的运动起点.①说一说你是如何通过运动方向和运动距离确定这两个算式的？②观察算式①②两边数的符号和绝对值，你能总结出同号两数相加的法则吗？符号相同的两个数相加，和的符号不变，且和的绝对值等于加数的绝对值的和.试一试：确定下表中算式的结果符号.2.异号两数相加（1）如果物体沿着一条直线先向左运动3m，再向右运动5m，那么两次运动的最后结果是什么？如何用算式表示？两次运动后，物体从起点向右运动了2m.写成算式就是（－3）＋5＝2.③（2）如果物体沿着一条直线先向右运动3m，再向左运动5m，那么两次运动的最后结果是什么？如何用算式表示？两次运动后，物体从起点向左运动了2m.写成算式就是3＋（－5）＝－2.④（3）①你能用数轴表示算式③④吗？（－3）＋5＝2.③3＋（－5）＝－2.④②说一说你是如何通过运动方向和运动距离确定这两个算式的？③观察算式③④两边数的符号和绝对值，你能总结出绝对值不相等的异号两数相加的法则吗？绝对值不相等、符号相反的两个数相加，和的符号与绝对值较大的加数的符号相同，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差.试一试：确定下表中算式的结果符号.（4）如果物体沿着一条直线先向右运动5m，再向左运动5m，那么两次运动的最后结果是什么？如何用算式表示？用数轴又如何表示？结合相反数的概念你能得出什么结论？两次运动后，物体仍在起点处.写成算式就是5＋（－5）＝0.⑤用数轴表示如下：结论：互为相反数的两个数相加，结果为0.3.一个数与0相加（1）如果物体第1s向右运动5m，第2s原地不动，那么2s后运动的最后结果是什么？如何用算式表示？2s后，物体从起点向右运动了5m.写成算式就是5＋0＝5.⑥（2）如果物体第1s向左运动5m，第2s原地不动，那么2s后运动的最后结果是什么？如何用算式表示？2s后，物体从起点向左运动了5m.写成算式就是（－5）＋0＝－5.⑦（3）类似地，根据算式⑥⑦能得到什么结论？一个数与0相加，结果仍是这个数.思考从算式①～⑦可知，在有理数的加法运算中，既要考虑符号，又要考虑绝对值.你能从这些算式中归纳出有理数加法的运算法则吗？归纳总结：显然，两个有理数相加，和是一个有理数.三、例题讲解例1（教材P27例1）计算：（－3）＋（－9）；（2）（－8）＋0；（3）12＋（－8）；（4）（－4.7）＋3.9；（5）（－eq\f(1,2)）＋（＋eq\f(1,2)）.解：（1）（－3）＋（－9）＝－（3＋9）＝－12；（2）（－8）＋0＝－8；（3）12＋（－8）＝＋（12－8）＝4；（4）（－4.7）＋3.9＝－（4.7－3.9）＝－0.8；（5）（－eq\f(1,2)）＋（＋eq\f(1,2)）＝0.教师总结：在运算过程中，“先定和的符号，再算和的绝对值”，是一种有效的方法.思考：任何一个数加上一个正数，和与原来的数有怎样的大小关系？加上一个负数呢？请你先借助数轴直观地得出结论，再利用有理数的加法法则进行说明【对应训练】教材P28练习第2，3题.例2一只蜗牛沿着一棵树向上爬行，白天向上爬了1.5m，夜间下滑了0.3m.白天和夜间蜗牛一共向上爬了多少米？怎么用算式表示这个结果？解：规定向上为正，向下为负.1.5＋（－0.3）＝＋（1.5－0.3）＝1.2（m）.答：蜗牛一共向上爬了1.2m.【对应训练】教材P28练习第1，4题.四、课堂小结师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：有理数加法法则是什么？拓展提升利用有理数加法法则进行计算（1）加数是带分数的，有时可先化为假分数，再进行运算.（2）一个分数与一个小数相加，先统一形式，再进行运算.（3）最后结果若是分数，能约分的一定要约分.解：（1）原式＝eq\f(3,4)＋（－eq\f(3,4)）＝0；（2）原式＝（－1.5）＋（－2.5）＝－（1.5＋2.5）＝－4；（3）原式＝（－eq\f(5,4)）＋eq\f(3,8)＝－（eq\f(5,4)－eq\f(3,8)）＝－eq\f(7,8)；（4）原式＝（－2eq\f(5,6)）＋3eq\f(1,3)＝（－eq\f(17,6)）＋eq\f(10,3)＝＋（eq\f(10,3)－eq\f(17,6)）＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).利用分类讨论思想计算有理数的加法例（1）已知|x|＝3，|y|＝4，则x＋y的值为±1或±7.