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任务5.1理解微分方程的概念主讲教师高等数学掌握微分方程阶的概念理解微分方程的概念掌握微分方程解，通解，特解及初始条件的概念项目五

认识常微分方程§5.1理解微分方程的概念任务1：任务2：任务3：微分方程浅谈1676年詹姆士.贝努利致牛顿的信中第一次提出微分方程。直到18世纪中期，微分方程才成为一门独立的学科。微分方程建立以后，立即成为表示自然科学中各种基本定律和各种问题的基本工具之一。

例如，1846年9月23日，数学家与天文学家合作，通过微分方程求解，发现了一颗有名的新星——海王星。

现代建立起来的自然科学和社会科学中的数学模型大多都是微分方程。

在许多物理、力学、生物等现象中，不能直接找到联系所研究的那些量的规律，但却容易建立起这些量与它们的导数或微分间的关系。

含有未知函数的导数（或微分）的关系式。一、问题的提出

设所求曲线的方程为y

f(x),则

例1一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程.

解

上式两端积分

得

因为曲线通过点(1

2)

即当x

1时

y

2

所以2

12

C

C=1

因此

所求曲线方程为y

x2

1

(C为任意常数)ò=xdxy2

一、问题的提出例2列车在平直路上以的速度行驶,制动时获得加速度问开始制动后多长时间列解:

设列车在制动后

t秒行驶了s米,已知由前一式两次积分,可得利用后两式可得因此所求运动规律为说明:

利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住,以及制动后行驶了多少路程.即求

s

=s(t).车才能停住，列车在这段时间里行驶了多少路程？定义1含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程。未知函数可以不出现，但其导数一定要出现。未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程。未知函数为多元函数的微分方程，称为偏微分方程。二、微分方程的定义（本项目内容）常微分方程偏微分方程不是微分方程二、微分方程的定义微分方程中所出现的未知函数的导数（或微分）的最高阶数，称为微分方程的阶。一阶微分方程二阶一阶三、微分方程的阶定义2三阶二阶思考：请指出列微分方程的阶数：引例2—使方程成为恒等式的函数.通解—解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同.特解引例1通解:特解:1、微分方程的解

—不含任意常数的解.四、微分方程的解初始条件:用来确定任意常数的条件.解微分方程初始条件通解特解回顾例1设所求曲线的方程为y

f(x),四、微分方程的解解微分方程初始条件通解特解有何想法？回顾例1求解微分方程求积分四、微分方程的解设所求曲线的方程为y

f(x),积分曲线（解的几何意义）常微分方程解的几何图形称为它的积分曲线。通解的图形是一族积分曲线。特解是这族积分曲线中过某已知点的那条曲线。四、微分方程的解四、微分方程的解五、小结3.微分方程的解;通解;初始条件;特解;1.含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程

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