江苏省无锡市级2024届中考数学押题卷含解析

江苏省无锡市级名校2024年中考数学押题卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.下列计算正确的是（）

A.a2+a2=2a4B.(-a2b)3=-a6b3C.a2*a3=a6D.as-i-a2=a4

31

2.如图，点A,B在双曲线y=」(x>0)上，点C在双曲线y=—(x>0)上，若AC〃y轴，BC〃x轴，J@LAC=BC,

xx

A.y/2B.272c.4D.372

3.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E、F是AD边上的两个动点，且AE=FD,连接BE、CF、BD,CF与BD

交于点H,连接DH,下列结论正确的是（）

①△ABGs/XFDG②HD平分NEHG®AG±BE®SAHDG:SAiiBG=tanZDAG⑤线段DH的最小值是2岳-Z

I).®@@®

4.如图，在矩形A8CO中，40=1,AB>\t4G平分NBAO,分别过点氏BELAG于点E,CT_L4G于点F,

则AE-G产的值为（)

A.1B.@C.43D.42

~2~2

5.为了解某小区小孩暑期的学习情况，王老师随机调查了该小区8个小孩某天的学习时间，结果如下（单位：小时）:

1.5,1.5,3,4,2,5,2.5,4.5,关于这组数据，下列结论错误的是（）

A.极差是3.5B.众数是1.5C.中位数是3D.平均数是3

6.如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，则它的俯视图是（）

7.如图，在菱形ABCD中，AB=BD,点E,F分别在AB,AD上，且AE=DF,连接BF与DE相交于点G,连接CG

与RD相交千点H,下列结论：

©△AED^ADFB；②S四边形BCD（尸、CG2；③若AF=2DF,则BG=6GF

4

，其中正确的结论

A.只有①②.B.只有①③.C.只有②③.D.①②③.

8.把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个三角形，第②个图案中有4个三角形，第③个图案中

有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（）

△&E

①②③④

A.15B.17C.19D.24

9.如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（・3,0）,将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆

P与y轴相切，则平移的距寓为（）

A.1B.3C.5D,1或5

10.实数a,b在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是（）

-2-1012

A.a+b=0B.b<aC.ab>0D.|b|<|a|

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.某文化商场同时卖出两台电子琴，每台均卖960元，以成本计算，其中一台盈利20%,另一台亏本20%,则本次

出售中商场是_____（请写出盈利或亏损）元.

12.两个反比例函数甘=：和卜=:在笫一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PCJLx轴于点C,交丫=:的图

象于点A,PD_Ly轴于点D,交1，=（的图象于点B,当点P在y=：的图象上运动时，以下结论：①^ODB与△OCA

的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是

PD的中点.其中一定正确的是一.

13.布丁（&-a=一

14.如图，直线产JJx与双曲线产工交于A,B两点，OA=2,点C在x轴的正半轴上，若NACB=90。，则点C的

15.已知边长为5的菱形ABC。中，对角线AC长为6,点七在对角线8。上且tan/E4C=§,则8E的长为

16.为了了解贯彻执行国家提倡的“阳光体育运动”的实施情况，将某班50名同学一周的体育锻炼情况绘制成了如图所

示的条形统计图，根据统计图提供的数据，该班50名同学一周参加体育锻炼时间的中位数与众数之和为.

17.某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获利10%,则该商品每件的进价为

元.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，且BE平分NABC,ZABE=ZACD,BE,CD交

于点F.

ABAE

（）求证:

1~AC~~AD

（2）请探究线段DE,CE的数量关系，并说明理由;

（3）若CD_LAB,AD=2,BD=3,求线段EF的长.

19.（5分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A,C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=4,OC=3,

若抛物线经过O,A两点，且顶点在BC边上，对称轴交AC于点D,动点P在抛物线对称轴上，动点Q在抛物线上.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当PO+PC的值最小时，求点P的坐标；

（3）是否存在以A,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P,Q的坐标；若不存在，请说

明理由.

B

20.(8分)如图，在平面直角坐标系中，二次函数丫=(x-a)(x-3)(0<a<3)的图象与x轴交于点A、B(点A在点B

的左侧)，与y轴交于点D,过其顶点C作直线CPJ_x轴，垂足为点P,连接AD、BC.

(2)若AAOD与△BPC相似，求a的值；

(3)点D、O、C、B能否在同一个圆上，若能，求出a的值，若不能，请说明理由.

