2027南方凤凰台5A新考案高考一轮复习全国版数学提高版第17讲　第3课时　导数与函数零点

第三章第17讲导数的综合应用一元函数的导数及其应用第3课时导数与函数零点题型突破·思维拓展目标1讨论函数零点的个数1【解答】1

(2)已知函数f(x)＝(x2－2x)ex－a，讨论函数f(x)的零点个数．【解答】

f(x)＝(x2－2x)ex－a的零点个数即为y＝(x2－2x)ex与y＝a的交点个数，令g(x)＝(x2－2x)ex，可得g(0)＝0，g(2)＝0，当x＜0时g(x)＞0；当0＜x＜2时g(x)＜0；当x＞2时g(x)＞0．1利用导数研究函数零点个数(或方程根的个数)问题的一般思路：(1)可转化为用导数研究其函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题；(2)涉及两函数的交点，利用数形结合思想方法，通过图象可清楚地数出交点的个数(即零点、根的个数)或者确定参数的取值范围．目标2根据函数零点情况确定参数

(1)(2025·郑州三模节选)已知函数f(x)＝ex(2x－1)，若函数g(x)＝f(x)－m(x－1)有2个零点，求实数m的取值范围．2【解答】【解答】2当a＜0时，g′(x)＜0，则g(x)在(1，e)上是减函数，则g(x)＜g(1)＝a＋1．当a＋1≤0，即a≤－1时，f′(x)＜0，则f(x)在(1，e)上是减函数，f(x)max＜f(1)＝0，不合题意．当a＋1＞0，即－1＜a＜0时，g(1)＞0，g(e)＝ae3＜0，则存在x0∈(1，e)，使g(x0)＝0，即f′(x0)＝0，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(1，x0)x0(x0，e)f′(x)＋0－f(x)↗极大值f(x0)↘则f(x)极大值＝f(x0)＞f(1)＝0．已知函数零点求参数的取值范围：(1)分离参数法；(2)分类讨论法．变式2已知f(x)＝(x3－ax＋1)lnx，若函数f(x)有三个不同的零点，求实数a的取值范围．【解答】

当x＝1时，f(x)＝0．令g(x)＝x3－ax＋1．当x≠1时，f(x)的零点与函数g(x)(x＞0)的零点相同．当a≤0时，g(x)＞0(x＞0)，此时f(x)只有一个零点，不合题意，因此a＞0．因为函数f(x)有三个不同的零点，所以g(x)(x＞0)有两个均不等于1的不同零点．微探究导函数隐零点的应用3【解答】利用隐零点解决最值的基本步骤：(1)用零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f′(x0)＝0，并结合f(x)的单调性得到零点的范围；(2)以零点为分界点，说明导函数f′(x)的正负，进而得到f(x)的最值表达式；(3)将零点方程f′(x0)＝0适当变形，整体代入f(x)最值式子进行化简．配套精练一、单项选择题1．函数f(x)＝ex与g(x)＝x＋1的图象的交点个数为 (

)A．0

B．1C．2

D．不确定【解析】

令h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－x－1，则h′(x)＝ex－1，令h′(x)＝ex－1＝0，得x＝0．当x＜0时，h′(x)＜0，当x＞0时，h′(x)＞0．所以当x＝0时，h(x)取得最小值h(0)＝0，即h(x)＝ex－x－1只有一个零点，所以f(x)与g(x)的图象只有1个交点．B2．(2025·赣州期末改)若方程2x3＋3x2＋b＝0有三个实根，则实数b的可能取值为

(

)【解析】B3．(2025·枣庄期末)已知函数f(x)＝(x＋1)ex，f(x)＝k有2个实数解，则k的取值范围是 (

)【解析】当x＜－1时，可得f(x)＜0，当x→－∞时，f(x)→0，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，作出函数f(x)的大致图象如图所示．【答案】B4．(2025·深圳一调)已知曲线y＝ex－1与曲线y＝alnx＋a(a＞0)只有一个公共点，则a＝ (

)C．e

D．e2【解析】【答案】B二、多项选择题5．已知函数f(x)＝(x2－3)ex，x∈R，则

(

)A．函数f(x)有且只有2个零点B．函数f(x)的单调递减区间为(－3，1)C．函数f(x)存在最大值和最小值D．若方程f(x)＝a有三个实数解，则a∈(－2e，6e－3)【解析】