（2）已知|a|＝1，|b|＝5，a＞b，则a＋b的值为－4或－6.解析：（1）因为|x|＝3，所以x＝3或－3.因为|y|＝4，所以y＝4或－4.①当x＝3，y＝4时，x＋y＝7；②当x＝3，y＝－4时，x＋y＝－1；③当x＝－3，y＝4时，x＋y＝1；④当x＝－3，y＝－4时，x＋y＝－7.综上，x＋y的值为±1或±7.（2）因为|a|＝1，所以a＝1或－1.因为|b|＝5，所以b＝5或－5.又因为a＞b，所以b＝－5.①当a＝1，b＝－5时，a＋b＝－4；②当a＝－1，b＝－5时，a＋b＝－6.综上，a＋b的值为－4或－6.（个人二次备课）板书设计：作业内容：教学反思课题：2.1.1有理数的加法（2）教学目标1.进一步熟练掌握有理数加法法则；2.理解有理数的加法运算律，并能运用加法运算律简化运算；3.会用加法运算律解决简单问题，增强抽象能力与应用意识.重点难点1.如何运用加法运算律简化运算；2.灵活运用加法运算律．教学方法讲练结合教学手段多媒体教学过程（组内集体备课）要点探究探究点1：加法运算律观察与思考问题1计算：（1）30＋（－20）＝10，（－20）＋30＝10；（2）（－8）＋（－9）＝－17，（－9）＋（－8）＝－17；（3）（－6）＋0＝－6，0＋（－6）＝－6.思考：（1）比较以上各组两个算式的结果，每组两个算式有什么特征？（2）小学学的加法交换律在有理数的加法中还适用吗？（3）观察问题1中式子的特点和结果，你能得出什么结论？有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变.用字母表示即加法交换律：a＋b＝b＋a.问题2计算：（1）［8＋（－5）］＋（－4）＝－1，8＋［（－5）＋（－4）］＝－1；（2）［（－15）＋（－25）］＋34＝－6，（－15）＋［（－25）＋34］＝－6.思考：（1）观察问题2中式子的特点和结果，你能得出什么结论？你能用字母把这个规律表示出来吗？在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.即加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）（2）在计算问题2（2）时，两种算法中哪种更快得到结果？为什么会这样呢？第一种更快.因为第一种算法将同号的－15和－25先相加，得到－40这种整十的数，出现这种情况时可以使计算简化.问题3观察（－41）＋25＋41＋（－25），如何简便地计算出结果？二、例题讲解例1（教材P29例2）计算：（1）8＋（－6）＋（－8）；（2）16＋（－25）＋24＋（－35）；（3）eq\f(1,6)＋（－eq\f(3,8)）＋eq\f(1,3)＋（－eq\f(1,8)）；（4）（－3eq\f(5,7)）＋15eq\f(3,4)＋（－18eq\f(2,7)）＋5思考：观察例1中式子的特点，以及运用加法运算律简化计算的过程，你得到了什么经验？例2利用有理数的加法解下列问题：一个人站在一条东西向的大街上，位于超市东侧100m处，他先向东走了200m，又向西走了500m，结果他在超市的东侧还是西侧？距离超市多少米？解：规定向东为正，向西为负.100＋200＋（－500）＝－200.答：结果他在超市的西侧，距离超市200m.【对应训练】教材P30练习第1，2，3题.三、巩固提升例3（教材P29例3）10袋小麦称后记录（单位：kg）如图所示.10袋小麦一共多少千克？如果每袋小麦以50kg为质量标准，10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？解法1：先计算10袋小麦一共多少千克：50.5＋50.5＋50.8＋49.5＋50.6＋50.7＋49.2＋49.4＋50.9＋50.4＝502.5.再计算总计超过多少千克：502.5－50×10＝2.5.解法2：把每袋小麦超过50kg的千克数记作正数，不足的千克数记作负数.10袋小麦对应的数分别为＋0.5，＋0.5，＋0.8，－0.5，＋0.6，＋0.7，－0.8，－0.6，＋0.9，＋0.4.50×10＋2.5＝502.5.10袋小麦一共502.5kg，总计超过2.5kg.思考：比较两种解法，解法2中使用了哪些运算律？解法2中使用了加法交换律、加法结合律.【对应训练】某一出租车一天下午以文化中心为出发地在东西方向营运，向东走为正，向西走为负，行车里程(单位：km)依先后次序记录如下：＋9，－3，－5，＋4，－8，＋6，－3，－6，－4，＋10.