21.(10分)某商场计划购进A、8两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示:

价格

造价《无售价(7C/S)

英赞

A3045

B5070

(1)若商场预计进货款为3500元，则这两种台灯各购进多少盏？

(2)若商场规定4型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利

最多？此时利润为多少元？

22.(10分)如图，ZAOB=45°,点M,N在边OA上，点P是边OB上的点.

(1)利用直尺和圆规在图1确定点P,使得PM=PN；

(2)设OM=x,ON=x+4,

①若x=0时，使P、M、N构成等腰三角形的点P有个；

②若使P、M、N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是.

A

N.

0H°--------B

备用图

23.（12分）如图所示，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60,方向与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行

一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处.求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离.（结果保留根号）

A十东

24.（14分）已知RtAABC,ZA=90°,BC=10,WRC为动向下作矩形RCDE,连AE交RC千F.

3BF

（1）如图1,当AB=AC,且sinNBEF=：时，求「的值;

⑵如图2,当tanNABC=不时，过D作DH1AE于H,求EH-EA的值;

2

⑶如图3,连AD交BC于G当FG?=BFCG时,求矩形BCDE的面积

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、B

【解题分析】

解：A.a2+a2=2a2,故A错误；

C、a2a3=a5,故C错误；

D、a8vaW,故D错误；

本题选B.

考点：合同类型、同底数寨的乘法、同底数幕的除法、积的乘方

2、B

【解题分析】

【分析】依据点C在双曲线丫=上1上，AC〃y轴，BC〃x轴，可设C(a,-),则B(3a,-),A(a3,依据

X44。

3

AC=BC,即可得到史-，=3a・a,进而得出a=L依据C(1,1),B(3,1),A(1,3),即可得到AC=BC=2,进

a〃

而得至ljR3ABC中，AB=2夜.

【题目详解】点C在双曲线〉=，上，AC〃y轴,

BC〃x轴,

x

设C(a,—),则B(3a,—),A(a,

aaa

VAC=BC,

3

a

解得a=L(负值已舍去)

AC(1,1),B(3,1),A(1,3),

.*.AC=BC=2,

，RtAABC中，AB=272,

故选B.

【题目点拨】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，注意反比例函数图象上的点(x,y)的横纵坐标的积

是定值k,即xy=k.

3、B

【解题分析】

首先证明△ABEgZWCF,AADG^ACDG(SAS),△AGB^ACGB,利用全等三角形的性质，等高模型、三边关

系一一判断即可.

【题目详解】

解：.••四边形ABCD是正方形，

AAB=CD,ZBAD=ZADC=90°,ZADB=ZCDB=45°.

•・•在△ABE和△DCF中，AB=CD,NBAD=NADC,AE=DF,

/.△ABE^ADCF,

AZABE=ZDCF.

;在△ADG和△CDG中，AD=CD,ZADB=ZCDB,DG=DG,

/.△ADG^ACDG,

AZDAG=ZDCF,

AZABE=ZDAG.

VZDAG+ZBAH=90°,

.\ZBAE+ZBAH=90°,

.\ZAHB=90°,

AAG±BE,故③正确，

同理可证：△AGBS^ACGB.

VDF/7CB,

AACBG^AFDG,

/.△ABG^AFDG,故①正确.

VSAHDG:SAHBG=DG:BG=DF:BC=DF:CD=tanZFCD,ZDAG=ZFCD,

/.SAHDG:SAHBG=tanZFCD=tanZDAG,故④正确.

取AB的中点O,连接OD、OH.

•・,正方形的边长为4,

1

/.AO=OH=-x4=l,

2

由勾股定理得，OD="2+22=2百，

由三角形的三边关系得，O、D、H三点共线时，DH最小,

DH最小=1、6・1.

无法证明DH平分NEHG,故②错误，

故①③④⑤正确.

故选B.

【题目点拨】

本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解直角三角形，解题的关键是掌握

它们的性质进行解题.

4、D

【解题分析】

设则曲矩形的性质得出NA4D=ND=900,CD=A凡证明△ADG是等腰直角三角形，得出AG=pO=0

同理得出CD=AB=^CG=CD-DG=y^cGF,即可得出结果.

【题目详解】

设AE=x,

V四边形ABCD是矩形,

TAG平分NBA。，

:.ZDAG=45°,

:4DG是等腰直角三角形,

：.DG=AD=1,

♦•♦AG=©D=柩

同理:3£=4E=x,CD=AB=&,

:.CG=CD-DG=®

同理：

V4

,"G=%G=X亨

:•AE-GF=x-(x-@)=@

故选D.