由f(x)＝(x2－3)ex，x∈R，得f′(x)＝(x－1)(x＋3)ex，令f′(x)＜0，解得－3＜x＜1；令f′(x)＞0，解得x＜－3或x＞1，所以函数f(x)在(－3，1)上单调递减，在(－∞，－3)和(1，＋∞)上单调递增，且f(－3)＝6e－3，f(1)＝－2e，当x→－∞时，f(x)→0＋，作出函数y＝f(x)的大致图象如图所示，由图可知A，B正确；f(x)min＝f(1)＝－2e，无最大值，故C错误；若方程f(x)＝a有三个实数解，即直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，可得a∈(0，6e－3)，故D错误．【答案】ABA．f(x)有三个单调区间B．f(x)在定义域上没有最值C．若f(x)有三个零点a，b，c(a＜b＜c)，且有两个极值点m，n(m＜n)，则m，b，n成等差数列D．若f(x)有三个零点a，b，c(a＜b＜c)，且有两个极值点m，n(m＜n)，则m，b，n成等比数列【解析】【答案】ABD三、填空题7．函数f(x)＝(1＋x2)ex－1的零点个数为_____．【解析】

因为f′(x)＝2xex＋(1＋x2)ex＝(1＋x)2ex≥0，所以f(x)在R上单调递增．又因为f(0)＝0，所以f(x)有且仅有1个零点．18．(2024·全国甲卷文)若曲线y＝x3－3x与y＝－(x－1)2＋a在(0，＋∞)上有两个不同的交点，则实数a的取值范围为__________．【解析】

令x3－3x＝－(x－1)2＋a，得a＝x3－3x＋(x－1)2．令φ(x)＝x3－3x＋(x－1)2，x＞0，则φ′(x)＝3x2－3＋2(x－1)＝(x－1)(3x＋5)，当x＞1时，φ′(x)＞0，φ(x)单调递增；当0＜x＜1时，φ′(x)＜0，φ(x)单调递减．因为φ(0)＝1，φ(1)＝－2，当x→＋∞时，φ(x)→＋∞，由题知直线y＝a与函数y＝x3－3x＋(x－1)2的图象有两个不同的交点，则实数a的取值范围为(－2，1)．(－2，1)【解析】【答案】[－2，＋∞)四、解答题10．(2025·亳州期末)已知函数f(x)＝lnx－a(x－1)，a∈R．(1)讨论f(x)的单调性；【解答】10．(2025·亳州期末)已知函数f(x)＝lnx－a(x－1)，a∈R．(2)若f(x)在区间(1，e)内存在零点，求a的取值范围．【解答】11．(2026·南通期初)已知函数f(x)＝(x－x2)lnx＋k的图象在点(1，f(1))处的切线经过点(0，1)．(1)求实数k的值；【解答】

因为f(x)＝(x－x2)lnx＋k，所以f′(x)＝(1－2x)lnx＋(1－x)，x＞0，所以f′(1)＝(1－2)ln1＋(1－1)＝0．因为f(1)＝(1－12)ln1＋k＝k，所以函数f(x)＝(x－x2)lnx＋k的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y－k＝0(x－1)，即y＝k，又切线过点(0，1)，所以k＝1．11．(2026·南通期初)已知函数f(x)＝(x－x2)lnx＋k的图象在点(1，f(1))处的切线经过点(0，1)．【解答】11．(2026·南通期初)已知函数f(x)＝(x－x2)lnx＋k的图象在点(1，f(1))处的切线经过点(0，1)．(3)求证：f(x)有且仅有一个零点．

【解答】

因为f(x)＝(x－x2)lnx＋1＝x(1－x)lnx＋1，所以f′(x)＝(1－2x)lnx＋(1－x)，当x＞1时，lnx＞0，1－x＜0，1－2x＜0，所以f′(x)＜0，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递减．又因为f(1)＝(1－12)ln1＋1＝1，所以当x＞1时，f(x)有一个零点；当0＜x≤1时，f(x)没有零点，所以当x∈(0，＋∞)时，f(x)有且仅有一个零点．12．(2025·合肥二模)已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax－b，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为x＋y＋2＝0．(1)求实数a，b的值；【解答】12．(2025·合肥二模)已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax－b，曲线y＝f(x)在