(1)将最后一名乘客送到目的地时出租车离出发地多远？在出发地的什么方向上？(2)若每千米的价格为2.4元，司机一个下午的营业额是多少？四、课堂小结回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.有理数的加法中有哪些运算律？用字母怎么表示？2.有理数加法的运算律怎么用于简化计算？你知道哪几种方法？3.怎么简便计算一组大小接近的大数的和？（个人二次备课）板书设计：作业内容：教学反思课题：2.1.2有理数的减法(1)教学目标1.经历用转化的数学思想探究有理数减法法则的过程，体会有理数减法与加法的关系，强化推理能力.2.理解并掌握有理数减法法则，增强运算能力.3.能利用有理数减法法则解决简单问题，增强应用意识重点难点体会有理数减法与加法的关系，理解并掌握有理数减法法则.教学方法讲练结合教学手段多媒体教学过程（组内集体备课）一、复习引入有理数加法法则是什么？我们小学学过正数的加、减法，如2＋3＝5，5－3＝2，5－2＝3，现在我们学习了有理数加法法则，引入了负数，知道（－2）＋3＝1，联想加法与减法之间的关系，1－3＝－2，那么3－（－3）又该怎么计算呢？接下来我们就来学习有理数的减法.合作探究探究点有理数减法法则问题北京某一天的气温是－3～3℃，这一天的温差（最高气温减最低气温）是多少？应该怎么列式呢？这一天的温差列式为3－（－3）.思考：1.要如何计算3－（－3）呢？减法是加法的逆运算，计算3－（－3），就是要求出一个数，使得它与－3相加得3.因为6与－3相加得3，所以这个数应该是6，即3－（－3）＝6.①另一方面，我们知道3＋（＋3）＝6.②由①②，得3－（－3）＝3＋（＋3）.③2.从③式能看出减－3相当于加哪个数吗？把3分别换成0，－1，－5，用上面的方法再试试看.从③式能看出减－3相当于加3.（1）因为0－（－3）＝3，0＋（＋3）＝3，所以0－（－3）＝0＋（＋3）.因为（－1）－（－3）＝2，（－1）＋（＋3）＝2，所以（－1）－（－3）＝（－1）＋（＋3）.（3）因为（－5）－（－3）＝－2，（－5）＋（＋3）＝－2，所以（－5）－（－3）＝（－5）＋（＋3）.由此，我们得到：减去一个负数，等于加这个负数的相反数.3.计算下面几对式子看看.（1）因为9－8＝1，9＋（－8）＝1；所以9－8＝9＋（－8）.（2）因为15－7＝8，15＋（－7）＝8，所以15－7＝15＋（－7）.从中有什么发现？减去一个正数，等于加这个正数的相反数.4.再计算下面几对式子看看.（1）因为4－0＝4，4＋0＝4；所以4－0＝4＋0.（2）因为（－2）－0＝－2，（－2）＋0＝－2，所以（－2）－0＝（－2）＋0.从中又有什么发现？减去0等于加0.由以上探究可以发现，有理数的减法可以转化为加法来进行.归纳总结：有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.也可以表示成a－b＝a＋（－b）注意：减法在转化为加法运算时有2个要素要发生变化：（1）减号变为加号；（2）减数变为它的相反数.显然，两个有理数相减，差是一个有理数.例题讲解例1（教材P31例4）计算：（1）（－3）－（－5）；（2）0－7；（3）2－5；（4）7.2－（－4.8）；（5）（－3eq\f(1,2)）－5eq\f(1,4).解：（1）（－3）－（－5）＝（－3）＋5＝2；（2）0－7＝0＋（－7）＝－7；（3）2－5＝2＋（－5）＝－3；（4）7.2－（－4.8）＝7.2＋4.8＝12；（5）（－3eq\f(1,2)）－5eq\f(1,4)＝（－3eq\f(1,2)）＋（－5eq\f(1,4)）＝－8eq\f(3,4).思考：在小学，只有当a大于或等于b时（其中a，b是0或正数），我们才能计算a－b（如2－1，1－1）.现在，当a小于b时，你能计算a－b（如1－2，（－1）－1）吗？一般地，在有理数范围内，较小的数减去较大的数，所得差的符号是什么？结合数轴和一些算式实例可以发现：较小的数减去较大的数，所得差的符号是负号.归纳总结：【对应训练】教材P32练习第1题.巩固提升例2全班学生分为五个组进行答题游戏，每组的基本分为100分，答对一题加50分，答错一题扣50分.游戏结束时，各组的分数如下：（1）第一名超出第四名多少分？（2）第五名比第四名少多少分？解：由上表可以看出，第一名得了350分，第四名得了－100分，第五名得了－400分.