【题目点拨】

本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理;熟练掌握矩形的性质和等腰直角三角形的性质，并能

进行推理计算是解决问题的关键.

5、C

【解题分析】

由极差、众数、中位数、平均数的定义对四个选项一一判断即可.

【题目详解】

A.极差为5・1.5=3.5,此选项正确；

B.1.5个数最多，为2个，众数是L5,此选项正确；

C.将式子由小到大排列为：1.5,1.5,2,2.5,3,4,4.5,5,中位数为'x(2.5+3)=2.75,此选项错误；

2

D.平均数为：-x(1.5+1.5+2+2.5+3+4+45+5)=3,此选项正确.

8

故选C.

【题目点拨】

本题主要考查平均数、众数、中位数、极差的概念，其中在求中位数的时候一定要将给出的数据按从大到小或者从小

到大的顺序排列起来再进行求解.

6、A

【解题分析】

试题分析：从上面看易得上面一层有3个正方形，下面中间有一个正方形.

故选A.

【考点】简单组合体的三视图.

7、D

【解题分析】

解：①・.・ABCD为菱形，.\AB=AD.

VAB=BD,♦・•△ABD为等边三角形.

/.ZA=ZBDF=60°.

又・.・AE=DF,AD=BD,

/.△AED^ADFB；

@VZBGE=ZBDG+ZDBF=ZBDG+ZGDF=60°=ZBCD,

BPZBGD+ZBCD=18(F,

・••点B、C、D、G四点共圆，

/.ZBGC=ZBDC=60°,ZDGC=ZDBC=60°.

/.ZBGC=ZDGC=60°.

过点C作CM_LGB于M,CN_LGD于N.

ACM=CN,

则4CBMgZkCDN,(HL)

AS四边形BCDG=S四边彩CVGN.

S四边/CVGN=1SACMG,

VZCGM=60°,

16

.\GM=-CG,CM=—CG,

22

=1

AS四边形CMGN=1SACMG1X-x—CGx——CG=——CG.

2224

③过点F作FP〃AE于P点.

VAF=1FD,

AFP：AE=DF：DA=1：3,

VAE=DF,AB=AD,

ABE=1AE,

AFP：BE=1：6=FG：BG,

即BG=6GF.

故选D.

8、D

【解题分析】

由图可知：第①个图案有三角形1个，第②图案有三角形1+3=4个，第③个图案有三角形1+3+4=8个，第④个图案

有三角形1+3+4+4=12,…第n个图案有三角形4(n・l)个(n>l时)，由此得出规律解决问题.

【题目详解】

解：解：•・•第①个图案有三角形1个，

第②图案有三角形1+3=4个，

第③个图案有三角形1+3+4=8个,

，第n个图案有三角形4(n・l)个(n>l时)，

则第⑦个图中三角形的个数是4x(7-1)=24个，

故选D.

【题目点拨】

本题考查了规律型：图形的变化类，根据给定图形中三角形的个数，找出an=4(n・l)是解题的关键.

9、D

【解题分析】

分圆P在y轴的左侧与y轴相切、圆P在y轴的右侧与y轴相切两种情况，根据切线的判定定理解答.

【题目详解】

当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3・2=1,

当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2=5,

故选D.

【题目点拨】

本题考杳的是切线的判定、坐标与图形的变化-平移问题，掌握切线的判定定理是解题的关键，解答时，注意分情况讨

论思想的应用.

10、D

【解题分析】

根据图形可知，a是一个负数，并且它的绝对是大于1小于2,b是一个正数，并且它的绝对值是大于0小于1,即可

得出|b|V|a|.

【题目详解】

A选项：由图中信息可知，实数。为负数，实数》为正数，但表示它们的点到原点的距离不相等，所以它们不互为相

反数，和不为0,故A错误；

B选项：由图中信息可知，实数〃为负数，实数〃为正数，而正数都大于负数，故B错误；

C选项：由图中信息可知，实数。为负数，实数〃为正数，而异号两数相乘积为负，负数都小于0,故C错误；

D选项：由图中信息可知，表示实数。的点到原点的距离大于表示实数力的点到原点的距离，而在数轴上表示一个数

的点到原点的距离越远其绝对值越大，故D正确.

/.选D.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11、亏损1

【解题分析】

设盈利20%的电子琴的成本为x元，设亏本20%的电子琴的成本为y元，再根据(1+利润率)x成本:售价列出方程,

解方程计算出x、y的值，进而可得答案.

【题目详解】

设盈利20%的电子琴的成本为x元，

x(1+20%)=960,

解得x=10；

设亏本20%的电子琴的成本为y元，

y(1-20%)=960,

解得产1200；

960x2-(10+1200)=」.

工亏损1元，

故答案是：亏损；1.

【题目点拨】

考查了一元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程.

12、@@④，

【解题分析】

①AODB与△OCA的面积相等；正确，由于A、B在同一反比例函数图象上，则两三角形面积相等，都为］

②四边形PAOB的面积不会发生变化；正确，由于矩形OCPD、三角形ODB、三角形OCA为定值，则四边形PAOB

的面积不会发生变化.

③PA与PB始终相等；错误，不一定，只有当四边形OCPD为正方形时满足PA=PB.

④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点.正确，当点A是PC的中点时，k=2,则此时点B也一定是PD

的中点.

故一定正确的是①②④

13、V2.

【解题分析】

根据去括号法则和合并同类二次根式法则计算即可.

【题目详解】

解：原式="+也-逐

=72

故答案为：J5

【题目点拨】

此题考查的是二次根式的加减运算，掌握去括号法则和合并同类二次根式法则是解决此题的关键.

14、(2,0)

【解题分析】

k1

根据直线y=JJx与双曲线丫=一交于A,B两点，OA=2,可得AB=2AO=4,再根据RtAABC中，OC=一AB=2,即

x2

可得到点C的坐标

【题目详解】

如图所示，

;直线y=Gx与双曲线y="交于A,B两点，OA=2,

X

.*.AB=2/\O=4,

又・.・NACB=90。，

・・・RSABC中，OC」AB=2,

2

又•・•点C在x轴的正半轴上，

AC(2,0),

故答案为(2,0).

【题目点拨】

本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，解决问题的关键是利用直角三角形斜边上中线的性质得到OC的长.

15、3或1

【解题分析】

菱形ABCD中，边长为1,对角线AC长为6,由菱形的性质及勾股定理可得AC_LBD,BO=4,分当点E在对角线交

点左侧时（如图1）和当点E在对角线交点左侧时（如图2）两种情况求BE得长即可.

【题目详解】

解：当点E在对角线交点左侧时，如图1所示：

「菱形ABCD中，边长为1,对角线AC长为6,

AACIBD,BO=.JAB2-AO2=V52-32=%

..1OEOE

・tanNEAC=—=-----=------

3QA3

解得：OE=L

ABE=BO-OE=4-1=3,

当点E在对角线交点左侧时，如图2所示:

C

•・•菱形ABCD中，边长为1,对角线AC长为6,

AAC±BD,BO=ylAB2-AO2=A/52-32

,IOEOE

.tanNEAC=—==

30A3

解得：0E=l,

ABE=BO-OE=4+1=1,

故答案为3或1.

【题目点拨】

本题主要考查了菱形的性质，解决问题时要注意分当点E在对角线交点左侧时和当点E在对角线交点左侧时两种情况

求BE得长.

16、17

【解题分析】

・・・8是出现次数最多的，・・・众数是8,

•・,这组数据从小到大的顺序排列，处于中间位置的两个数都是9,・,・中位数是9,

所以中位数与众数之和为8+9=17.

故答案为17小时.

17、1

【解题分析】

试题分析：设该商品每件的进价为x元，则

150x80%-10-x=xxl0%,

解得x=l.

即该商品每件的进价为1元.

故答案为1.

点睛：此题主要考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是得到商品售价的等量关系.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）证明见解析；（2）DE=CE,理由见解析；（3）EF=—.

2

【解题分析】

试题分析：（1）证明从而得出结论；

（2）先证明NCDE=NACD,从而得出结论；

（3）解直角三角形示得.