（1）350－（－100）＝450.答：第一名超出第四名450分.（2）（－100）－（－400）＝300.答：第五名比第四名少300分.【对应训练】1.教材P32练习第2题.2.矿井下A，B，C三处的高度分别是－32.4m，－139.8m，－91.3m，那么A处比B处高多少米？C处比B处高多少米？A处比C处高多少米？解：A处比B处高（－32.4）－（－139.8）＝107.4（m）；C处比B处高（－91.3）－（－139.8）＝48.5（m）；A处比C处高（－32.4）－（－91.3）＝58.9（m）.提升练习已知有理数x，y满足|x|＝5，|y|＝6.（1）若x＞0，y＜0，则x－y的值为11；（2）若|x＋y|＝x＋y，则x－y的值为－1或－11.课堂小结一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.有理数减法法则是什么？2.大数减小数得到的差是正数还是负数？小数减大数呢？【知识结构】（个人二次备课）板书设计：作业内容：教学反思课题：2.1.2有理数的减法（2）教学目标1.熟练掌握有理数的加法和减法运算；2.掌握有理数的加减混合运算，能用加法运算律简化运算，提高运算能力；3.能运用有理数的加减混合运算解决简单实际问题，增强应用意识；4.利用减法求数轴上两点之间的距离，体会数形结合的思想.重点难点能把加减法混合运算统一成加法运算，能用加法运算律合理地进行运算．教学方法讲练结合教学手段多媒体教学过程（组内集体备课）情景导入如图，某地在节日期间进行无人机灯光表演.若表演从空中某一高度开始，下表是其中一架无人机的高度变化情况：高度变化记作上升2.5m＋2.5m下降3.2m－3.2m上升1.1m＋1.1m下降1.4m－1.4m此时无人机比起始点高还是低，高或者低多少米？如何列式计算？2.5－3.2＋1.1－1.4.这个式子中既有加法又有减法，这节课我们就来学习有理数的加减混合运算.合作探究探究点1有理数的加减混合运算问题（教材P32例5）计算（－20）＋（＋3）－（－5）－（＋7）.（1）联想小学学过的知识，用加减混合运算的方式该怎么计算？从左到右依次计算：（－20）＋（＋3）－（－5）－（＋7）＝（－17）－（－5）－（＋7）＝（－12）－（＋7）＝－19.联想有理数减法法则，只用加法该怎么计算？即可以先根据有理数减法法则，把减法转化为加法，再进行有理数的加法运算：（－20）＋（＋3）－（－5）－（＋7）＝（－20）＋（＋3）＋（＋5）＋（－7）＝［（－20）＋（－7）］＋［（＋3）＋（＋5）］＝（－27）＋（＋8）＝－19.（3）以上两种算法结果相同吗？由此你可以得到什么结论？两种算法的结果相同.结论：引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算归纳总结：思考：（1）算式（－20）＋（＋3）＋（＋5）＋（－7）是－20，＋3，＋5，－7这四个数的和，为书写简单，可以省略算式中的括号和加号，把它写为－20＋3＋5－7.这个算式可以读作“负20、正3、正5、负7的和”，或读作“负20加3加5减7”.（2）由（1）可知，（－20）＋（＋3）－（－5）－（＋7）的运算过程还可以怎样简写？（－20）＋（＋3）－（－5）－（＋7）＝－20＋3＋5－7＝－20－7＋3＋5＝－27＋8＝－19.例1（教材P33例6）计算14－25＋12－17.【对应训练】教材P34练习第1，2题.探究点2利用有理数的减法求数轴上两点之间的距离问题（教材P33探究）在数轴上，点A，B分别表示数a，b.对于下列各组数a，b：a＝2，b＝6；a＝0，b＝6；a＝2，b＝－6；a＝－2，b＝－6.（1）观察点A，B在数轴上的位置，你能得出它们之间的距离吗？如图.当a＝2，b＝6时，点A，B之间的距离为4；当a＝0，b＝6时，点A，B之间的距离为6；当a＝2，b＝－6时，点A，B之间的距离为8；当a＝－2，b＝－6时，点A，B之间的距离为4.（2）利用有理数的运算，你能用含有a，b的算式表示上述各组点A，B之间的距离吗？当a＝2，b＝6时，点A，B之间的距离为4＝6－2；当a＝0，b＝6时，点A，B之间的距离为6＝6－0；当a＝2，b＝－6时，点A，B之间的距离为8＝2－（－6）；当a＝－2，b＝－6时，点A，B之间的距离为4＝（－2）－（－6）.思考：一般地，你能发现点A，B之间的距离与数a，b之间的关系吗？归纳总