试题解析：

（1）ZA=ZA,

.,•△ABEs/vico,

.AB_AE

・・益一而；

（2）V—=—,

ACAD

,ADAE

••=9

ACAB

又・.・NA=NA,

AAADE^AACB,

AZAED=ZABC,

VZAED=ZACD+ZCDE,ZABC=ZABE+ZCBE,

:.NACD+NCDE=NABE+NCBE,

VZABE=ZACD,

/.ZCDE=ZCBE,

「BE平分NABC,

.\ZABE=ZCBE,

:.ZCI)E=ZABE=ZACD,

ADE=CE；

(3)VCD±AB,

AZADC=ZBDC=90o,

:.ZA+ZACD=ZCDE+ZADE=90°,

VZABE=ZACD,ZCDE=ZACD,

ZA=ZADE,ZBEC=ZABE+ZA=ZA+ZACD=90°,

AAE=DE,BEXAC,

VDE=CE,

AAE=DE=CE,

AAB=BC,

VAD=2,BD=3,

ABC=AB=AD+BD=5,

在RtAEOC中，CD=y/BC2-BD2=752-32=4>

在RtAAOC中，AC=ylAD2^-CD2=V22+42=2^>

：・DE=AE=CE=后，

*：ZADC=ZFEC=^0t

ADEF

:.tanZACD=~CD~~CE

ADCE2x7575

EF=

CD4-V

33

19、(1)y=--x2+3x；(2)当PO+PC的值最小时，点P的坐标为(2,-)；(3)存在，具体见解析.

【解题分析】

⑴由条件可求得抛物线的顶点坐标及A点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式;

(2)D与P重合时有最小值，求出点D的坐标即可；

⑶存在，分别根据①AC为对角线，②AC为边，两种情况，分别求解即可.

【题目详解】

(1)在矩形OABC中，OA=4,OC=3,

AA(4,0),C(0,3),

•・•抛物线经过O、A两点，且顶点在BC边上，

，抛物线顶点坐标为(2,3),

，可设施物线解析式为y=a(x-2户+3,

3

把A点坐标代入可得0=a(4・2>+3,解得a=——

4

33

・•・抛物线解析式为y=~—(x-2)2+3,即y=--x2+3x；

44

(2)・・•点P在抛物线对称轴上，・・・PA=PO,APO+PC=PA+PC.

・•・当点P与点D重合时，PA+PC=AC；当点P不与点D重合时，PA+POAC；

・•・当点P与点D重合时，PO+PC的值最小，

设直线AC的解析式为y=kx+h,

,3

必+〃=(),k=—

根据题意，得,解得4

b=3,

b=3.

・•・直线AC的解析式为y=-1工+3,

4

33

当x=2时，y=——x+3=—,

，当PO+PC的值最小时，点P的坐标为(2,I)；

2

①AC为对角线，当四边形AQCP为平行四边形，点Q为抛物线的顶点，即Q(2,3),则P(2,0)；

②AC为边，当四边形AQPC为平行四边形，点C向右平移2个单位得到P,则点A向右平移2个单位得到点Q,则

Q点的横坐标为6,当x=6时，y=-gx+3=-9,此时Q(6,-9),则点A(4,0)向右平移2个单位，向下平移

9个单位得到点Q,所以点C(0,3)向右平移2个单位，向下平移9个单位得到点P,则P(2,-6)；

当四边形APQC为平行四边形，点A向左平移2个单位得到P,则点C向左平移2个单位得到点Q,则Q点的横坐

标为-2,当x=-2时，y=-gx+3=-9,此时Q(-2,-9),则点C(0,3)向左平移2个单位，向下平移12个单

4

位得到点Q，所以点A(4,0)向左平移2个单位，向下平移12个单位得到点P,则P(2,-12)；

综上所述，P(2,0),Q(2,3)或P(2,-6),Q(6,-9)或P(2,-12),Q(-2,-9).

【题目点拨】

二次函数的综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识.

7

20、(1)(1)A(a,0),B(3,0),D(0,3a).(2)a的值为一,(3)当@=退时，D、O、C、B四点共圆.

3

【解题分析】

【分析】(1)根据二次函数的图象与x轴相交，贝八=0,得出A(a,0),B(3,0),与y轴相交，则x=0,得出D(0,

3a).

(2)根据(1)中A、B、D的坐标，得出抛物线对称轴x=—,AO=a,OD=3a,代入求得顶点C(—

22

从而得PB=3-审:彳，PC=1—J；再分情况讨论：①当AAODsaBPC时，根据相似三角形性质得

解得：a==3(舍去);

a_3a

②△AODs^CPB,根据相似三角形性质得「3-。丫-3三?，解得：a尸3(舍)，a2=^;

I-J23

33

(3)能；连接BD,取BD中点M,根据已知得D、B、O在以BD为直径，M(-,-a)为圆心的圆上，若点C

22

也在此圆上，则MC=MB,根据两点间的距离公式得一个关于a的方程，解之即可得出答案.

【题目详解】(1)Vy=(x-a)(x-3)(0<a<3)与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),

AA(a,0),B(3,0),

当x=0时，y=3a,

/.D(0,3a)；

।3

(2)VA(a,0),B(3,0),D(0,3a)..,•对称轴x=^—,AO=a,OD=3a,

2

”+3(3-。丫

当x=——时，y=-------,

2I2J

①当△AOD^ABPC时,

,AOOD

••=9

BPPC

解得：a=*3(舍去);

②△AODs/iCPB,

.AOOD

•・---=----,

CPPB

解得：ai=3(舍)，32=y.

综上所述：a的值为g：

(3)能；连接BD,取BD中点M,

AMC=MB,

化简得：a4-14a2+45=0,

(a2-5)(a2-9)=0,

/.a2=5或a2=9,

.*.31=5/5,az=->/5>aj=3(舍)，a4=-3(舍)，

V0<a<3,

•・a=AJJ，

・・・当2=不时，D、0、C、B四点共圆.

【题目点拨】本题考查了二次函数、相似三角形的性质、四点共圆等，综合性较强，有一定的难度，正确进行分析，

熟练应用相关知识是解题的关键.

21、(1)购进A型台灯75盏，4型台灯25盏；

(2)当商场购进4型台灯25盏时，商场获利最大，此时获利为1875元.

【解题分析】

试题分析：(1)设商场应购进A型台灯x盏，然后根据关系：商场预计进货款为3500元，列方程可解决问题；(2)

设商场销售完这批台灯可获利y元，然后求出y与X的函数关系式，然后根据一次函数的性质和自变量的取值范围可

确定获利最多时的方案.

试题解析：解：(1)设商场应购进A型台灯x盏，则B型台灯为(100-X)盏，

根据题意得，30x+50(100-x)=3500,

解得x=75,

所以，100-75=25,

答：应购进A型台灯75盏，B型台灯25盏；

(2)设商场销售完这批台灯可获利y元，

贝！］产(45-30)x+(70-50)(100-x),

=15x+2000-20x,

=-5x+2000,

VB型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，

:.100-x<3x,

225,

Vk=-5<0,

，x=25时，y取得最大值，为-5x25+2000=1875(元)

答：商场购进A型台灯25盏，B型台灯75盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为1875元.

考点：L一元一次方程的应用；2.一次函数的应用.

22、(1)见解析；(2)01；②：x=0或x=40・4或4VxV4拒；

【解题分析】

(1)分别以M、N为圆心，以大于'MN为半径作弧，两弧相交与两点，过两弧交点的直线就是MN的垂直平分线;

2

(2)①分为PM=PN,MP=MN,NP=NM三种情况进行判断即可；②如图1,构建腰长为4的等腰直角△OMC,和

半径为4的。M,发现M在点D的位置时，满足条件；如图4,根据等腰三角形三种情况的画法：分别以M、N为圆

心，以MN为半径画弧，与OB的交点就是满足条件的点P,再以MN为底边的等腰三角形，通过画图发现，无论x

取何值，以MN为底边的等腰三角形都存在一个，所以只要满足以MN为腰的三角形有两个即可.

【题目详解】

解：(1)如图所示：

(2)①如图所示:

故答案为1.

②如图1,以M为圆心，以4为半径画圆，当OM与OB相切时，设切点为C,OM与OA交于D,

图3

AMC10B,

VZAOB=45°,

AAMCO是等腰直角三角形,

AMC=OC=4,

•**OM=472,

当M与D重合时,即x==4夜-4时，同理可知：点P恰好有三个;

如图4,取OM=4,以M为圆心，以0M为半径画圆.

图4

则。M与OB除了O外只有一个交点，此时x=4,即以NPMN为顶角，MN为腰，符合条件的点P有一个，以N圆

心.以MN为半杼面圆，与直线OB柞离，说明此时以NPNM为顶角,以MN为腰，符合条件的点P不存在.还有

一个是以NM为底边的符合条件的点P；

点M沿0A运动，到Mi时，发现。Mi与直线OB有一个交点；

，当4<x<4拒时，圆M在移动过程中，则会与OB除了O外有两个交点，满足点P恰好有三个；

综上所述，若使点P,M,N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是：x=0或l=4夜-4或4Vx